Таблица 16.38

Как видно из ведомости уравнивания, остаточные угловые невязки равны нулю, а отклонения координат точки В от исходных в ходе (1) составили -1 мм, в ходе (2) +17мм и + 10 мм (остаточная абсолютная погрешность составляет порядка 2 см, относительная – 1:250000). Уравнивания во втором приближении не требуется.

§ 154. Параметрический способ уравнивания

При уравнивании сложных по построению геодезических сетей, в которых имеется обычно большое число избыточных измерений, применение коррелатного способа является практически менее выгодным. Это связано с тем, что в сложных сетях образуется сравнительно большое число геометрических условий (см. § 151), т.е. возникает необходимость решения значительного числа нормальных уравнений. При уравнивании сложных геодезических сетей предпочтение отдают параметрическому способу. В данном случае его рекомендуется применять практически для любых построений: обширных геодезических сетей триангуляции и трилатерации, для весьма сложных фигур триангуляции 3 и 4 классов, в схемах различных линейноугловых построений и др.

Чаще всего при уравнивании плановых геодезических построений параметрическим способом в качестве неизвестных величин (или необходимых параметров tj ) выбирают координаты определяемых пунктов, для которых из предварительных вычислений находят приближенные значения tjo , а затем

446

определяют поправки τj к этим приближенным значениям. В качестве уравниваемых величин в плановых построениях принимают измеренные направления, углы, дирекционные углы (азимуты), длины сторон сетей. Промежуточными уравниваемыми величинами (как косвенными величинами) могут явиться и приращения координат точек планового построения.

Для нахождения поправок при уравнивании параметрическим способом необходимо составить параметрические уравнения связи, которые в полной мере обеспечат решение поставленной задачи. Все измеренные величины практически можно выразить через координаты точек сети, т.е. через выбранные параметры tj, что и требуется при уравнивании параметрическим способом. Так, дирекционные углы α и длины s сторон можно найти по разностям координат, горизонтальные углы, в свою очередь, выразить через разность дирекционных углов и т.п.

Рассмотрим различные виды уравнений поправок, применяемых при уравнивании параметрическим способом.

Уравнение поправок для измеренного дирекционного угла находится из параметрического уравнения связи между дирекционным углом и координатами точек данной линии:

где хо и уо – значения искомых координат точек i и k , полученные по результатам предварительных вычислений по измеренным величинам; αkio и αki' – соответственно вычисленное и измеренное значение дирекционного угла. (Вычисленные значения необходимо давать с тем же порядком точности (округления), что и непосредственно измеренные величины).

Параметрическое уравнение поправок для измеренного дирекционного угла имеет вид:

Выразим поправки δх и δу в координаты х и у в дециметрах и обозначим их соответственно буквами ξ и η . Поправки в углы и свободный член уравнения – в секундах, а значение длины s - в километрах. С учетом этого можно записать, что

447

Уравнение поправок для измеренного направления может быть получено

где Мki – измеренное направление; zk – ориентирующий (дирекционный) угол начального направления в точке k.

Выразим значение αki через выбранные параметры (16.132) и запишем

Если при предварительных вычислениях значение ориентирующего угла zko определено с погрешностью δzk , то для любого направления на данном пункте существует постоянная погрешность величиной δzk.

Параметрическое уравнение поправок для измеренного направления Mki будет иметь вид:

похожий на уравнение (16.137). Если дирекционный (ориентирующий) угол в исходном пункте получен без погрешности (т.е. погрешность его определения весьма мала по сравнению с погрешностями измерений других величин), то в выражении (16.143) можно исключить δzk .

Свободный член уравнения поправок в направления находят по формуле

(16.144) где αkiо - точное значение дирекционного угла, вычисленное по координатам точек (предварительным их значениям); Mki' - измеренное значение направления; zkio - частные значения ориентирующего угла на пункте k ; zko - предварительное значение дирекционного (ориентирующего) угла находят как среднее арифметическое из его частных значений:

448

В (16.145) n – число измеренных направлений на пункте k .

Отметим некоторые особенности уравнивания направлений на пункте k:

1.Сумма свободных членов на пункте должна быть равна нулю.

2.Из-за возможных погрешностей в вычислениях расстояния между пунктами следует определять дважды:

3.Сумма поправок в направления на каждом пункте должна быть равна

нулю.

4.Уравнения поправок для прямого и обратного направлений различаются только значениями δz и свободными членами.

