
- •Предисловие
- •Глава 1. Вводная часть
- •§ 1. Предмет и задачи геодезии
- •§ 2. Краткие исторические сведения
- •§ 3. Единицы измерений, применяемые в геодезии
- •§ 4. Фигура и размеры Земли
- •§ 5. Содержание курса и рекомендации по его изучению
- •Глава 2. Топографические карты и планы
- •§ 6. Влияние кривизны Земли на измеренные расстояния
- •§ 7. Краткие сведения о картографических проекциях
- •§ 8. Общие сведения о топографических картах и планах
- •§ 9. Система географических координат
- •§ 10. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера
- •§ 11. Разграфка и номенклатура топографических карт и планов
- •§ 12. Зональная система плоских прямоугольных координат Гаусса
- •§ 13. Перевычисление координат из зоны в зону
- •§ 14. Система высот
- •§ 15. Условные знаки топографических карт и планов
- •§ 16. Изображение рельефа на топографических картах и планах
- •§ 17. Ориентирование
- •§ 18. Решение некоторых задач с использованием топографической карты
- •18.1. Измерение расстояний
- •18.2. Определение географических и прямоугольных координат
- •18.3. Ориентирование линий
- •18.4. Ориентирование карты на местности
- •18.5. Определение высот точек
- •18.6. Построение профиля
- •18.7. Построение линии заданного уклона
- •18.9. Определение площадей на топографических картах и планах
- •§ 19. Виды измерений
- •§ 20. Классификация погрешностей измерений
- •§ 21. Свойства случайных погрешностей
- •§ 22. Среднее арифметическое
- •§ 23. Средняя квадратическая погрешность
- •§ 24. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •§ 25. Обработка ряда равноточных измерений одной величины
- •§ 26. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •§ 27. Средняя квадратическая погрешность двойных равноточных однородных измерений
- •§ 28. Понятие о весе результата измерения
- •§ 29. Средняя квадратическая погрешность единицы веса и арифметической середины
- •§ 30. Обработка ряда неравноточных измерений одной величины
- •Глава 4. Государственные геодезические сети
- •§ 31. Назначение Государственных геодезических сетей
- •§ 32. Классы геодезических сетей
- •§ 33. Методы построения Государственных геодезических сетей
- •§ 34. Закрепление пунктов геодезических сетей
- •§ 35. Оценка точности построения опорных геодезических сетей
- •§ 36. Оценка точности построения сетей триангуляции
- •§ 37. Оценка точности построения звена полигонометрии
- •§ 38. Оценка точности построения сетей трилатерации
- •Глава 5. Геодезические приборы
- •§ 39. Классификация геодезических приборов
- •§ 40. Теодолиты
- •§ 41. Зрительные трубы
- •§ 42. Уровни и компенсаторы наклона
- •§ 43. Устройство теодолита
- •§ 44. Установка теодолита в рабочее положение
- •§ 45. Измерение горизонтальных углов и углов наклона
- •45.1. Способ приемов
- •45.2. Способ повторений
- •45.3. Способ круговых приемов
- •45.4. Измерение углов наклона
- •§ 46. Поверки теодолитов
- •§ 47. Нивелиры
- •§ 48. Устройство нивелира
- •§ 49. Нивелирные рейки
- •§ 50. Установка нивелира в рабочее положение
- •§ 51. Измерение превышений
- •§ 52. Поверки нивелиров
- •§ 53. Приборы для линейных измерений
- •§ 54. Гироскопические приборы
- •§ 55. Приборы для поиска подземных коммуникаций
- •Глава 6. Оптико-электронные геодезические приборы
- •§ 56. Общие замечания
- •§ 57. Краткие сведения о лазерных источниках излучения
- •§ 58. Электромагнитные дальномеры
- •§ 59. Светодальномеры
- •§ 60. Интерферометры
- •§ 61. Угломерные приборы
- •§ 62. Электронные тахеометры
- •§ 63. Электронные нивелиры
- •§ 64. Лазерные приборы
- •Глава 7. Построение съемочного обоснования
- •§ 65. Назначение и виды теодолитных ходов
- •§ 66. Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости
- •§ 67. Взаимосвязь дирекционных углов с измеренными на местности горизонтальными углами
- •§ 68. Привязка теодолитных ходов
- •68.1. Способ примыкания
- •68.2. Прямая угловая засечка
- •68.3. Линейная засечка
- •68.4. Обратная угловая засечка
- •68.5. Комбинированные засечки
- •68.6. Задача П.А.Ганзена
- •§ 69. Особые системы теодолитных ходов
- •§ 70. Снесение координат с вершины знака на землю
- •§ 71. Определение элементов приведения и редукции
- •§ 72. Привязка теодолитных ходов к стенным геодезическим знакам
- •§ 73. Спутниковые методы определения координат
- •§ 74. Организация полевых работ при построении съемочного обоснования
- •74.1. Рекогносцировка и закрепление точек съемочного обоснования
- •74.2. Подготовка абрисов горизонтальной съемки
- •74.3. Поверки теодолита и нивелира
- •74.4. Компарирование мерных приборов
- •74.5. Измерение длин линий
- •74.6. Измерение горизонтальных углов и углов наклона
- •§ 75. Вычисления в разомкнутом теодолитном ходе
- •75.1. Предварительные вычисления
- •75.2. Обработка результатов угловых измерений
- •75.3. Вычисление приращений координат и оценка точности хода
- •75.4. Рекомендации к поиску вероятных погрешностей в измерениях и вычислениях при обработке ведомости координат
- •75.5. Уравнивание приращений координат и вычисление координат точек хода
- •75.6. Обработка ведомости высот
- •§ 76. Вычисления в замкнутом теодолитном ходе
- •76.1. Оценка точности угловых измерений и вычисление дирекционных углов
- •76.2. Вычисление приращений координат и оценка точности хода
- •76.3. Уравнивание приращений координат и вычисление координат точек хода
- •76.4. Обработка ведомости высот
- •§ 77. Обработка диагонального хода
- •Глава 8. Топографические съемки
- •§ 78. Назначение и виды топографических съемок
- •§ 79. Понятие о цифровой модели местности
- •§ 80. Теодолитная съемка
- •§ 81. Тахеометрическая съемка
- •§ 82. Составление плана местности по результатам топографической съемки
- •82.2. Нанесение на план точек съемочного обоснования
- •82.3. Нанесение на план результатов тахеометрической съемки
- •82.4. Рисовка рельефа и ситуации
- •82.5. Построение на плане ситуации по результатам теодолитной съемки
- •Глава 9. Нивелирные работы
- •§ 83. Способы и методы нивелирования
- •§ 84. Способы геометрического нивелирования
- •§ 85. Основные источники погрешностей геометрического нивелирования
- •§ 86. Техническое нивелирование
- •§ 87. Трассирование
- •§ 88. Расчет и разбивка главных точек кривых на трассе
- •§ 89. Нивелирование поперечных профилей
- •§ 90. Обработка результатов нивелирования трассы
- •§ 91. Построение профиля трассы
- •§ 92. Построение проектной линии
- •§ 93. Построение поперечного профиля и проектного полотна дороги
- •§ 94. Нивелирование площадей
- •Глава 10. Геодезические разбивочные работы
