значений k2 , k3 и k4 , находим k1 = +1. Т.е. те же значения, что и при решении способом последовательной подстановки, рассмотренном в 151.1.

Вкачестве замечаний к решению систем линейных уравнений необходимо указать следующее. При уравнивании значения коэффициентов и свободных членов системы линейных уравнений часто являются не целыми числами, а дробными. В связи с этим рекомендуется величины весов и обратных весов округлять до 0,01 – 0,001 ед., значения коэффициентов при неизвестных округлять до 0,0001ед., получаемые значения неизвестных округлять до 0,001 – 0,0001 ед. При этом, как указывалось выше, поправки в углы часто округляют до 0,1" – 0,01" , в расстояния (приращения координат) – до 1 мм, в превышения – до 0,1 – 1,0 мм.

151.3.Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса

Воснове алгоритма Гаусса лежит метод последовательного исключения неизвестных, рассмотренный выше. Алгоритм весьма прост вследствие простых однотипных действий на каждом последующем шаге вычислений. При этом обеспечивается надежный контроль промежуточных результатов. Кроме того, алгоритм Гаусса упрощает решение систем линейных уравнений при введении в них дополнительных граф, необходимых для вычисления весов уравненных элементов или их функций (об этом будет сказано позже).

Алгоритм Гаусса рассмотрим на примере системы четырех линейных уравнений вида:

Укажем, что в этой системе линейных уравнений, составленных при решении задачи уравнивания, коэффициенты с одинаковыми двойными индексами являются квадратичными (диагональными). Диагональные коэффициенты по условию их получения при составлении условных линейных уравнений всегда положительные. Коэффициенты, имеющие обратные индексы, равны между собой. В связи с симметрией коэффициентов относительно диагональных таблицу коэффициентов обычно записывают сокращенно в таком виде:

имея в виду наличие и симметричных коэффициентов на незаполненных местах.

Составим т.н. элинимационное уравнение, которое в алгоритме Гаусса обозначают буквой Е. Это уравнение представляет собой выражение первого неизвестного z1 через остальные (уравнение Е1):

401

Как выполнялось в методе подстановки, получим новую систему линейных уравнений без неизвестного z1:

Для полученных коэффициентов сохраняются все особенности системы линейных уравнений с диагональными коэффициентами, имеющими одинаковые двойные индексы (22, 33, 44 и т.д., если уравнений более 4-х). Таким образом, можно записать преобразованную систему линейных уравнений:

N22(1) z2 + N23(1) z3 + N24(1) z4 + L(21) = 0

402

Подставим значение z3 в уравнения (16.72), получим

Введя в уравнение (16.74) соответствующие обозначения, как и в предыдущих случаях, получим окончательное уравнение с одним неизвестным в обозначениях Гаусса:

Затем, для определения остальных неизвестных, воспользуемся последовательно элинимационными уравнениями Е3 , Е2 и Е1 , в результате чего

получим значения z3 , z2 и z1.

Обратим внимание на то, что для определения неизвестных нужны только элинимационные уравнения. Остальные уравнения не используются.

Представим схему решения системы четырех линейных уравнений в виде таблицы Гаусса (табл. 16.1 )

Запись коэффициентов N в строке (3), (7), (12) сокращенная, только вправо от диагональных коэффициентов. Но контрольная сумма этой строки учитывает все коэффициенты, стоящие слева от диагонального. В первой строке записываются все коэффициенты.

После заполнения с вычислениями и контролем строк (1), (2), (3) и (4), что не требует пояснений, заполняют строку (5). Коэффициенты в этой строке равны сумме (3) и (4) строк по столбцам. По аналогии со строкой (2) получают коэффициенты второго элинимационного уравнения Е2. В строку

(7) заносят в сокращенном виде коэффициенты и свободный(ые) члены третьего нормального уравнения. После вычисления строк (8) и (9) по суммам в столбцах строк (7), (8) и (9) получают коэффициенты строки (10). Все дальнейшие действия аналогичны приведенным выше до вычисления коэффициентов в данном случае последнего элинимационного уравнения Е4. Коэффициент N55 представляет собой указанную в строке (18) сумму произведений весов на квадраты свободных членов. При суммировании столбца по значениям строк (18) – (22) получают значение N55(4) = [pv2].

Значения неизвестных zi получают с помощью элинимационных уравне-

ний:

z2 = E23 z3 + E24 z4 + E25

z1 = E12 z2 + E13 z3 + E14 z4 + E15

Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений по алгоритму Гаусса. Для этого решим систему уравнений (16.53)

1.4х1 – 2х2 + 3х3 – 2х4 – 1 = 0

2.- 2х1 + 5х2 – 2х3 + х4 – 6 = 0

403

3.3х1 – 2х2 + 3х3 – 4х4 + 8 = 0

4.- 2х1 + х2 – 4х3 + 2х4 + 4 = 0

Решение уравнений выполним по приведенному выше алгоритму в табл.16.2.

В табл. 16.2 приведен только пример вычисления неизвестных х без оценки точности (указанные примеры будут рассмотрены отдельно).

Таким образом, значение х4 = Е45 = +3,999 ≈ +4. х3 = +3,639 * (+3,999) – 11,553 = +2,999 ≈ +3.

404