153.3. Уравнивание полигонометрического хода

Координаты исходных пунктов В и С и дирекционные углы исходных направлений:

ХВ = 8365,344 м ; ХС = 9592,268 м ; αАВ = 137° 13' 16,4" УВ = 5240,647 м ; УС = 7556,681 м ; αСD = 100° 58' 45,8"

Значения измеренных величин, горизонтальных углов и расстояний, приведены в табл. 16.10.

Точность результатов измерений:

-горизонтальных углов: mβ = 2,0";

-расстояний: ms = 14,5 мм на 1000 м.

Требуется найти уравненные значения координат точек 1 и 2. Выполним предварительные вычисления в полигонометрическом ходе

(см. табл. 16.11), т.е. по результатам измерений вычислим предварительные значения координат точек 1 и 2, а также координаты точки Со.

Вычислим веса pi измеренных величин. В полигонометрическом ходе принимаем измерения углов равноточными, т.е. pβi = 1. Значения средних квадратических погрешностей для измеренных расстояний определим как

Значения весов измеренных расстояний определим по формуле, часто используемой в линейно-угловых сетях:

421

k = 4 (например, 1, 2, 5 и 6 – табл. 16.12). Число избыточных измерений r = 3.

Шаг 3. Приведем условные уравнения к линейному виду, для чего продифференцируем данные функции по переменным βi, si и αi (последние – зависящие от βi ).

422

Рассмотрим здесь несколько подробнее процесс получения условных уравнений поправок.

После дифференцирования получим условные уравнения поправок:

-для дирекционных углов (16.27):

åν β i + Wβ = 0 ,

где å ν β i = ν β 1 + ν β 2 + ν β 3 + ν β 4 ; невязка Wβ или свободный член уравнения –

Wβ = å β i + α AB − α CD − n1800 = α CD0 − α CD (здесь αCD0 – вычисленное значение ди-

рекционного угла из табл. 16.11 в предварительной обработке полигонометрического хода);

- для абсцисс:

координаты точки С из предварительной обработки полигонометри-ческого хода, табл. 16.11);

- для ординат:

ние координаты точки С из предварительной обработки полигонометрического хода, табл. 16.11).

Вычислим свободные члены уравнений, пользуясь исходными данными и результатами предварительной обработки полигонометрического хода:

W1 = Wβ = 100° 58' 49,3" – 100° 58' 45,8" = +3,5";

W2 = Wx = 9592,241 – 9592,268 = - 0,027 м = - 2,7 см; W3 = Wy = 7556,706 – 7556,681 = + 0,025 м = + 2,5 см.

Поправка vαi в текущее значение дирекционного угла равна сумме поправок углов β, использующихся для его вычисления, т.е.

С учетом этого, а также предыдущих выражений, запишем окончательные условные уравнения поправок в общем виде:

где ρ – угловая мера радиана.

Вуравнениях (16.108) для удобства значения 1/ ρ увеличивают в 100000 раз, а разности координат уменьшают в то же число раз, т.е. выражают в километрах.

Вразвернутом виде уравнения (16.108) для рассматриваемого в примере полигонометрического хода имеют вид:

423

Составим таблицу (табл.16.13) значений разностей координат и тригонометрических функций дирекционных углов по данным табл. 16.11, необходимую для вычисления коэффициентов aij.

C учетом приведенных в табл. 16.13 значений коэффициентов и значений свободных членов получим окончательный вид условных уравнений поправок, соответствующих выражениям (16.109):

Шаг 4. По правилам и схеме, приведенным выше, вычислим коэффициенты нормальных уравнений коррелат. Сначала представим указанные уравнения коррелат в общем для приводимого примера виде:

1. (q1a112 + q2a212 + q3a312 + q4a412)k1 + (q1a11a12 + q2a21a22 +q3a31a32)k2 + +(q1a11a13

+ q2a21a23 + q3a31a33)k3 + W1 = 0;

424

2.(q1a12a11 + q2a22a21 +q3a32a31)k1 + (q1a122 + q2a222 + q3a322 + q5a522 + q6a622 + q7a722)k2 + (q1a12a13 + q2a22a23 + q3a32a33 + q5a52a53 + q6a62a63 + q7a72a73)k3 +

+ W2 = 0;

3.(q1a13a11 + q2a23a21 +q3a33a31)k1 + (q1a13a12 + q2a23a22 + q3a33a32 + q5a53a52 + +q6a63a62 + q7a73a72)k2 + (q1a132 + q2a232 + q3a332 + q5a532 + q6a632 + q7a732)k3 +

+ W3 = 0.

Из решения системы нормальных линейных уравнений получим:

k1 = - 0,4489; k2 = +0,1722; k3 = - 0,8436.