- •§ 95. Назначение и организация разбивочных работ
- •§ 96. Построение на местности проектного горизонтального угла
- •§ 97. Построение на местности проектного расстояния
- •§ 99. Способы разбивочных работ
- •§ 100. Расчет разбивочных элементов
- •§ 101. Разбивочные работы при трассировании
- •§ 102. Разбивка фундаментов инженерных сооружений
- •§ 103. Оценка точности разбивочных работ
- •Глава 11. Геодезические работы в строительстве
- •§ 104. Общие положения
- •§ 105. Краткие сведения об объектах строительства
- •§ 106. Геодезические работы при строительстве промышленных сооружений
- •§ 107. Геодезические работы при строительстве гражданских зданий
- •§ 108. Геодезические работы при строительстве дорог и мостовых сооружений
- •§ 109. Геодезические работы при планировании и застройке населенных пунктов
- •§ 110. Геодезические работы при строительстве подземных коммуникаций
- •§ 111. Геодезические работы при строительстве гидротехнических сооружений
- •Глава 12. Геодезические работы в подземном строительстве
- •§ 115. Горизонтальная соединительная съемка
- •115.2. Горизонтальная соединительная съемка через один шахтный ствол
- •§ 116. Вертикальная соединительная съемка
- •§ 117. Подземная горизонтальная съемка
- •§ 118. Подземная вертикальная съемка
- •§ 119. Геодезические разбивочные работы в подземном строительстве
- •§ 120. Задачи и содержание топографо-геодезических работ
- •§ 121. Точность геодезических работ
- •§ 122. Создание топографических карт и планов
- •§ 123. Разбивка геодезических сеток и профильных линий
- •§ 124. Разбивочные работы при проведении геологической разведки
- •§ 126. Виды деформаций инженерных сооружений
- •§ 127. Задачи наблюдений и организация работ
- •§ 128. Геодезические знаки и их конструкции
- •§ 129. Размещение геодезических знаков на инженерных сооружениях
- •§ 130. Точность измерения деформаций
- •§ 131. Периодичность наблюдений
- •§ 132. Наблюдения за вертикальными перемещениями
- •§ 133. Наблюдения за горизонтальными смещениями
- •§ 134. Наблюдения за кренами
- •§ 135. Наблюдения за деформациями земной поверхности
- •§ 136. Разработка методики наблюдений
- •§ 137. Обработка и анализ результатов наблюдений
- •Глава 15. Особенности точных и высокоточных измерений
- •§ 138. Основные группы погрешностей измерений
- •§ 139. Учет влияния рефракции атмосферы
- •§ 140. Высокоточное и точное геометрическое нивелирование
- •§ 141. Нивелирование I класса
- •§ 142. Нивелирование II класса
- •§ 143. Нивелирование III и IV классов
- •§ 144. Особенности точного и высокоточного нивелирования при наблюдениях за деформациями
- •§ 145. Высокоточные и точные угловые измерения
- •§ 146. Высокоточные и точные измерения в схемах микротриангуляции, микротрилатерации и короткобазисной полигонометрии
- •Глава 16. Уравнивание геодезических построений
- •§ 147. Основные задачи уравнительных вычислений
- •§ 148. Метод наименьших квадратов
- •§ 149. Классификация основных способов уравнивания
- •§ 150. Основные геометрические условия, возникающие в построениях
- •150.1. Условие фигуры
- •150.2. Условие горизонта
- •150.3. Условие суммы углов
- •150.4. Условие дирекционных углов
- •150.5. Условие сторон
- •150.6. Условие полюса
- •150.7. Условие координат
- •§ 151. Методы решения систем линейных нормальных уравнений
- •151.1. Способ последовательной подстановки
- •151.2. Способ матричных преобразований
- •151.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •151.4. Способ краковянов
- •§ 152. Коррелатный способ уравнивания
- •§ 153. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •153.1. Уравнивание углов в полигоне
- •153.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •153.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •153.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •153.5. Уравнивание триангуляции
- •153.6. Уравнивание триангуляции по условию координат
- •§ 154. Параметрический способ уравнивания
- •§ 155. Примеры параметрического способа уравнивания
- •155.1. Уравнивание углов в полигоне
- •155.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •155.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •155.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •155.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •§ 156. Способ раздельного уравнивания
- •156.1. Уравнивание полигонометрического хода
- •156.2. Система полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •156.3. Система нивелирных ходов с одной узловой точкой
- •§ 157. Способ эквивалентной замены
- •§ 158. Способ полигонов В.В.Попова
- •§ 159. Способ последовательных приближений
- •§ 160. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •160.1. Общие положения
- •160.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •160.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Предметный указатель
- •Список литературы
- •Оглавление
ν β i = |
k1 + k2 |
− 0,1638 k4 − 0,5133 k5 − 1,0102 k6 + |
0,4625 k7 = |
+ 1,48′′; |
|||||||||||
ν β 2 |
= |
k1 + k2 |
+ 0,0410 k4 − 0,4071k5 − 0,8053 k6 |
+ 0,5686 k7 |
= |
+ 1,22′′; |
|||||||||
ν β 3 |
= |
k2 |
− 0,5849 k6 |
+ 0,8222 k7 |
= |
+ 0,33′′; |
|
|
|
|
|||||
ν β 4 |
= |
k2 |
− 0,2959 k6 |
+ 0,5235 k7 |
= |
− 0,03′′; |
|
|
|
|
|||||
ν β 5 |
= |
k2 |
+ k3 − 0,1863 k6 + 0,3628 k7 − 0,1863 k8 + 0,3628 k9 |
= |
+ 1,97′′; |
||||||||||
ν β 6 |
= |
k2 |
+ k3 |
= |
+ 0,37′′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ν β 7 |
= |
0,2614 k4 |
− 0,1535 k5 = + 0,53′′; |
|
|
|
|
|
|||||||
ν β 8 |
= |
k1 |
= + 0,47′′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ν β 9 |
= |
k3 − 0,2959 k8 + 0,5235 k9 |
= + 2,74′′; |
|
|
|
|
||||||||
ν β 10 |
= |
k3 + 0,1075 k8 |
+ 0,2638 k9 |
= |
+ 1,16′′; |
|
|
|
|
||||||
ν β 11 |
= |
k3 + 0,3441k8 |
+ 0,1179 k9 |
= |
+ 0,26′′; |
|
|
|
|
||||||
ν s1 = 0,810[− 0,4601(k4 + k6 ) + 0,8879 (k5 + k7 )] |
= |
− 0,03см ≈ |
− 0,3мм; |
||||||||||||
ν s 2 |
= |
0,810[− 0,7548 (k4 + k6 ) + 0,6560 (k5 + k7 )] = |
+ 0,310см ≈ + 3,1мм; |
||||||||||||
ν s3 |
= 0,810[0,7188 k6 |
+ 0,6952 k7 ] = |
− 0,119см ≈ |
− 1,2мм; |
|
|
|||||||||
ν s 4 |
= 0,810[0,8261(k6 |
+ k8 ) + 0,5635 (k7 + k9 )] = |
− 0,576см ≈ |
− 5,8мм; |
|||||||||||
ν s5 |
= |
0,810[0,8895(k6 + k8 ) + 0,4569(k7 + k9 )] = |
− 0,979см ≈ |
− 9,8мм; |
|||||||||||
ν s6 |
= |
0,810[− 0,5064k4 − 0,8623k5 |
] |
= |
+ 0,842см ≈ |
+ 8,4мм; |
|
|
|||||||
ν s7 |
= |
0,810[− 0,5250k8 − 0,8511k9 |
] |
= |
− 0,772см ≈ |
− 7,7мм; |
|
|
|||||||
ν s8 |
= |
0,810[− |
0,5412k6 − 0,8409k9 |
] |
= |
− 0,734см ≈ |
− 7,3м |
|
|
Шаг 6. Вычисление уравненных значений координат и дирекционных углов.