5.Если а) – пункт i исходный, а пункт k определяемый, либо б) – пункт i определяемый, а пункт k исходный, либо в) – оба пункта исходные, то уравнения поправок в направления имеют соответственно следующий вид:

6. Порядок уравнивания направлений в триангуляции параметрическим способом следующий (в качестве измеренных величин обычно берут направления):

-вычисляют предварительные значения координат и дирекционных углов;

-составляют параметрические уравнения связи, вычисляют коэффициенты и свободные члены уравнений поправок; составляют уравнения поправок для направлений, измеренных на пункте;

-составляют и решают нормальные уравнения поправок к предварительно вычисленным координатам;

-вычисляют окончательные значения координат пунктов;

-вычисляют поправки в измеренные направления;

-выполняют контроль обработки и оценивают точность уравненных величин (элементов сети).

Уравнение поправок для угла может быть получено на основании того,

что значение угла равно разности дирекционных углов двух направлений:

или

449

Вычисление свободных членов lijk контролируют невязками W треугольников:

вычисляют из предварительных определений дирекционных углов и значениям измеренных горизонтальных углов β.

Уравнение поправок для измеренного расстояния находят из

В этом случае параметрические уравнения поправок для измеренного расстояния будут иметь вид:

определяют по значениям координат хо и уо, полученных из предварительных вычислений, а ski - измеренное значение расстояния.

В уравнении поправок (16.157) все линейные величины должны быть выражены в одних и тех же единицах.

Как было сказано выше, решение задачи уравнивания параметрическим способом основано на представлении всех измеренных величин в виде функций некоторых выбранных параметров. Пусть, например, в треугольнике из n искомых элементов измерено k необходимых величин. В данном случае все избыточные элементы r можно выразить в виде их функций, т.е. здесь не возникает задачи уравнивания. Например, в треугольнике АВС измерены углы А и В и длина линии АВ = с. Остальные элементы можно найти из соотношений:

С = 180о – (А + В)

450

Если же измерены избыточные (r ) параметры С, а и b, либо один из них, то возникает задача уравнивания.

Обозначим необходимые элементы буквой Тj. Для указанного треугольника в этом случае имеем: А = Т1, В = Т2, с = Т3. Соотношения (16.160) здесь можно записать в виде:

С = 180о – (Т1 + Т2)

Пусть, как и в коррелатном способе уравнивания, истинные значения Х1, Х2, …, Хn (нам неизвестные) измерены, в результате чего получены значения х1, х2, …, хn , из которых k – необходимые, а r =( n – k) – избыточные. Значения xi получены с весами pi .

Выберем такие независимые между собой параметры Тj (j = 1, 2, …, k), функциями которых можно выразить все измеренные величины xi (i = 1, 2,…, n) Очевидно, что число таких параметров должно быть равно k необходимых измерений. Получим функции

X n = f n (T1 ,T2 ,..., T j ,..., Tk )

Равенства (16.162) называют параметрическими уравнениями связи. Поскольку истинные значения Тj бывают неизвестными, то в процессе

уравнивания получают их вероятнейшие значения, а затем находят уравненные значения всех измеренных величин.

Обозначим уравненные значения параметров Tj буквой tj , тогда

x1' = x1 + ν1 = f1 (t1 , t2 , …, tj ,… , tk) x2' = x2 + ν2 = f2 (t1 , t2 , …, tj ,… , tk)

Если уравнения (16.163) имеют нелинейный вид, то решение этой системы уравнений практически невозможно.

Для решения системы уравнений (16.163) для параметров tj находят такие значения tjо (с такой их точностью), чтобы равенства (16.163) можно было привести к линейному виду разложением в ряд Тейлора с ограничением

451

где τj – поправки в приближенные значения параметров tjо. Тогда

νi = fi (t1+τ1 , t2+τ2 , …, tj+τj ,… , tk+τk) - xi (16.166) Разложим функцию (16.166) в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми

членами разложения:

(16.168) Первый индекс при параметре а показывает номер параметрического уравнения связи (измеренной величины), а второй – номер параметра t (и

поправки τ. В общем виде

Найдем разности между вычисленными значениями xio через приближенные значения параметров tio и измеренными значениями xi . Эти разности li называются свободными членами параметрических уравнений поправок:

В системе n уравнений (16.171) содержится (n+k) неизвестных, в связи с чем эта система является неопределенной. Так же, как и в коррелатном способе уравнивания, решение данной системы определяется условием минимума сумм квадратов поправок, т.е. [pv2] = min.

