Однородная система трех линейных уравнений

Линейное уравнение называется однородным, если свободный член этого уравнения равен нулю.

Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными.

a11 . x1 + a12 . x2 + a13 . x3 = 0					(8)
	a21 . x1 + a22 . x2 + a23 . x3 = 0

1. Если а₁₁/а₂₁ = а₁₂/а₂₂ = а₁₃/а₂₃ , то система сводится к одному уравнению, первому или второму, из которого одно из неизвестных выражается через два других, значения которых произвольны.

2. Если условие равенства отношений коэффициентов при неизвестных не выполнено, то решения системы находятся по формулам:

x1 =	a12	a13	. t ,	x2 = -	a11	a13	. t ,	x3 =	a11	a12	. t , (9)
	a22	a23			a21	a23			a21	a13

где t может принимать любые значения (-<t < + ).

Перейдем к рассмотрению системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными:

a11 . x1 + a12 . x2 + a13 . x3 = 0	(10)
a21 . x1 + a22 . x2 + a23 . x3 = 0
a31 . x1 + a32 . x2 + a33 . x3 = 0

Очевидно, что такая система допускает нулевое решение: x₁=0, x₂=0, x₃=0 и, следовательно, всегда совместна. Если D ≠ 0, то это решение является единственным. Если же определитель однородной системы равен нулю, то возможны два случая, «созвучные» рассмотренным при анализе системы (1).

1) Система сводится к двум независимым уравнениям (третье является их следствием).

2) Система сводится к одному уравнению (остальные два являются его следствиями).

Первый случай имеет место, когда среди миноров определителя системы есть хотя бы один отличный от нуля, второй – когда все миноры этого определителя равны нулю. В обоих случаях однородная система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 5. Решить систему

x1 + 2x2 + 3x3 = 0

2x1 – 3x2 + 4x3 = 0

3x1 – x2 + 7x3 = 0

Имеем

D =	1	2	3	=
	2	-3	4
	3	-1	7

= 1 .	-3	4	-2 .	2	4	+3 .	2	-3	= -17 – 4 + 21 = 0
	-1	7		3	7		3	-1

Следовательно, система имеет решения, отличные от нулевого. Решаем систему первых двух уравнений (третье уравнение является их следствием).

x1 + 2x2 + 3x3 = 0

2x1 – 3x2 + 4x3 = 0

Отсюда по формуле (9) получаем:

x1 =	2	3	. t = 17t
	-3	4

x2 = -	1	3	. t = 2t
	2	4

x3 =	1	2	. t = -7t
	2	-3

Второй указанный выше случай имеет место тогда, когда коэффициенты при неизвестных x_i пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого умножением его частей на число k.

Пример 6. Система

x1 + x2 + x3 = 0

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

3x1 + 3x2 + 3x3 = 0

имеет бесконечно много ненулевых решений. Она сводится к одному уравнению: х₁ + x₂ + x₃ = 0. Любое решение состоит из трех чисел х₁, x₂ , x_3, где х₁ и x₂ - какие угодно, а х₃ = - х₁ - x_2.

В заключение вспомним известный вам по школьному курсу математики способ решения линейной системы, называемый методом Гаусса. Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе в треугольном виде путем последовательного исключения неизвестных. Эти действия называют прямым ходом. Из полученной «треугольной» системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

Пример 7. Решить систему

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

2x1 + 3x2 – 4x3 = -5

3x1 + x2 + x3 = 3

Чтобы исключитьх₁ из второго и третьего уравнений, надо вычесть из них первое, умноженное соответственно на 2 и на 3:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

- x2 – 10x3 = -9

-5x2 – 8x3 = -3

Для дальнейших преобразований удобно умножить второе и третье уравнения на -1:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

x2 + 10x3 = 9

5x2+ 8x3 = 3

Видим, что для исключения x₂ из третьего уравнения, нужно вычесть из него второе, умноженное на 5. В результате получим «треугольную» систему:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

x2 + 10x3 = 9

42x3 = 42

Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок, находим неизвестные:x₃ = 1, x₂ = -1, x₁ = 1.

Лекция 3.