Поправки в измеренные величины вводим непосредственно при обработке ведомости уравнивания (табл. 16.23), составленной по аналогии с табл. 16.20.
Как видно из данных уравнивания (при сравнении с исходными даными) линейные остаточные невязки в ходах не превышают 3-х мм, угловые остаточные невязки равны нулю.
Задача решена.
Остаточные невязки в углах и координатах являются несущественными и зависят от округления промежуточных результатов.
Обычно после завершения уравнивания значения координат округляют до 1 мм, а значения углов до 0,1".
153.5. Уравнивание триангуляции
На рис. 16.11 приведена схема триангуляции с измеренными углами γi ,
βi, ηi и ti (табл. 16.24).
При использовании условия фигур и суммы углов в триангуляционном построении образуется пять условных уравнений, поскольку имеется только пять избыточных измерений.
434

Рис. 16.11. Схема триангуляции
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.24 |
γi |
Значение |
βi |
Значение |
ηi |
Значение |
ti |
Значение |
γ1 |
угла |
β1 |
угла |
η1 |
угла |
t1 |
угла |
63° 17' 12,4" |
54° 53' 45,6" |
61° 49' 05,6" |
118° 09' 06,8" |
||||
γ2 |
69° 05' 49,6" |
β2 |
47° 38' 49,3" |
η2 |
63° 15' 18,8" |
t2 |
122° 09' 15,1" |
γ3 |
55° 16' 40,1" |
β3 |
50° 12' 47,4" |
η3 |
74° 30' 27,7" |
|
|
Если бы в триангуляционном построении не измерялись углы ti, то при равноточном измерении углов в каждом из треугольников (1), (2) и (3), имеющих невязки W(1) = +3,6", W(2) = - 2,3" , W(3) = - 4,8" , достаточно поровну распределить их по всем соответствующим углам (с обратным знаком). Таким образом, поправки в углы в треугольнике (1) были бы равны -1,2", в треугольнике (2) - +0,8" (+0,77"), в треугольнике (3) - +1,6".
Если в триангуляционном построении не планируется уравнивать углы с учетом условия координат, либо других условий, учитывающих линейные измерения, а также в случаях, когда на другом конце триангуляционного построения нет второй базисной линии или исходного пункта, то часто число избыточных измерений увеличивают, например, измеряют углы ti.
Введем условие неравноточности измерений углов, определяемое числом полных приемов n измерения каждого угла. При этом вес угла определим по формуле (3.38), приняв за единицу веса nе = 3 (табл. 16.25).
Таблица 16.25
Углы |
γ 1 |
γ 2 |
γ 3 |
β 1 |
β 2 |
β 3 |
η1 |
η2 |
η3 |
t1 |
t2 |
ni |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
3 |
3 |
2 |
3 |
3 |
pi |
0,67 |
1 |
1 |
1,33 |
1,33 |
1,33 |
1 |
1 |
0,67 |
1 |
1 |
qi |
1,50 |
1 |
1 |
0,75 |
0,75 |
0,75 |
1 |
1 |
1,50 |
1 |
1 |
Составим условные уравнения фигур и сумм углов:
435

1.γ 1 + β 1 + η 2 |
+ |
β 2 + γ 2 |
+ η 1 − 3600 |
= |
0; |
|
2.γ 2 + η 2 |
+ γ 3 + |
β 3 + η 3 + β 2 − 3600 |
= |
0; |
||
3.γ 2 + η 2 |
+ β 2 |
− 1800 = |
0; |
|
(16.121) |
|
4.β 1 + η 2 |
− t1 = |
0; |
|
|
|
|
5.β 2 + η 3 |
− t2 |
= |
0. |
|
|
|
В этом случае уравнения поправок примут вид:
1.ν γ 1 + ν β 1 + ν η 2 + ν β 2 + ν γ 2 + ν η 1 + W1 = 0; |
|
|
2.ν γ 2 + ν η 2 |
+ ν γ 3 + ν β 3 + ν η 3 + ν β 2 + W2 = 0; |
(16.122) |
3.ν γ 2 + ν β 2 |
+ ν η 2 + W3 = 0; |
|
4.ν β 1 + ν η 2 |
− ν t1 + W4 = 0; |
|
5.ν β 2 + ν η 3 − ν t 2 + W5 = 0.
Вычислим значения невязок (свободных членов уравнений поправок):
W1 = ∑(углы фигуры 1-2-3-4-1) – 360о = 360° 00' 01,3" – 360° = +1,3"; W2 = ∑(углы фигуры 1-3-5-4-1) – 360° = 359° 59' 52,9" – 360° = - 7,1"; W3 = ∑(углы треугольника 1-3-4) – 180 = 179° 59' 57,7" = - 2,3";
W4 = β1 + η2 - t1 = 118° 09' 04,4" – 118° 09' 06,8" = - 2,4" ; W5 = β2 + η3 - t2 = 122° 09' 17,0" – 122° 09' 15,1" = + 1,9" .
Составим таблицу коэффициентов aij. С учетом неравноточности измерений, матрица коэффициентов aij будет содержать значения обратных весов измеренных углов (табл. 16.26).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.26 |
|
i→ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
j↓ |
γ1 |
γ2 |
γ3 |
β1 |
β2 |
β3 |
η1 |
η2 |
η3 |
t1 |
t2 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
-1 |
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
-1 |
qi |
1,50 |
1,00 |
1,00 |
0,75 |
0,75 |
0,75 |
1,00 |
1,00 |
1,50 |
1,00 |
1,00 |
С учетом обратных весов составим нормальные уравнения коррелат:
1. |
6k1 |
+ 2,75 k2 |
+ 2,75 k3 |
+ 1,75 k4 |
+ 0,75k5 |
+ 1,3 = 0; |
|
||||||||
2. |
2,75 k1 |
+ 6 k2 |
+ |
2,75 k3 |
+ |
k4 |
+ |
2,25 k5 - |
7,1 = 0; |
(16.123) |
|||||
3. |
2,75 k1 |
+ |
2,75 k2 |
+ |
2,75 k3 |
+ |
k4 |
+ 0,75 k5 |
- 2,3 = 0; |
||||||
4. |
|
1,75 k1 |
+ |
k2 |
+ |
k3 |
+ 2,75 k4 |
- 2,4 = |
0; |
|
|
||||
5. |
|
0,75k1 |
+ |
2,25 k2 |
+ 0,75 k3 |
+ |
3,25 k5 |
+ 1,9 |
= 0. |
|
|||||
Из решения системы линейных уравнений (16.123) получим: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
k 1 = -1,303; k2 = +2,362; k3 = -0,008; k4 = +0,846; k5 = -1,917. |
|
||||||||||
Контрольная подстановка коррелат в исходные уравнения (16.123) |
|||||||||||||||
показывает выполнение указанных условий. |
|
|
|||||||||||||
Значения поправок в измеренные углы определяем с использованием |
|||||||||||||||
табл. 16.26: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ν γ 1 |
= 1,50 k1 |
= − 1,95 5′′ ≈ − 2,0′′ |
|
|
|
ν η 1 = k1 = − 1,30 3′′ ≈ |
− 1,3′′ |
||||||||
ν γ 2 |
= |
k1 + k2 + k3 = + 1,051′′ ≈ |
+ 1,1′′ |
|
|
|
|
||||||||
ν η 2 = k1 + |
k2 + k3 + k4 |
= |
+ 1,897′′ = + 1,9′′ |
|
|
|
|
436

ν γ 3 |
= k2 = + 2,362′′ ≈ + 2,4′′ |
|
|
|
|
|
|
|
ν η 3 = 1,50(k2 + k5 ) = + 0,668′′ ≈ + 0,7′′ |
|
|
|
|
|
|
||
ν β 1 |
′′ |
′′ |
ν t1 |
= |
− k4 |
= |
− 0,846′′ ≈ |
− 0,8′′ |
= 0,75(k1 + k4 ) = − 0,343 |
≈ − 0,3 |
|||||||
ν β 2 |
= 0,75(k1 + k2 + k3 + k5 ) = |
− 0,650′′ ≈ − 0,6′′ |
ν t 2 |
= |
− k5 |
= |
+ 1,917′′ ≈ |
+ 1,9′′ |
ν β 3 |
= 0,75 k2 = + 1,77 2′′ ≈ + 1,8′′ |
|
|
|
|
|
|
Контроль вычисления поправок осуществляется выполнением условий в уравнениях (16.122). Указанные условия выполнены в пределах погрешностей округлений.