Опуская промежуточные математические преобразования (о них можно посмотреть в [3, 8, 40 и др.]), приведем окончательный вид системы нормальных уравнений, которая состоит из k уравнений с k неизвестными τj с учетом весов pi измеренных величин и значений li свободных членов параметрических уравнений поправок:

[ра1а1] τ1 + [ра1а2] τ2 + [ра1а3] τ3 + … + [ра1аk] τk + [pa1l] = 0

452

[ра2а1] τ1 + [ра2а2] τ2 + [ра2а3] τ3 + … + [ра2аk] τk + [pa2l] = 0

………………………………………………………………… (16.172)

[раiа1] τ1 + [раiа2] τ2 + [раiа3] τ3 + … + [раiаk] τk + [pail] = 0

…………………………………………………………………

[раnа1] τ1 + [раnа2] τ2 + [раnа3] τ3 + … + [раnаk] τk + [panl] = 0

В выражениях (16.172) индексы при коэффициентах а соответствуют вторым индексам коэффициентов aij в выражениях (16.171).

Для раскрытия гауссовых сумм в (16.172) составим матрицу коэффициентов aij с весами pi результатов измерений и со свободными членами li (табл. 16.39).

C учетом табл. 16.39 и выражений (16.172) приведем принцип раскрытия гауссовых сумм.

Таблица 16.39

Уравнение 1.

Коэффициент при τ1 равен сумме произведений веса с индексом аргумента (измеренной величины) на квадрат коэффициента 1-го столбца (диагональный коэффициент), т.е.

[pa1a1] = c11 = p1a112 + p2a212 + p3a312 + ...+ pnan12.

Коэффициент при τ2 равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 1-го и 2-го столбцов, т.е.

[pa1a2] = c12 = p1a11a12 + p2a21a22 + p3a31a32 + …+ pnan1an2 .

Коэффициент при τ3 равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 1-го и 3-го столбцов, т.е

[pa1a3] = c13 = p1a11a13 + p2a21a23 + p3a31a33 + …+ pnan1an3 .

Подобные действия производятся для остальных параметров τ перемножением коэффициентов 1-го столбца и столбца с индексом τ .

Свободный член уравнения 1 равен сумме произведений веса рi, свободного члена li и коэффициента a соответствующего столбца, т.е.

[pa1l] = d1 = p1a11l1 + p2a21l2 + p3a31l3+ …+ pnan1ln.

Уравнение 2.

Коэффициент при τ1 равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 2-го и 1-го столбцов, т.е.

[pa2a1] = c21 = p1a12a11 + p2a22a21 + p3a32a31 + …+ pnan2an1.

453

Коэффициент при τ2 равен сумме произведений веса с индексом аргумента на квадрат коэффициента 2-го столбца (диагональный коэффициент), т.е.

[pa2a2] = c22 = p1a122 + p2a222 + p3a322 + ...+ pnan22.

Коэффициент при τ3 равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 2-го и 3-го столбцов, т.е.

[pa2a3] = c23 = p1a12a13 + p2a22a23 + p3a32a33 +…+ pnan2an3.

Далее выполняются действия со 2-м столбцом и последующими оставшимися столбцами.

Свободный член уравнения 2 равен сумме произведений веса рi, свободного члена li и коэффициента a соответствующего столбца, т.е.

[pa2l] = d2 = p1a12l1 + p2a22l2 + p3a32l3+…+ pnan2ln.

Вычисление коэффициентов остальных уравнений аналогично. Коэффициенты последнего уравнения с индексом k являются диагональными.

Здесь, как и в коррелатном способе уравнивания, коэффициенты с с противоположными индексами равны друг другу. Следовательно, достаточно определить все диагональные коэффициенты и все коэффициенты, находящиеся справа от диагональных, а остальные записать в уравнениях поправок такими же, как и противоположные им по индексам.

Таким образом, получается система линейных уравнений поправок τj:

Из решения системы уравнений (16.173) находят значения неизвестных поправок τj к приближенным значениям параметров tj0 , определяют поправки νi по формулам (16.171) и вычисляют уравненные значения измеренных величин и выбранных параметров Tj (tj = tj0 + τj).

Приведем последовательность уравнивания геодезических построений параметрическим способом.

Шаг 1. Определяют число необходимых (k), число избыточных (r) в массиве общего числа n измерений xi, имеющих веса pi .

Шаг 2. Осуществляют выбор параметров tj таким образом, чтобы они не имели между собой никаких математических связей, т.е. были независимыми. Число таких параметров должно быть равно k – числу необходимых измерений. При этом все измеренные величины должны выражаться функционально через выбранные параметры tj .

Шаг 3. Определяют вид функций значений xi от аргументов tj , т.е. вид параметрических уравнений связи (16.162).

Шаг 4. Вычисляют приближенные значения tj0 параметров tj. Часто для этого выполняют предварительные вычисления (обработку) в схемах геодезических построений. Иногда выполняют предварительное уравнивание упрощенными способами, часто способом раздельного уравнивания.

454