Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Геодезия

Файл:

geokniga-геодезия-попов-вн-чекалин-ви-2007.pdf

Скачиваний:

3617

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

39.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 9192 / 11092 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 > Следующая >>>

х2 = +0,125 * (+2,999) + 0 + 1,625 = +2.

х1 = +0,5 * (+2) – 0,75 * (+3) + 0,5 * (+4) + 0,25 = +1.

Получены такие же ответы, как и при других способах решения указанного уравнения.

Незначительные отклонения от значений вызваны необходимостью округлений промежуточных результатов вычислений.

							Таблица 16.2
№№	Дейст-	х1	х2	х3	х4	L	∑
п/п	вия	1	2	3	4	5	6
1	N1	+4	-2	+3	-2	-1	+2
2	Е1	-1	+0,5	-0,75	+0,5	+0,25	-0,5 (-0,5)
3	N2		+5	-2	+1	-6	-4
4	E12N		-1	+1,5	-1	-0,5	+1,0 (+1,0)
5	N2(1)		+4	-0,5	0	-6,5	-3
6	E2		-1	+0,125	0	+1,625	+0,75
7	N3			+3	-4	+8	+8
8	E13N			-2,25	+1,5	+0,75	-1,5 (-1,5)
9	E23N(1)			-0,063	0	-0,813	-0,375
10	N3(2)			+0,687	-2,5	+7,937	+6,125(+6,124)
11	E3			-1	+3,639	-11,553	-8,916
12	N4				+2	+4	+1
13	E14N				-1	-0,5	+1
14	E24N(1)				0	0	0
15	E34N(2)				-9,098	+28,883	+22,289(+22,285)
16	N4(3)				-8,098	+32,383	+24,289(+24,285)
17	E4				-1	+3,999	+2,999

151.4. Способ краковянов

Способ заключается в том, что в расчетах без промежуточных записей получают коэффициенты эквивалентной системы, деленные на корень квадратный из квадратичных (диагональных) коэффициентов этих уравнений. Соответствующие строки Кi в таблице расчетов называют краковянами. При ведении расчетов на микрокалькуляторе в последовательности действий используется часто последнее число на его регистре. Часть промежуточных числовых значений заносится в память МК и, при необходимости, вызывается из нее. Все действия по расчету краковянов однотипные и сопровождаются надежным контролем.

Приведем общий случай решения четырех линейных уравнений (16.65):

N11 z1 + N12 z2 + N13 z3 + N14 z4 + L1 = 0 N21 z1 + N 22 z2 + N 23 z3 + N 24 z4 + L2 = 0

405

N31 z1 + N32 z2 + N33 z3 + N34 z4 + L3	= 0
N 41 z1 + N 42 z2 + N 43 z3 + N 44 z4 + L4	= 0

Алгоритм расчетов покажем в виде формул и сопровождения действий записями в таблице (табл. (16.3 ).

В строки N таблицы записывают значения коэффициентов, свободных членов и сумм с обратным знаком, кроме диагонального коэффициента (однако при составлении сумм принимают во внимание, что и диагональный коэффициент имеет знак «минус»). Кроме того, при суммировании по строкам N используют все коэффициенты уравнения (они находятся выше по столбцу, в котором записан диагональный коэффициент).

Таблица 16.3

Строки

∑

Контроль∑

N11

-N12

-N13

-N14

-L1

-∑1

N22

-N23

-N24

-L2

-∑2

N33

-N34

-L3

-∑3

N44

-∑4

− N12

− N13

− N14

− L1

-∑K1

− å 1

N11

K11

(K11)

(K16)

K11

(K12)

(K13)

(K14)

(K15)

− N23(1)

− N24(1)

− L(21)

-∑K2

− å 2

N22(1)

(K22)

K22

K 22

(K26)

K22

(K23)

(K24)

(K25)

− N34(2)

− L(32)

-∑K3

− å 3

N33(2)

(K33)

K33

(K36)

K33

(K34)

(K35)

− N4593)

-∑K4

− å 4

N44(3)

(K44)

K44

(K46)

K44

(K45)

Порядок вычислений.

Строка К1. Получение краковянов данной строки затруднений не вызывает.

Внимание! Во всех строках К , с целью своевременного выявления погрешностей в расчетах, обязательным является вычисление контрольной суммы краковянов по строке, придавая значениям Кii знак «минус».

Строка К2.

N 22(1) =	N 22 − K122 ;......... ..........		.......... .......... .......... ..........	K 22	=			N 22(1)
− N 23(1)	= − N 23	+ K12 K13 ;.........	.......... .......... .......... ..........	K 23	=		− N (1)
						23
							K 22

− N24(1)	= − N24	+ K12 K14 ;.........	.......... .......... .......... ..........	K24	=		− N (1)
							24
							K22

406

(1)

− L(21)

− L2

= − L2 + K12 K15 ;.........

..........

.......... .......... .......... ...... K 25 =

K 22

− å K 2 = − å 2

+ K12 K16 ;.........

.......... .......... .......... ..... K26 =

−

å K 2

(Контро

K 22

ль!)

Строка К3.

N33(2)

= N33 − K132 − K 232 ;.........

.......... .......... ..........

..........

.K33

N33(2)

− N34(2)

= − N34 + K13 K14 + K23 K24 ;

K34 =

− N (2)

..........

...............

K33

− L(2)

= − L + K

+ K

.........;

.......... ..........

..........

K33

− å K 3 = − å 3 + K13 K16 + K 23 K 26 ;

K36

− å K 3

(Контро

.......... ..........

....

K33

ль!)