Уравненные значения углов приведем в табличной форме (табл. 16.27). Контроль уравнивания углов производится подстановкой их уравнен-
ных значений в условные уравнения (16.121).
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
γi |
Значение |
βi |
Значение |
ηi |
Значение |
ti |
Значение |
|
угла: |
|
угла: |
|
угла: |
|
угла: |
|
измеренное |
|
измеренное |
|
измеренное |
|
измеренное |
|
(поправка) |
|
(поправка) |
|
(поправка) |
|
(поправка) |
|
уравненное |
|
уравненное |
|
уравненное |
|
уравненное |
γ1 |
63°17'12,4" |
β1 |
54°53'45,6" |
η1 |
61°49'05,6" |
t1 |
118°09'06,8" |
|
(-2,0") |
|
(-0,3") |
|
(-1,3") |
|
(-0,8") |
|
63°17'10,4" |
|
54°53'45,3" |
|
61°49'04,3" |
|
118°09'06,0" |
γ2 |
69°05'49,6" |
β2 |
47°38'49,3" |
η2 |
63°15'18,8" |
t2 |
122°09'15,1" |
|
(+1,1") |
|
(-0,6") |
|
(+1,9") |
|
(+1,9") |
|
69°05'50,7" |
|
47° 38'48,7" |
|
63°15'20,7" |
|
122°09'17,0" |
γ3 |
55°16'40,1" |
β3 |
50°12'47,4" |
η3 |
74°30'27,7" |
|
|
|
(+2,4") |
|
(+1,8") |
|
(+0,7") |
|
|
|
55°16'42,5" |
|
50°12'49,2" |
|
74°30'28,4" |
|
|
153.6.Уравнивание триангуляции по условию координат
Как известно, в триангуляции измеряют только горизонтальные углы в цепочке геодезических фигур. При этом ряд геодезических фигур, например, треугольников, на концах имеют базисные стороны, либо, как в рассматриваемом ниже примере, на другом конце имеют исходный пункт 5 (рис. 16.12).
Втабл. 16.28 и 16.29 приведены значения координат исходных пунктов
изначения измеренных горизонтальных углов.
Выполним предварительные вычисления в триангуляции.
Из решения обратной геодезической задачи найдем значение дирекциионного угла исходной стороны 1-2 и расстояние s:
|
α 1− 2 = |
343 052′09,9′′; |
|
(α 2− 1 = 163 052′09,9′′) ; |
s = 3852 ,969 м |
|
По теореме синусов найдем длины сторон ходовой линии 2-1-3-4-5: |
||||
s1 |
= s sin γ 1 |
= 4206,934 м ; |
s2 |
= s1 sin γ 2 = 5318,018 м ; s3 = s2 sin γ 3 = 5688,222 м |
|
|
sin β 1 |
|
|
sin β 2 |
sin β 3 |
437

Рис. 16.12. Ряд трангуляции. Уравнивание по условию координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.28 |
|
|
№№ |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
пунктов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х, м |
3387,324 |
|
7088,605 |
|
|
4359,096 |
|
||
|
Y, м |
4315,770 |
|
3245,309 |
|
|
13698,519 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.29 |
|
|
γi |
Значение |
βi |
Значение |
ηi |
Значение |
|
|||
|
γ1 |
угла |
|
β1 |
угла |
η1 |
|
угла |
|
|
|
63° 17' 12,4" |
54° 53' 45,6" |
61° 49' 05,6" |
|
||||||
|
γ2 |
69° 05' 49,6" |
β2 |
47° 38' 49,3" |
η2 |
63° 15' 18,8" |
|
|||
|
γ3 |
55° 16' 40,1" |
β3 |
50° 12' 47,4" |
η3 |
74° 30' 27,7" |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.30 |
|
№№ |
Гориз.углы |
Дирекц.углы |
Рассто- |
Приращения |
|
Координаты, м |
№№ |
|||
точек |
|
α |
яния |
|
координат, м |
|
|
|
точек |
|
2 |
|
|
s , м |
|
Δх |
Δу |
|
Х |
Y |
|
|
163°52'09,9" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
61°49'05,6" |
|
|
|
|
|
|
3387,324 |
4315,770 |
1 |
|
|
45°41'15,5" |
4206,934 |
+2938,837 |
+3010,238 |
|
|
|
||
3 |
63°15'18,8" |
|
|
|
|
|
|
6326,161 |
7326,008 |
3О |
|
|
162°25'56,7" |
5318,018 |
-5069,994 |
+1605,140 |
|
|
|
||
4 |
74°30'27,7" |
|
|
|
|
|
|
1256,167 |
8931,148 |
4О |
|
|
56°56'24,4" |
5688,222 |
+3103,012 |
+4767,304 |
|
|
|
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4359,179 |
13698,452 |
5О |
438

Значения дирекционных углов определим в таблице вычисления координат по значениям правых или левых по ходу горизонтальных углов ηi и дирекционного угла исходного направления 2-1 (табл. 16.30).
Далее, так же, как и в предыдущем примере, не будем по тексту отмечать шаги решения задачи уравнивания углов, но практически сохраним стандартную последовательность действий.
Составим уравнения для условия фигур и условия координат.
