68.3. Линейная засечка Этот способ удобно использовать в тех случаях, когда имеется возмож-
ность измерения расстояний S светодальномером, либо непосредственно компарированной рулеткой в одно уложение (рис. 7.7). Такие схемы часто
используют при небольших расстояниях между пунктами А и В, расположенными, например, на углах здания, и сравнительно большом расстоянии между пунктами В и С (в этом случае используют дополнительную точку Т, закрепляемую в створе линии
ВС).
Кроме того, при большом расстоянии между точками А и В можно и между ними (в створе) выбрать в удобном месте дополнительную точку при соблюдении примерного равенства
расстояний S. Значения координат точки М вычисляют по формулам:
X м = X A + |
|
(X B − X A )n + (YB − YA )T |
, |
(7.29) |
||||||
|
(X B − |
X A ) |
2 |
+ (YB − YA ) |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
YМ |
= YA + |
(YB − YA )n − (X B − X A )T |
, |
(7.30) |
||||||
(X B − |
X A ) |
2 |
+ (YB − YA ) |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
где
n = 0,5[S12 − S2 2 + (X B − X A )2 + (YB − YA )]2 ,
T = 
S12 [(X B − X A )2 + (YB − YA )2 ] − n2 .
Формулы (7.29) и (7.30) используют в том случае, когда точка М находится слева от направления из точки А на точку В. В связи с этим перед вычислениями необходимо составить схему расположения точки М относительно исходных точек А и В и учесть это при записи разностей координат Х и Y.
Задача решается дважды относительно точек А и В и точек В и С (Т). Часто решение линейной засечки выполняют по несколько измененным
формулам:
|
X М = X A |
+ |
t(X B − |
X A ) + |
h(YB − YA ) |
, |
|
(7.31) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
YМ = YA + |
t(YB − YA ) + h(X B − |
|
X A ) , |
|
|
(7.32) |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
d |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
где d = |
|
, |
|
S1 |
+ d 2 − |
S2 |
|
, |
|
|
|
|
. |
||
|
t = |
|
h = |
± |
S1 |
2 − t 2 |
|||||||||
( X B − X A )2 + (YB − YA )2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
2d |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение h берут со знаком «плюс», если точка М находится слева от направления из точки А на точку В. Если точка М находится справа от указанного направления, то значение h берут со знаком «минус».
Приближенная оценка точности произведенной линейной засечки может быть выполнена по формулам:
177
mМ |
|
|
mS1 |
2 + |
mS 2 |
2 |
|
, |
|
|
(7.33) |
||
|
|
sin γ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
mS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
, |
(7.34) |
||
mМ |
|
|
|
|
|
S1 |
+ |
|
S2 |
|
|||
S sin γ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где mS / S – относительная погрешность измерения линий; γ – угол засечки при определяемой точке (его вычисляют по теореме косинусов в соответствующем треугольнике).
Углы при определяемой точке не должны быть меньше 30о и более 150о. Большая точность достигается при углах γ в пределах 90о.
Пример 7.5. Привязка способом линейной засечки. Исходные данные (схема рис.7.7):
ХА = 4365,848 м |
|
|
ХВ = 4411,185 м |
ХС = 5641,756 м |
||||
YA = 6513,603 м |
|
|
YВ = 6786,445 м |
YС = 8136,097 м |
||||
S1 = 211,423 м; |
S2 = 268,505 м; S3 = 379,666 м; S4 = 220,344 м. |
|||||||
Стороны измерены с относительной погрешностью 1:10000. |
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из решения обратной геодезической задачи находим: |
||||||||
α АВ = 80 |
0 |
′ |
′′ |
; |
α |
ВС |
= 47 038′33′′ |
; SАВ = 276,583 м. |
33 56 |
|
|
|
|||||
Определяем координаты точки Т (прямая геодезическая задача):
Х Т |
= Х В + S4 cos α BC = 4559 ,643 м |
YT |
= YB + S4 sin α BC = 6949 ,269 м |
Воспользуемся формулами (7.29) и (7.30). |
|
Для треугольника АВМ: n = 24551,453 ; D = 53072,306. |
|
ХМ(1) = 4569,689 м ; YM(1) = 6569,716 м |
|
Для треугольника ВМТ: n = -11749,929 ; D = 57984,954. |
|
ХМ(2) = 4569,717 м ; YM(2) = 6569,737 м. |
|
Невязки в координатах: |
|
f X |
= X M (1) − X M (2) = 0,028 м; fY = YM (1) − YM (2) = 0,021 м; f АБС = 0,035 м |
Если это условие удовлетворяет необходимой точности привязки, то вычисляют |
|
средние значения координат точки М: |
|
ХМ = 4569,703 м; YМ = 6569,727 м
Выполним оценку точности определения координат точки М по формуле (7.34). Для этого по теореме косинусов найдем углы γ в треугольниках АМВ и ВМТ при точке М (вычисления достаточно выполнить с точностью до 0,50): γ1 = 69,20; γ2 = 34,70.
