Если условные уравнения изначально существенно нелинейны и при разложении в ряд Тейлора, вообще говоря, недостаточно ограничиваться первыми членами разложения, то условия (16.9) могут не выполниться. В этом случае производят второе приближение уравнивания, считая уравненные из первого приближения значения xi' измеренными, а свободными членами Wj – остаточные невязки в уравнениях (16.9).

В§ 153 рассмотрены примеры уравнивания различных геодезических построений коррелатным способом.

§153. Примеры коррелатного способа уравнивания

Вэтом разделе приводятся примеры уравнивания некоторых геодезических построений. Большее внимание уделено таким построениям, как системы полигонометрических ходов – практически единственного вида построений, используемых в подземных выработках. Такие же системы используются и на земной поверхности, наряду с построениями триангуляционных сетей, вставок в угол, геодезических четырехугольников и т.п. В примерах рассматривается алгоритм решения задачи уравнивания для разных вариантов геодезических построений со сравнительно небольшим числом измеренных величин, как это часто имеет место, например, в практике геодезических и маркшейдерских работ на земной поверхности при создании опорных сетей, либо в горных выработках при обработке результатов измере-ний в системах полигонометрических ходов. Уравнивание систем нивелир-ных ходов обычно производится при точных и высокоточных измерениях, например, при наблюдениях за деформациями горных выработок и наземных сооружений, что тоже имеет место и в практике маркшейдерских работ.

153.1.Уравнивание углов в полигоне

Вполигоне, состоящем из четырех вершин (рис. 16.7), неравноточно

измерены горизонтальные углы: А = β1 , В = β2 , С = β3 , D = β4 (табл. 16.6). Выполнить уравнивание углов без учета измерения длин сторон.

Предварительно найдем веса pi и обратные веса qi, приняв sе = [s4i ] ≈ 645 м

(см. табл. 16.6) без учета величин измеренных углов, считая их практически примерно одинаковыми (значения весов определяются по условию возможной погрешности в направлениях из-за центрирования теодолита; для веса угла применяется правило сложения обратных весов направлений):

415

Шаг 2. Составим условное уравнение (условие сумм углов полигона).

β1' + β2' + β3' + β4' – 3600 = 0

Всего одно уравнение, поскольку r = 1.

Шаг 3. Приводим условное уравнение к линейному виду, для чего продифференцируем его и найдем частные производные функции по аргументам βi . Очевидно, что

а11 = +1, а21 = +1, а31 = +1, а41 = +1.

Составим матрицу коэффициентов aij со строкой обратных весов qi (таблица 16.7).

Свободный член уравнения

W1 = [βi] – 3600 = 3600 00' 07,0" – 3600 = + 7".

Шаг 4. Найдем коэффициенты bjj нормальных уравнений (в данном случае – уравнений коррелат):

416

Вычислим свободные члены (в мм), подставив в уравнения (16.98)

418

измеренные значения hi в секциях:

W1 = h1 + h3 – h2 = 3586 – 752 – 2841 = - 7 мм W2 = h4 + h5 – h3 = -1243 + 509 – (-752) = +18 мм

W3 = h6 + h7 + h5 = 5338 – 5863 + 509 = - 16 мм

W4 = h7 + h8 – h9 – (HP30 – HP20) = - 5863 + 4639 – (-3024) – 1794 = +6 мм W5 = h1 + h4 + h8 – (HP30 – HP10) = 3586 – 1243 + 4639 – 6965 = +17 мм

Шаг 4. Найдем по формулам (16.90) коэффициенты bjj нормальных уравнений коррелат:

После подстановки значений aij и qi в уравнения (16.99) получим исходные нормальные уравнения коррелат:

4.1,51 k3 + 4,42 k4 + 1,72 k5 + 6 = 0

5.0,42 k1 + 0,39 k2 + 1,72 k4 + 2,53 k5 + 17 = 0

Из решения системы уравнений (16.100) одним из способов получим:

k1 = - 2,137; k2 = - 11,552; k3 = +9,606; k4 = -3,882; k5 = -1,945. Контроль вычисления коррелат выполняем подстановкой их значений в

исходные уравнения (16.100):

1.2,18 (-2,137) – 1,08 (-11,552) + 0,42 (-1,945) – 7 = + 0,001

2.-1,08(-2,137) + 2,79(-11,552) + 1,32(+9,606) + 0,39(-1,945) + 18 = -0,001

3.1,32(-11,552) + 3,86(+9,606) + 1,51(-3,882) – 16 = - 0,031

4.1,51(+9,606) + 4,42(-3,882) + 1,72(-1,945) + 6 = +0,001

5.0,42(-2,137) + 0,39(-11,552) + 1,72(-3,882) + 2,53(-1,945) + 17 = -0,001

Сравнительно большее невыполнение условия мы видим в уравнении 3. Это вызвано погрешностями округлений. При вычислении с большими значащими цифрами этого не наблюдалось бы. При этом результаты вычислений принимаем удовлетворительными, поскольку поправки в измеренные значения превышений для данных условий будут в дальнейшем округляться до 1 мм, а вычисления проведены с большим запасом точности.

Шаг 5. Составляем условные уравнения поправок vi , пользуясь формулами (16.88) и табл. 16.9:

419