Контрольные вычисления по исходным уравнениям (16.112) удовлетворяют указанным условиям.

Шаг 5. Составим и решим условные уравнения поправок, пользуясь формулами (16.88) и табл. 16.14:

1.v1 = vβ1 = q1(k1 – 1,1229 k2 + 0,5948 k3) = - 1,14" ≈ - 1,1";

2.v2 = vβ2= q2(k1 – 0,5560k2 + 0,3866 k3) = - 0,87" ≈ - 0,9";

3.v3 = vβ3 = q3 (k1 – 1,1080k2 + 0,4906 k3)= - 1,05" ≈ - 1,1" ;

4.v4 = vβ4= q4 k1 = - 0,45" ≈ - 0,4";

5.v5 = vs1 = q5 (+ 0,3447 k2 + 0,9387 k3) = - 0,60 см = - 6 мм ;

6.v6 = vs2 = q6 (-0,2228 k2 + 0,9749 k3) = - 0,42 cм = - 4 мм ;

7.v7 = vs3 = q7 (+ 0,9795 k2 + 0,2013 k3) = 0,0 cм = 0 мм.

Контроль выполняется подстановкой полученных значений в уравнения поправок (16.110). Отклонения в приводимом примере от условий можно считать незначительными.

Шаг 6. Вычислим уравненные значения измеренных величин, округлив поправки в углы до 0,1" , поправки в длины линий – до 1 мм:

β'1 = 112° 36' 45,4" –1,1" = 112° 36' 44,3" β'2 = 213° 02' 16,8" – 0,9" = 213° 02' 15,9" β'3 = 88° 44' 26,7" – 1,1" = 88° 44' 25,6"

β'4 = 269° 22' 04,0" – 0,4" = 269° 22' 03,6" s'1 = 1245,638 – 0,006 = 1245,634 м

s'2 = 963,017 – 0,004 = 963,007 м s'3 = 1033,151 + 0,000 = 1033,151 м

Составим ведомость уравнивания (табл. 16.15).

Как видно, после уравнивания получились остаточные невязки

Wx = 9592,259 – 9592,268 = - 9 мм; Wу = 7556,681 – 7556,681 = 0 мм. Угловая невязка равна нулю. Это является результатом ощутимой нелинейности исходных условных уравнений, т.е. ограничение первым членом разложения функций в ряд Тейлора оказалось недостаточным. В таких случаях выполняют повторное уравнивание, считая полученные после первого уравнивания невязки исходными (Wβ = 0; Wx = - 0,9 см; Wу = 0,0 см), а вычисления в табл. 16.15 – предварительными.

425

Только в качестве примера продолжим уравнивание полигонометриического хода вторым приближением. Полученные остаточные невязки в первом приближении практически можно считать допустимыми.

По аналогии с табл. 16.13 должна быть составлена другая таблица. Но, поскольку изменения в синусах и косинусах дирекционных углов и коорди-

Таблица 16.15

натах после первого уравнивания незначительные, то для составления уравнений поправок (16.109) используем те же коэффициенты, а вместо значений Wj используем их величины, полученные после первого уравнивания. В результате имеем:

1.ν β 1 + ν β 2 + ν β 3 + ν β 4 = 0

2. − 1,1229 ν β 1 − 0,5560 ν β 2 − 0,1008 ν β 3 + 0,3447 ν s1 − 0,2228ν s 2 + 0,9795ν s3 − 0,9 = 0

3.0,5948ν β 1 + 0,3866 ν β 2 + 0,4906 ν β 3 + 0,9387 ν s1 + 0,9749 ν s 2 + 0,2013ν s3 = 0

(16.115) Таблица коэффициентов aij и обратных весов в данном случае имеет тот же вид (табл. 16.14), в связи с чем нормальные уравнения коррелат для

второго уравнивания запишем в виде:

Из решения полученной системы линейных уравнений:

k1 = +0,4042 ; k2 = +0,6307; k3 = + 0,0542.

Контроль подстановкой в уравнения (16.116) показывает правильность вычисления коррелат.

Используя формулы (16.114), получим поправки из второго уравнивания

исоставим ведомость второго уравнивания (табл. 16.16)

1.v1 = vβ1 = q1(k1 – 1,1229 k2 + 0,5948 k3) ≈ - 0,2";

2.v2 = vβ2= q2(k1 – 0,5560k2 + 0,3866 k3) ≈ 0,0";

3.v3 = vβ3 = q3 (k1 – 1,1080k2 + 0,4906 k3) ≈ - 0,2" ;

4.v4 = vβ4= q4 k1 ≈ +0,4";

5.v5 = vs1 = q5 (+ 0,3447 k2 + 0,9387 k3) = +2 мм ;

426