mS1 = |
|
S1 |
= 0,021м; mS 2 = |
|
S2 |
= 0,027 м; mS 3 = |
|
S3 |
= 0,038 |
м; |
||
10000 |
10000 |
10000 |
||||||||||
Из треугольников АВМ и ВМТ соответственно получим: |
|
|
|
|||||||||
mM1 = 0,037 м; mM2 = 0,082 м; средняя погрешность mM = 0,5 |
mM1 |
2 + mM 2 |
2 |
= 0,045 м. |
||||||||
68.4. Обратная угловая засечка
Привязка способом обратной угловой засечки может быть выполнена по трем исходным геодезическим пунктам, если определяемая точка не лежит на окружности, описанной по ним. Оптимально, когда определяемая точка находится внутри треугольника (рис. 7.8 а).
178
Рис. 7.8. Обратная угловая засечка.
Схема обратной угловой засечки (а). Построение инверсионных треугольников (б)
При удалении точки М от опасной окружности на 10% ее радиуса уже обеспечивает решение задачи определения координат искомой точки. Для графической оценки положения точки М составляют схему привязки и контролируют выполнение условия β 2 + β 3 + ϕ - 1800 ³ 200 - 300 .
Следует иметь ввиду, что в данном случае не обеспечивается надежный контроль привязки, поэтому целесообразно использовать для решения указанной задачи четыре исходных пункта, т.е. в определяемой точке необходимо еще измерить угол β3 на исходный пункт D.
Координаты точки М находят по формулам С.Г.Молочкова:
|
X M = X B |
+ |
|
K1 + K2tgα BM |
|
|
1+ tg 2α BM |
||
|
|
|
|
|
|
YM = YB + ( X M - |
|||
где K1 |
= (X A - X B ) + (YA - YB )ctgβ 1 ; |
|||
K 2 |
= (YA - YB ) - (X A - |
|
X B )ctgβ 1 ; |
|
K3 |
= (X c − X B ) − (Yc − YB )ctgβ 2 ; |
|||
K 4 |
= (Yc − YB ) + (X c − |
X B )ctgβ 2 ; |
||
= X B + |
K3 + |
K4tgα BM |
, |
|||
1+ |
2 |
α BM |
||||
|
tg |
|
||||
X B )tgα BM |
, |
|
|
|
||
tgα BM |
= |
K3 − K1 |
. |
|
||
|
|
|||||
|
|
K2 |
− K4 |
|
||
(7.35)
(7.36)
При наличии четвертого пункта (D) координаты точки М могут быть получены дважды: при использовании пунктов D, A и B и при использовании пунктов А, В и С. При этом может оказаться, что точность определения координат будет различной, в связи с чем целесообразно установить, относительно каких пунктов следует определять координаты точки М, а какой из пунктов будет контрольным. Указанная задача решается методом инверсионных треугольников.
Построение инверсионных треугольников выполняется на графической схеме привязки, построенной в произвольном масштабе длин, но с таким расчетом, чтобы отрезки S были не менее 6 – 7 см. На этих отрезках откладывают в принятом масштабе значения параметров qi (градиентов):
qi = |
ρ ′′ |
. |
(7.37) |
|
|||
|
Si |
|
|
Получают соответствующие инверсионные треугольники: 123 – для пунктов D, A и B и 234 – для пунктов А, В и С (рис. 7.8 б). Из точек 1, 2, 3 и 4
179
опускают высоты hi на соответствующие стороны и графически, в масштабе q, получают их значения.