1.γ 1 + β 1 + η 1 - 1800 = 0;
2.γ 2 + β 2 + η 2 - 1800 = 0;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
γ 3 + β 3 + η 3 - 1800 |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.124) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
x1 + å si |
cos α i − x5 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y1 + å si |
sin α i |
− |
y5 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Приведем уравнения (16.124) к линейному виду и запишем условные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения поправок (вывод дается в § 150, п. 150.7): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. ν γ 1 + ν β 1 + ν η 1 |
+ W(1) |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.125) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ν γ 2 |
+ ν β 2 |
+ ν η 2 |
+ W(2) |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3. ν γ 3 |
+ ν β 3 |
+ ν η 3 + W(3) |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
æ |
|
0 |
0 |
|
|
|
ö |
|
|
|
æ |
|
o |
0 |
|
|
|
|
ö |
|
|
æ |
0 |
0 |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
4. å |
ç |
|
xn - |
xi |
|
ctgγ ν |
|
- |
å |
ç |
|
xn - xi |
|
ctgβ ν |
β i |
|
- |
å |
ç |
|
yn - |
yi |
(±ν |
η i |
) |
+ W |
x |
= |
0; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
20,626 |
|
i |
|
γ i |
|
ç |
|
20,626 |
|
|
i |
|
|
ç |
20,626 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||
|
æ |
|
0 |
0 |
|
|
|
ö |
|
|
|
æ |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
ö |
|
|
æ |
0 |
0 |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
5. å |
ç |
|
yn - |
yi |
|
ctgγ |
ν |
|
- |
å |
ç |
|
yn - yi |
|
ctgβ ν |
β i |
|
+ |
å |
ç |
|
xn - |
xi |
|
(±ν |
η i |
) |
+ W |
y |
= |
0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ç |
|
20,626 |
|
i |
γ i |
|
ç |
|
20,626 |
|
|
i |
|
|
ç |
20,626 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||
В уравнениях |
(16.125): |
|
ν γi ,ν β i ,ν η i |
- |
|
поправки |
в |
соответствующие |
измеренные углы; W(i) – угловые невязки в треугольниках (1), (2) и (3) по их счету от базовой линии; xno и yno – вычисленные координаты конечной точки ходовой линии (в примере – вычисленные координаты точки 5); xio и yio – текущие координаты точек ходовой линии.
Поправку ν ηi записывают в уравнениях 4 и 5 со знаком плюс, если угол ηi является левым по ходу, и со знаком минус, если этот угол – правый по ходу.
В уравнениях (16.125) значения разностей координат следует брать в километрах, невязки Wx и Wy – в дециметрах, а угловые невязки и поправки в углы – в секундах.
|
|
|
Таблица 16.31 |
Направление |
(x5o - xio), км |
|
(y5 o - yio), км |
5 – 1 |
+0,972 |
|
+9,383 |
5 – 3 |
-1,967 |
|
+6,372 |
5 - 4 |
+3,103 |
|
+4,767 |
βi |
Котангенс |
γ i |
Котангенс |
β1 |
0,70292 |
γ 1 |
0,50324 |
β2 |
0,91162 |
γ 2 |
0,38192 |
β3 |
0,83278 |
γ 3 |
0,69301 |
Найдем свободные члены уравнений поправок (т.е.невязки):
W(1) = γ 1 + β 1 + η 1 − 180 0 = + 3,6′′;
439

W |
|
|
|
= |
γ |
2 |
+ |
β |
2 |
+ η |
2 |
− 180 0 |
= |
− 2,3′′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W |
(3) |
|
= |
γ |
3 |
+ |
β |
3 |
+ η |
3 |
− 180 0 |
= − 4,8′′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Wx = x50 − x5(ИСХ ) |
= + 0,083 м = + 0,83дм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Wy |
= |
y50 |
− |
y5(ИСХ ) = − 0,067 м = − 0,67дм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Составим таблицу значений разностей координат (в км) и котангенсов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
углов (табл. 16.31). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Приведем уравнения поправок (16.125) в развернутом виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. ν γ 1 + ν β 1 + ν η 1 + W(1) |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. ν γ 2 |
+ ν β 2 |
+ ν η 2 |
+ W(2) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.126) |
||||||||||||||||||||||
3. ν γ 3 + ν β 3 + ν η 3 |
+ W(3) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4.. |
x0 |
− x |
0 |
ctgγ |
|
ν |
|
|
+ |
|
|
x |
0 − x |
0 |
|
|
ctgγ |
ν |
|
+ |
|
|
|
x0 |
− x0 |
|
ctgγ |
ν |
|
− |
x0 |
− x |
0 |
ctgβ ν |
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
1 |
|
γ 1 |
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
2 |
|
5 |
4 |
|
|
γ 3 |
5 |
|
|
1 |
β 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
20,626 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
20,626 |
|
|
|
2 γ |
|
20,626 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
20,626 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x0 |
− x0 |
|
ctgβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 − x |
0 |
|
|
ctgβ |
|
|
|
|
|
|
y0 |
− y0 |
|
|
|
y0 |
− y0 |
|
|
|
|
|
y0 − y0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
− |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
ν |
|
|
− |
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
ν |
|
− |
|
5 |
1 |
|
|
ν |
|
+ |
|
5 |
|
|
3 |
|
ν |
|
− |
|
5 |
4 |
ν |
|
|
+ |
||||||||||||||
20,626 |
|
|
|
|
|
|
|
20,626 |
|
|
|
20,626 |
|
|
|
20,626 |
|
|
20,626 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
β 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 β |
3 |
|
|
|
|
η 1 |
|
|
|
|
η 2 |
|
|
|
|
|
η |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
+ Wx = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
y |
0 |
− y |
0 |
|
ctgγ |
|
ν |
|
+ |
|
y0 |
− y0 |
ctgγ ν |
+ |
y0 − y0 |
ctgγ |
ν |
|
− |
|
y0 |
− y |
0 |
ctgβ ν |
|
|
− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
5 |
4 |
|
γ 3 |
|
5 |
|
|
1 |
β 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
20,626 |
|
|
|
|
1 |
γ |
|
|
|
20,626 |
|
|
2 |
γ 2 |
|
|
20,626 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
20,626 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
y |
0 |
− y |
0 |
|
ctgβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 − y |
0 |
|
|
ctgβ |
|
|
|
|
|
|
x0 |
− x0 |
|
|
|
|
|
|
x0 |
− x0 |
|
|
|
|
x0 − x0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
− |
5 |
|
|
3 |
|
|
ν |
|
|
− |
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
ν |
|
+ |
|
5 |
1 |
|
|
ν |
|
− |
|
5 |
|
|
3 |
ν |
|
+ |
|
5 |
4 |
ν |
|
|
+ |
|||||||||||||||||
20,626 |
|
|
|
|
|
|
|
20,626 |
|
|
|
|
20,626 |
|
|
|
20,626 |
|
|
20,626 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
β 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 β |
3 |
|
|
|
|
η 1 |
|
|
|
|
η 2 |
|
|
|
|
η 3 |
|
|
+ Wy = 0;
С учетом значений, приведенных в табл. 16.31, запишем окончательные уравнения поправок:
1. |
ν γ 1 + ν β 1 + ν η 1 + 3,6 = 0; |
|
||||
2. |
ν γ 2 |
+ ν β 2 + ν η 2 |
− 2,3 = |
0; |
(16.127) |
|
3. ν γ 3 |
+ ν β 3 + ν η 3 |
− 4,8 = |
0; |
|||
4...0,0237 ν γ 1 − 0,0364 ν γ 2 + 0,1043ν γ 3 − 0,0331ν β 1 + |
||||||
+ 0,0869 ν β 2 − 0,1253 |
ν β 3 − 0,4549 ν η 1 + 0,3089 ν η 2 |
− 0,2311ν η 3 + 0,83 = 0; |
||||
5...0,2289 ν γ 1 + 0,1180 |
ν γ 2 + 0,1602 ν γ 3 − 0,3192 ν β 1 − |
− 0,2816 ν β 2 − 0,1925 ν β 3 + 0,0471ν η 1 + 0,0954 ν η 2 + 0,1504 ν η 3 − 0,67 = 0.