Строка К4.

N 44(3) = N 44 − K142

− K 242 − K342 ;.........

.......... ..........

..........

..... K44

N 44(3)

(3)

− L(43)

− L4

= − L4 + K14 K15 + K 24 K 25 + K34 K35 ;......... ..........

.......

K45 =

K 44

− å K 4 = − å 4 +

K14 K16 +

K24 K26 +

K34 K36 ;

K46

−

å K 4

(Контрол

..........

K44

ь!)

Если бы исходных уравнений было больше, то вычисления продолжались бы по указанному алгоритму. Для четырех же уравнений составление таблицы расчетов закончено. Теперь можно определить значения неизвестных.

				z4	=	K	45
				z4	=	K44
						K44
		z3	=	K34 z4			+	K35
		z3	=			K33
						K33
z2	=	K23 z3 + K24 z4						+ K25	(16.78)
z2	=				K22				(16.78)
					K22

z1	=	K12 z2 + K13 z3 + K14 z4 + K15
		K11

Как видим, дальше производится подстановка z в «элиминационные» уравнения краковянов.

Контроль вычисления неизвестных осуществляется подстановкой их значений в исходные уравнения.

Для иллюстрации способа краковянов решим систему линейных уравнений вида

1.	9,16 z1 – 2,46 z2 + 0,56 z3	+ 1,77 z4 + 0,34 = 0	(16.79)
2.	-2,46 z1 + 4,74 z2 + 0,23 z3 + 1,40 z4 + 0,12 = 0		(16.79)
3. 0,56 z1+ 0,23 z2 + 5,21 z3		– 3,46 z4 – 1,78 = 0
4.	1,77 z1 + 1,40 z2 – 3,46 z3	+ 8,07 z4 + 1,81 = 0

407

Составим таблицу 16.4.

K11

9,16 = 3,027

K12

2,46 / 3,027 =

+ 0,813

и т.д.

N22(1)

= 4,74 − 0,813 2 = 4,079 ;......... .......... .......... ..........

.......... .... K22

= 2,020

4,079

− N23(1)

= − 0,23 + 0,813 (− 0,185 ) = − 0,380 ;......... .......... ....... K23

= (− 0,380 ) / 2,020

= − 0,188

−

N24(1)

= − 1,40 + 0,813(− 0,585) = − 1,876;......... .......... ........ K24

= (− 1,876 ) / 2,020

− 0,929

− L(21)

= − 0,12 + 0,813 (− 0,112 ) = − 0,211;......... .......... ......... K25

= (− 0,211) / 2,020

= − 0,104

Таблица 16.4

Строки

z 1

z 2

z 3

z 4

∑

Контроль

9,16

+2,46

-0,56

-1,77

-0,34

-9,37

4,74

-0,23

-1,40

-0,12

-4,03

5,21

+3,46

+1,78

-0,76

8,07

-1,81

-9,59

3,027

+0,813

-0,185

-0,585

-0,112

-3,095

-3,096

2,020

-0,188

-0,929

-0,104

-3,241

2,267

+1,651

+0,803

+0,186

+0,187

2,034

-0,158

-2,193

-2,192

-0,052

-0,043

+0,297

-0,078

− å K 2 = − 4,03 + 0,813 (− 3,095 ) = − 6,546 ;......... .......... ...... K 26

= (− 6,546 ) / 2,020

= − 3,241

Контроль: - 2,020 – 0,188 – 0,929 – 0,104 = - 3,241.

N33(2)

= 5,21 − 0,185 2 − 0,188 2 = 5,140 ;......... .......... .......... ..........

....... K33

5,140

= 2,267

−

N34(2)

= 3,46 + (− 0,185 )(− 0,585 ) + (− 0,188 )(− 0,929 ) = 3,743;..... K34

= 3,743 / 2,267 =

+ 1,651

− L(32)

= 1,78 + (− 0,185 )(− 0,112 ) + (− 0,188 )(− 0,104 ) =

+ 1,820 ;.... K35

= 1,820 / 2,267 = + 0,803

− å K 3 = − 0,76 + (− 0,185 )(− 3,095 ) + (− 0,188 )(− 3,241 ) = + 0,422 ; K36

= 0,422 / 2,267

= + 0,186

Контроль: - 2,267 + 1,651 + 0,803 = + 0,187.

N44(3)

= 8,07 − 0,585 2 − 0,929 2 − 1,651 2

= 4,139 ;.........

.......... .......... ........ K44

4,139

= 2,03

−

L(43)

= − 1,81 + (− 0,585)(− 0,112) + (− 0,929)(− 0,104) + (+ 1,651)(+ 0,803) =

− 0,321

K 45 = (− 0,321) / 2,034 = − 0,158

− å K 4 = − 9,59 + (− 0,585 )(− 3,095 ) + (− 0,929 )(− 3,241 ) + (+ 1,651 )( + 0,186 ) = − 7,397

K 46 = − 7,397 / 2,034 = − 2,193

Контроль: -2,034 – 0,158 = - 2,192.

Вычисляем значения неизвестных:

− 0,158

= − 0,078

2,034

0,803 + 1,651 (− 0,078 )

= + 0,297

2,267

− 0,104 + (− 0,188 )(+ 0,297 ) + 9 − 0,929 )(− 0,078 )

= − 0,043

2,020

− 0,112 + 0,813 (− 0,043 ) + (− 0,185 )(+ 0,297 ) + (− 0,585 )(− 0,078 )

= − 0,052

3,027

408

<<< < Предыдущая 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 9192 / 11092 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 > Следующая >>>