Графическая оценка точности выполняется по формулам:
1 |
|
1 |
; M 2 = mβ |
1 |
|
1 |
, |
(7.38) |
|
M1 = mβ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|||
h2 |
h2 |
h2 |
h2 |
||||||
1 |
|
3 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
где М – средняя квадратическая погрешность определения координат точки М; mβ – средняя квадратическая погрешность измерения углов.
По минимальной величине М выбирают исходные пункты для вычисления координат по формулам (7.35) и (7.36).
Иногда координаты определяют два раза, по двум группам из трех исходных пунктов, а оценку погрешности выполняют по средней ее величине, как это делалось в предыдущих способах.
Контроль вычислений по четвертому исходному пункту выполняют сравнением измеренного горизонтального угла (или углов, если пунктов более четырех) с вычисленным его значением. Например, если контрольное направление выбрано на пункт D, то сравнивают
(β 3 )ВЫЧ = α MD − α МC |
(7.39) |
стем же горизонтальным углом, измеренным в поле. Разница в полученных углах является критерием качества привязки. Для теодолитных ходов указанная разница не должна превышать 1'.
Передача дирекционного угла на определяемую линию MN выполняется
сучетом значения горизонтального угла β4 (правого или левого по ходу). Аналитическая оценка точности определения координат точки М (линей-
ная погрешность mM) может быть получена по формуле
|
|
S |
2 |
m |
² |
æ |
S1 |
ö |
2 |
æ |
ö |
2 |
|
||
mM = |
|
|
β |
|
ç |
|
+ |
ç |
S3 |
|
, |
(7.40) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ρ ¢¢ sin(ω |
|
+ |
β 1 + β |
ç |
L3 |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ) è |
ø |
|
è |
L1 ø |
|
|
||||||
где ω = α BA − α BC при использовании пунктов А, В и С; S и L определяют из |
|||||||||||||||
решения обратной геодезической задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 7.6. Привязка по способу обратной угловой засечки. |
|||||||||||||||
Исходные данные (схема рис. 7.8): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
XA = 5535,793 м ; |
ХВ = 5633,352 м ; |
ХС = 2490,280 м ; |
ХD = 2385,336 м |
||||||||||||
YА = 3733,771 м ; |
YВ = 7984,056 м ; |
YС = 8879,172 м ; |
YD = 3694,242 м |
||||||||||||
β1 = 84о41'48" ; β2 = 81о13'25" ; |
β3 = 138о50'16" ; |
|
β4 = 32о36'18" |
||||||||||||
Решение.
По схеме, построенной в произвольном масштабе, но с соблюдением ее геометрии по горизонтальным углам, получим длины отрезков S в мм и в метрах: S1 = 72,5 мм (3625 м); S2 = 54,0 мм 2700 м); S3 = 51,3 мм (2565 м); S4 = 59,2 мм (2960 м).
По формуле (7.37) вычислим значения градиентов (q1 = 56,9; q2 = 76,4; q3 = 80,4; q4 = 69,7) и построим их величины на схеме по соответствующим сторонам в условно выбранном масштабе. Получатся точки 1, 2, 3 и 4. В результате образованы два инверсиионных треугольника 123 и 234.
Построим в инверсионных треугольниках высоты hi и графически в масштабе q измерим их значения: h1 = 91,0; h2 = 90,0; h3 = 97,0; h4 = 132,0.
Принимая mβ = 2,0" (здесь необходимо учитывать фактическую точность измерения углов), по формулам (7.38) вычислим значения средних квадратических погрешностей: М1 = 0,030 м; М2 = 0,027 м.
180
Поскольку М2 меньше М1, то целесообразно для вычисления координат точки М использовать второй инверсионный треугольник (234), т.е. использовать для вычислений координат исходные точки В, С и D.