Составим матрицу коэффициентов уравнений поправок с учетом того, что измерения углов выполнены равноточно с весами, равными единице.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.32 |
|
1(k1) |
1(νγ1) |
2(νγ2) |
3(νγ3) |
4(νβ1) |
5(νβ2) |
6(νβ3) |
7(νη1) |
8(νη2) |
9(νη3) |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2(k2) |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
3(k3) |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
4(k4) |
0,0237 |
-0,0364 |
0,1043 |
-0,0331 |
0,0869 |
-0,1253 |
-0,4549 0,3089 -0,2311 |
||
5(k5) |
0,2289 |
0,1180 |
0,1602 |
-0,3192 -0,2816 -0,1925 |
0,0471 |
0,0954 |
0,1504 |
||
Составим и решим систему нормальных уравнений коррелат, пользуясь |
|||||||||
данными табл. 16.32. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. 3k1 – 0,4643 k4 – 0,0432 k5 + 3,6 = 0; |
|
|
|
|
(16.127) |
||||
2. 3 k2 + 0,3594 k4 – 0,0682 k5 |
– 2,3 = 0; |
|
|
|
|
3.3 k3 – 0,2521 k4 + 0,1181 k5 – 4,8 = 0;
4.– 0,4643 k1 + 0,3594 k2 – 0,2521 k3 + 0,3929 k4 + 0,0013 k5 + 0,83 = 0;
440
5. – 0,0432 k1 – 0,0682 k2 + 0,1181 k3 |
+ 0,0013 k4 + 0,3442 k5 |
– 0,67 = 0. |
|
|||||||||||
Из решения системы уравнений (16.127): k1 = -1,9481; k2 = +1,4004; k3 = |
|
|||||||||||||
+1,1176; k4 = -4,9860; k5 = +1,6149. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисляем поправки в измеренные углы, пользуясь данными табл. |
|
|||||||||||||
16.32: |
k |
0,0237 |
k |
|
|
|
0,289 |
k |
|
|
1,69 7′ |
|||
1 |
4 |
5 |
||||||||||||
ν = 1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
=− |
|
||||||
γ |
k |
0,0364 |
k |
|
0,180 |
k |
|
1,7 2′ |
||||||
2 |
4 |
5 |
||||||||||||
ν = 2 |
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
=+ |
|
|||
γ |
k 3 |
0,1043 |
k 4 |
0,1602 |
k 5 |
0,85 6′ |
||||||||
3 |
||||||||||||||
ν = |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
=+ |
|
|
γ |
=k1 −0,031 |
k 4 |
−0,3192 |
k 5 |
=−2,29 9′≈ |
|||||||||
ν1 |
||||||||||||||
β |
=k 2 |
+0,0869 |
k 4 |
−0,2816 |
k 5 |
=+0,51 3′ |
||||||||
ν2 |
||||||||||||||
β |
=k 3 |
−0,1253 |
k 4 |
−0,1925 |
k 5 |
=+1,43 1′≈ |
||||||||
ν3 |
||||||||||||||
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.128) |
|
1 |
k |
0,4549 |
k |
|
|
|
|
0,0471 |
k |
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
0,39 5 |
′≈ |
|||||||||
ν = 1 |
− |
|
|
+ |
|
=+ |
||||||||
η |
k |
0,3089 |
k |
|
|
0,0954 |
k |
|
|
0,01 5′ |
||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||
ν = 2 |
+ |
|
|
|
4 |
+ |
|
|
5 |
=+ |
|
|||
η |
k |
0,231 |
k |
|
|
|
|
0,1504 |
k |
|
|
|
2,51 2′ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ν = 3 |
− |
|
|
4 |
+ |
|
5 |
=+ ≈ |
||||||
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка полученных значений поправок (16.128) в уравнения (16.126) показывает выполнение указанных условий.
После вычисления уравненных значений углов выполняют проверку уравнивания подстановкой их значений в уравнения 1, 2 и 3 (16.124). Предоставляем читателю возможность завершения процесса уравнивания.
153.7.Уравнивание линейно-угловой сети
Линейно-угловая сеть представлена на рис. 16.13. В этой сети, имеющей базис АВ, измерены направления и расстояния (табл. 16.33). Для решения задачи уравнивания координат точек линейно-угловой сети коррелатным способом вычислены значения горизонтальных углов.
Координаты пунктов А и В: xA = 5343,664 м; yA = 3981,857 м; xB = 6476,326 м; yB = 4649,235 м.
Дирекционный угол направления ВА: αВА = 210°30'25,6".
Точность измерения горизонтальных углов составила mβ = 5,0". Расстояния измерены с относительной погрешностью 1 : 40000.
Выполним предварительные вычисления в линейно-угловой сети. Определим веса измеренных величин (расстояний) с учетом формулы
(16.102).
Определим координаты точек 1 и 2 дважды по ходам (1) [В-А-2-1-В-А] и
(2) [В-А-1-2-В-А] (см. табл. 16.35).
Составим условные уравнения и уравнения поправок.
441

Рис. 16.13. Линейно-угловая сеть.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пункт |
|
|
|
Направление |
|
Значение |
|
|
Значение |
|
Значение |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
измеренного |
|
вычисленного |
|
измеренного |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направления |
|
|
|
угла |
|
расстояния, м |
|||||
А |
|
|
|
|
|
А – В |
|
|
|
|
0° 00' 00,0" |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
А – 1 |
|
|
|
|
42° 45' 02,6" |
|
β 1 = 42° 45' 02,6" |
|
S5 = 2218,342 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
А – 2 |
|
|
|
|
67°58' 17,7" |
|
β 2 = 25° 13' 15,1" |
|
S1 = 1632,301 |
|||||||
В |
|
|
|
|
|
В – 1 |
|
|
|
|
0° 00' 00,0" |
|
|
|
|
|
S3 = 1538,317 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
В – 2 |
|
|
|
|
36° 41' 22,3" |
|
β 5 = 36° 41' 22,3" |
|
S4 = 1668,220 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
В – А |
|
|
|
|
101° 47' 13,6" |
|
β 3 |
= 65° 05' 51,3" |
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 – 2 |
|
|
|
|
0° 00' 00,0" |
|
|
|
|
|
S2 = 1016,748 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 – А |
|
|
|
|
43° 09' 48,8" |
|
β 7 |
= 43° 09' 48,8" |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 – В |
|
|
|
|
78° 37' 27,2" |
|
β 6 = 35° 27' 38,4" |
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 – А |
|
|
|
|
0° 00' 00,0" |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 – В |
|
|
|
|
46° 55' 48,6" |
|
β 4 = 46° 55' 48,6" |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 - 1 |
|
|
|
|
111° 36' 58,1" |
|
β 8 = 64° 41' 09,5" |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.34 |
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
S3 |
|
|
S4 |
|
S5 |
||
mi (см) |
|
|
|
|
4,1 |
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
7,7 |
|
|
|
8,3 |
|
11,1 |
|||
pi |
|
|
|
1,487 |
|
|
|
4,000 |
|
|
|
|
0,422 |
|
|
0,363 |
|
0,203 |
|||||
qi |
|
|
|
0,672 |
|
|
|
0,250 |
|
|
|
|
2,372 |
|
|
2,756 |
|
4,928 |
|||||
Условные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
β 1 + |
β 2 + |
β 3 + |
β 4 − 1800 |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
β 1 + |
β 2 + |
β 3 + |
β 4 + β 5 + |
β 6 + |
β 7 + β 8 − 3600 = |
0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. β 1 + β 3 − β 7 − β 8 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.128) |
||||||||
4. |
xA + s1 cos α A2 |
+ s2 cos α 21 + |
s3 cos α 1B − xB |
= |
0; |
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
yA + |
s1 sin α A2 |
+ |
s2 sin α 21 + |
s3 sin α 1B − |
yB |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
xA + |
s5 cos α A1 + |
s2 cos α 12 |
+ s4 cos α 2B − |
xB |
= |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
yA + |
s5 sin α A1 + |
s2 sin α 12 |
+ |
s4 sin α 2B − |
yB |
= |
0; |
|
|
|
|
|
Tаблица 16.35 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
442

№№ |
Гориз.углы |
Дирекц.углы |
Рассто- |
Приращения |
Координаты, м |
№№ |
||
точек |
β |
α |
яния |
координат, м |
|
|
точек |
|
|
|
|
s , м |
Δх |
Δу |
Х |
Y |
|
В |
|
210°30'25,6" |
|
Ход (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
67°58'17,7" |
|
|
|
|
5343,664 |
3981,857 |
А |
|
|
98°28'43,3" |
1632,301 |
-240,669 |
+1614,461 |
|
|
|
2 |
111°36'58,1" |
|
|
|
|
5102,995 |
5596,318 |
2о |
|
|
30°05'41,4" |
1016,748 |
+879,687 |
+509,831 |
|
|
|
1 |
78°37'27,2" |
|
|
|
|
5982,682 |
6106,149 |
1о |
|
|
288°43'08,6" |
1538,317 |
+493,689 |
-1456,946 |
|
|
|
В |
101°47'13,6" |
|
|
|
|
6476,371 |
4649,203 |
Вo |
|
|
210°30'22,2" |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ход (2) |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
210°30'25,6" |
|
|
|
|
|
|
A |
42°45'02,6" |
|
|
|
|
5343,664 |
3981,857 |
А |
|
(левый) |
73°15'28,2" |
2218,342 |
+639,027 |
+2124,308 |
|
|
|
1 |
43°09'48,8" |
|
|
|
|
5982,691 |
6106,165 |
1о |
|
(правый) |
210°05'39,4" |
1016,748 |
-879,692 |
-509,822 |
|
|
|
2 |
64°41'09,5" |
|
|
|
|
5102,999 |
5596,343 |
2о |
|
(првый) |
325°24'29,9" |
1668,220 |
+1373,310 |
-947,089 |
|
|
|
B |
65°05'51,3" |
|
|
|
|
6476,309 |
4649,254 |
Во |
|
(левый) |
210°30'21,2" |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Условные уравнения поправок:
1...ν β 1 + ν β 2 |
+ ν β 3 + ν β 4 + W1 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2...ν β 1 + ν β 2 |
|
+ ν β 3 |
|
+ ν β 4 |
+ ν β 5 |
+ ν β 6 |
+ ν β 7 |
+ ν β 8 |
+ W2 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3...ν β 1 + ν β 3 − ν β 7 − ν β 8 + W3 − 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4... − |
|
1 |
|
[( y 0 |
|
− |
|
|
y |
A |
)(ν |
β |
1 |
+ ν |
|
β 2 |
) + ( y 0 |
− |
y |
0 )(ν |
β 4 |
+ ν |
β 8 |
) + ( y0 |
− |
y 0 )(ν |
β 6 |
+ ν |
β 7 |
)]+ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
B |
|
1 |
|
|
|
(16.129) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ W4 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ ν s1 cos α A0 |
2 |
+ ν s 2 cos α 210 |
|
+ ν s3 cos α 10B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5... |
1 |
|
[(x0 |
− x |
A |
|
)(ν |
|
β 1 |
+ ν |
β 2 |
) + (x0 |
− |
x0 )(ν |
β 4 |
+ ν |
β 8 |
) + (x0 |
− x0 )(ν |
β 6 |
+ ν |
β 7 |
)]+ |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ρ |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ν |
s1 |
sin α |
0 |
|
+ ν |
s2 |
sin α |
0 |
+ ν |
s |
3 |
|
sin α |
0 |
+ W = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
1B |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6... − |
|
|
1 |
[( y 0 |
− |
|
y |
A |
)ν |
β 1 |
+ ( y0 |
− |
|
y 0 )ν |
β 7 |
+ ( y0 |
− |
y0 )ν |
|
β 8 |
]+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
B |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ ν |
s5 |
|
cos α |
0 |
+ ν |
s |
2 |
cos α 0 |
|
+ ν |
s |
4 |
cos α |
0 |
+ W = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
2B |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7... |
1 |
[(x0 |
− x |
|
|
)ν |
|
|
+ (x0 |
|
− x |
0 )ν |
|
+ (x |
0 |
− x0 )ν |
|
|
]+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
A |
β 1 |
|
β 7 |
B |
β |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ρ |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ν |
s5 |
|
sin α |
0 |
|
+ ν |
s 2 |
sin α |
0 |
|
+ ν |
s 4 |
|
sin α 0 |
+ W = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
2 B |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
443

Принцип составления условных уравнений поправок такой же, как и при решении аналогичной задачи для систем полигонометрических ходов, рассмотренных выше.
Вычислим свободные члены (невязки) по данным предварительных вычислений (табл. 16.35), а также по условиям фигур (свойств углов в четырехугольниках с диагоналями). В результате получим: W1 =- 2,4"; W2 = -3,4"; W3= =-4,4"; W4 = 6476,371 – 6476,326 = +45 мм = +4,5 см; W5 = 4649,203 – 4649,235 = - 32 мм = =- 3,2 см; W6 = 6476,309– 6476,326 = -17 мм = -1,7 см; W7 = 4649,254 - 4649,235 = + 19 мм = =+ 1,9 см.