Далее решаем задачу по формулам Молочкова (7.35) и (7.36) для установленных исходных пунктов:
|
|
K1 |
= (X В − |
X С ) + (YВ − YС )ctg β 2 |
= + 3004,8784 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
K 2 |
|
= (YВ − YС ) − ( X В − |
|
X С )ctgβ 2 |
= - 1380,3631 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
K3 |
|
= (X D − |
X C ) − (YD − YC )ctg β 3 |
|
= - 6035,5272 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
K4 |
|
= (YD − YC ) + (X D − X C )ctg β 3 |
|
= - 5064,8938 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
tgα BM = |
|
K3 - K1 |
|
= - 2,453611348 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
K2 - K4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
X M |
= |
X B + |
|
K1 + |
K2tgα СM |
= 3400,759 м, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ |
tg |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α СM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
X M |
= |
X B + |
|
K3 + |
K |
4tgα СM |
= 3400,759 м , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ |
tg |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α СM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
YM = YB + (X M − X С )tgα СM = 6645,210 м . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Контроль привязки выполняем по направлению на четвертый исходный пункт А. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Из решения обратной геодезической задачи найдем дирекционные углы направлений |
|||||||||||||||||||||||||||||||
MА и МВ: α |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
¢ |
|
¢¢ |
; α MВ |
= |
30 |
0 |
57 |
¢ |
|
¢¢ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
MА = 306 15 12,8 |
|
|
|
01,3 . Проверяем разность |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(α |
МВ |
− α |
MА |
) = (β |
1 |
) |
: (α МВ |
- |
α MА ) = 30 |
0 |
57 |
¢ |
|
|
|
¢¢ |
+ 360 |
0 - |
0 |
¢ |
¢¢ |
0 ¢ |
¢¢ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01,3 |
|
|
306 15 12,8 |
= 84 |
41 48,5 . |
||||||||||||||||||
Как видим, различие составляет всего 0,5", что для данных условий вполне допустимо.
Аналитическая оценка точности определения координат точки М по формуле (7.40) дает значение М = 0,0279 м = 28 мм. Все параметры, входящие в формулу (7.40), получены из решения обратной геодезической задачи по соответствующим направлениям
(ϕ = 75 015′47′′ ; S2 = 2603,263 м ; S3 = 2412,376 м ; S4 |
= 3120,785 м; L3 = 3268,047 м ; |
|||||||||||
L4 = LСD = 5185,992 м). При этом значение М вычислено с учетом определения координат |
||||||||||||
через исходные пункты В, С и D по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
² |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S3m |
æ |
S |
2 |
ö 2 |
æ |
S |
4 |
ö 2 |
|
||
mM = |
|
β |
ç |
|
|
ç |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
ρ ¢¢ sin(ϕ С + |
β 2 + β 3 ) |
ç |
L4 |
|
+ ç |
L3 |
. |
|||||
|
è |
ø |
è |
ø |
|
|||||||
Аналогичная задача привязки точки М (задача обратной однократной засечки) может быть решена по формулам И.Ю.Пранис-Праневича. Она решается для трех исходных пунктов и двух измеренных горизонтальных углов в определяемой точке. Например, в соответствии со схемой рис. 7.8, для исходных пунктов А, В и С и измеренных углов β1 и β2 координаты точки М вычисляют по формулам:
|
X M |
= |
X B + D X |
|
= |
X B |
+ |
|
|
|
N |
|
|
|
, |
|
|
(7.41) |
|||||
|
|
1+ |
ctg |
2 |
α BM |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
YM = YB + |
|
|
X ×ctgα BM , |
|
|
|
|
|
|
|
(7.42) |
|||||||||
(YB - YC )ctgβ 2 |
|
+ |
(YB - YA )ctgβ 1 + |
|
X C - |
X A |
|
||||||||||||||||
ctgα BM = |
|
|
; |
||||||||||||||||||||
(X |
B |
- |
X |
C |
)ctgβ |
2 |
+ (X |
B |
- X |
A |
)ctgβ |
1 |
|
+ Y |
A |
- Y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
||||||||
N = (YB − YC )(ctg β 2 |
− ctg α BM ) + (X C − X B )(1+ ctg α BM ctg β 2 . |
||||||||||||||||||||||
Пример 7.7. Обратная однократная засечка. Исходные данные примера 7.6.
181