Составим таблицу синусов и косинусов дирекционных углов и разностей координат (в км) – табл. 16.36.
|
|
|
|
|
Таблица 16.36 |
№№ точек |
Sin αi |
Cos αi |
(хn0-xi0), км |
(yn0-yi0), км |
|
Ход 1 |
|
|
|
|
|
А |
(А-2) |
0,9891 |
-0,1474 |
+1,133 |
+0,667 |
2 |
(2-1) |
0,5014 |
0,8652 |
+1,373 |
-0,947 |
1 |
(1-В) |
-0,9471 |
0,3209 |
+0,494 |
-1,457 |
В |
|
|
|
|
|
Ход 2 |
|
|
|
|
|
А |
(А-1) |
0,9576 |
0,2881 |
+1,133 |
+0,667 |
1 |
(1-2) -0,5014 |
-0,8652 |
+0,494 |
-1,457 |
|
2 |
(2-В) |
-0,5677 |
0,8232 |
+1,373 |
-0,947 |
В |
|
|
|
|
|
С учетом данных табл. 16.36 и значений свободных членов уравнения поправок примут окончательный вид:
1...ν β 1 + ν β 2 |
+ ν β 3 |
+ ν β 4 |
− 2,4 = 0; |
|
2...ν β 1 + ν β 2 |
+ ν β 3 |
+ ν β 4 |
+ ν β 5 + ν β 6 + ν β 7 + ν β 8 |
− 3,4 = 0; |
3...ν β 1 + ν β 3 − ν β 7 |
− ν β 8 |
− 4,4 = 0; |
|
|
4...[− 0,3234ν β 1 − 0,3234ν β 2 + 0,4591ν β 4 + 0,4591ν β 8 + 0,7064ν β 6 + 0,7964ν β 7 ]− |
||||
− 0,1474ν s1 + 0,8652ν s2 + 0,3209ν s3 + 4,5 = |
0; |
|||
5...[0,5493ν β 1 + 0,5493ν β 2 + 0,6656ν β 4 + 0,6656ν β 8 + 0,2395ν β 6 + 0,2395ν β 7 ]+ |
||||
+ 0,9891ν s1 + 0,5014ν s2 − 0,9471ν s3 − 3,2 = |
0; |
|||
6...[− 0,3234ν β 1 + 0,7064ν β 7 + 0,4591ν β 8 ]+ |
|
|||
+ 0,2881ν s5 − 0,8652ν s2 + 0,8232ν s 4 − 1,7 = |
0; |
|||
(16.130) |
|
|
|
|
7...[0,5493ν β 1 + 0,2395ν β 7 + 0,6656ν β 8 ]+ |
|
|||
+ 0,9756ν s5 − 0,5014ν s 2 − 0,5677ν s 4 + 1,9 = |
0. |
Составим матрицу коэффициентов aij условных уравнений поправок со строкой обратных весов (табл. 16.37).
444

|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.37 |
|
j→ |
qi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
i↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-0,3234 |
+0,5493 |
-0,3234 |
+0,5493 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
-0,3234 |
+0,5493 |
|
|
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
4 |
1 |
1 |
1 |
|
+0,4591 |
+0,6656 |
|
|
5 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
6 |
1 |
|
1 |
|
+0,7064 |
+0,2395 |
|
|
7 |
1 |
|
1 |
-1 |
+0,7064 |
+0,2395 |
+0,7064 |
+0,2395 |
8 |
1 |
|
1 |
-1 |
+0,4591 |
+0,6656 |
+0,4591 |
+0,6656 |
9 |
0,672 |
|
|
|
-0,1474 |
+0,9891 |
|
|
10 |
0,250 |
|
|
|
+0,8652 |
+0,5014 |
-0,8652 |
-0,5014 |
11 |
2,372 |
|
|
|
+0,3209 |
-0,9471 |
|
|
12 |
2,756 |
|
|
|
|
|
+0,8232 |
-0,5677 |
13 |
4,928 |
|
|
|
|
|
+0,2881 |
+0,9756 |
Составим нормальные уравнения коррелат:
1. |
4k1 + 4 k2 + 2 k3 – 0,1877 k4 + 1,7642 k5 – 0,3234 k6 + 0,5493 k7 – 2,4 = 0; |
(16.131) |
2. |
4 k1 + 8 k2 + 1,6842 k4 + 2,9088 k5 + 0,8421 k6 + 1,4544 k7 – 3,4 = 0; |
3.2 k1 + 4 k3 – 1,4889 k4 – 0,3558 k5 – 1,4889 k6 – 0,3558 k7 – 4,4 = 0;
4.-0,1877 k1 + 1,6842 k2 – 1,4889 k3 + 2,0747 k4 – 0,1162 k5 + 0,0720 k6 + 0,1887 k7 + 4,5 = 0;
5.1,7462 k1 + 2,9088 k2 – 0,3558 k3 – 0,1162 k4 + 4,4522 k5 + 0,1887 k6 + 0,7393 k7 – 3,2 = 0;
6.-0,3234 k1 + 0,8421 k2 – 1,4889 k3 + 0,6272 k4 + 0,1887 k5 + 3,2782 k6 + 0,5027 k7 – 1,7 = 0;
7.0,5493 k1 + 1,4544 k2 – 0,3558 k3 + 0,1887 k4 + 0,7393 k5 + 0,5027 k6 + 6,4436 k7 + 1,9 = 0.
Из решения системы линейных уравнений получим значения коррелат: k1 = -2,6464; k2 = +2,3697; k3 = +1,4860; k4 = -3,5221; k5 = +0,2898; k6 = +1,0629; k7 = -0,5351.
Вычисляем значения поправок в измеренные величины:
ν |
β 1 |
= |
k1 + |
k2 + |
k3 − 0,3234 (k4 + k6 ) + |
0,5493 (k5 + k7 ) = + 1,87′′ ≈ + 1,9′′ |
||||||
ν |
β 2 |
= |
k1 + |
k2 − |
0,3234 k4 + |
0,5493 k5 |
= |
+ 1,02′′ ≈ |
+ 1,0′′ |
|
||
ν |
β 3 |
= |
k1 + |
k2 + |
k3 = + 1,21′′ |
≈ + 1,2′′ |
|
|
|
|
|
|
ν |
β 4 |
= |
k1 |
+ |
k2 + |
0,4591k4 + |
0,6656 k5 |
= |
− 1,70′′ ≈ |
− 1,7′′ |
|
|
ν |
β 5 |
= |
k2 |
= |
+ 2,37′′ ≈ + 2,4′′ |
|
|
|
|
|
|
|
ν β 6 |
= |
k2 + 0,7064 k4 + 0,2395 k5 = |
− 0,049′′ ≈ |
− 0,1′′ |
|
|||||||
ν |
β 7 |
|
k2 − |
k3 =+ |
0,7064 (k4 + |
k6 ) + 0,2395 (k5 + k7 ) = |
− 0,91′′ ≈ |
− 0,9′′ |
||||
ν |
β 8 |
|
k2 |
− |
k3 =+ |
0,4591(k4 + |
k6 ) + 0,6656 (k5 + k7 ) = |
− 0,41′′ ≈ |
− 0,4′′ |
ν s1 |
= 0,672 (− 0,1474 k4 + 0,9891 k5 ) = + 0,54см ≈ + 5мм |
|||
ν s2 |
= 0,250 |
[0,8652 (k4 |
− k6 ) + 0,5014 (k5 k7 −)] = − 0,89см ≈ − 9мм |
|
ν s3 |
= 2,372 |
(0,3209 k4 |
− 0,9471 k5 ) = − 3,33см ≈ − 33 мм |
|
ν s4 |
= |
2,756 |
(0,8232 k6 |
− 0,5677 k7 ) = + 3,25см ≈ + 32 мм |
ν s5 |
= |
4,928 |
(0,2881 k6 |
+ 0,9756 k7 ) = − 1,06см ≈ − 11мм |
Контрольная подстановка в исходные уравнения поправок (16.130) показала удовлетворительное выполнение указанных условий.
Составим ведомость уравнивания координат (по аналогии с ведомостью предварительных вычислений) с учетом полученных поправок измеренных величин (табл. 16.38).
445