Представим уравнения (16.41) через поправки в углы в линейной форме:

Свободными членами Wx и Wy в уравнениях (16.43) являются приближенные значения искомых функций (16.41), вычисленные по измеренным горизонтальным углам с использованием равенств (16.42).

Из уравнений (16.41) найдем частные производные (коэффициенты условных уравнений поправок) и подставим их в уравнения (16.43). При этом поправки углов выражаются в секундах, свободные члены – в дециметрах, а разности координат – в километрах. Получим условные уравнения поправок:

- для координат х (при уравнивании углов):

- для координат у (при уравнивании углов):

Здесь: xn и yn - координаты последнего пункта (для рис. 16.6 xn = x5 , yn = y5); xi и yi - координаты текущего пункта i ходовой линии, проходящей через вершины промежуточных углов ηi ; νβi и νγi - поправки связующих углов β и γ (угол γ лежит против исходной стороны треугольника); νηi - поправки промежуточных углов ηi (записываются со знаком «плюс» для левых по ходу углов, со знаком «минус» - для правых по ходу углов).

§ 151. Методы решения систем линейных нормальных уравнений

151.1.Способ последовательной подстановки

Рассмотрим решение системы линейных уравнений способом последовательной подстановки на следующем примере. Имеется система линейных уравнений с четырьмя неизвестными х1, х2, х3, х4 :

3.3х1 – 2х2 + 3х3 – 4х4 + 8 = 0

4.- 2х1 + х2 – 4х3 + 2х4 + 4 = 0

Шаг 1. Выразим в уравнении 1 (16.46) х1 через остальные неизвестные,

396

и подставим его значение в уравнения 2, 3 и 4. Получим новую систему уравнений с тремя неизвестными:

и подставим его в уравнения 3 и 4 (16.48). Получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Для контроля полученные значения хi необходимо подставить в исходные уравнения (16.46) и проверить выполнение указанных условий. В данном примере указанные условия подтверждены абсолютно.

151.2.Способ матричных преобразований

Рассмотрим пример, приведенный в 151.1.

Для решения системы линейных уравнений матричным способом необходимо переписать их в виде

3.3х1 – 2х2 + 3х3 – 4х4 = - 8

4.- 2х1 + х2 – 4х3 + 2х4 = - 4

исоставить матрицу коэффициентов при хi , правых частей и контрольного

столбца, равного суммам коэффициентов и правой части каждого уравнения по соответствующй строке матрицы:

397

Составление контрольного столбца является обязательным! После математических действий с полной строкой, включая и контрольный столбец, всегда следует выполнять проверку сумм коэффициентов уравнений

правой и левой частей с полученным новым значением контрольного столбца. Они должны совпадать в пределах округлений результатов. Если этого не делать, то погрешность в вычислениях выявится только после решения систем уравнений. А процесс этот довольно трудоемкий, и без постоянного контроля вся работа может оказаться напрасной.

Из математики известно, что результат решения не изменится, если:

-любую строку матрицы поменять местами с другой строкой;

-любую строку матрицы умножить или разделить на одно и то же постоянное число.

Решение матрицы сводится к образованию т.н. треугольной матрицы вида

Таким образом получается система линейных уравнений

a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4 = m1

b2k2 + b3k3 + b4k4 = m2 (16.56) c3k3 + c4k4 = m3

d4k4 = m4

для, например, четырех линейных уравнений. Из последней строки находят значение k4 :

398

и последовательной подстановкой в уравнения (16.56) решают задачу. Контроль решения осуществляется подстановкой полученных значений

k в исходные уравнения (16.53).

Проследим решение на приведенном примере.

Шаг 1. Образовать 1-й нулевой столбец в строках 2, 3 и 4 матрицы (16.54). Для этого умножим 2-ю и 4-ю строки на (+2), а 3-ю строку – на (-4/3). Получим:

Затем последовательно сложим 2-ю, 3-ю и 4-ю строки (16.58) с первой строкой этой матрицы:

Шаг 2. Образовать 2-й нулевой столбец в строках 3 и 4 (16.59). При этом в примере для строки 4 нет необходимости в преобразованиях, поскольку в ней на второй позиции уже имеется ноль. В связи с этим достаточно преобразовать только 3-ю строку. Для этого умножим ее на (-12)

399

и сложим полученную строку со 2-й строкой той же матрицы:

Шаг 3. Образовать нулевой 3-й столбец (16.61) в строке 4, для чего требуется умножить его на (+2,2)

(16.62)

и сложить со строкой 3 этой же матрицы (16.62):

(16.63) В результате система линейных уравнений (16.53) преобразуется к виду:

Из уравнения 4 (16.64) находим k4 = +4. Из уравнения 3 подстановкой в него значения k4 находим k3 = +3. Из уравнения 2 подстановкой k3 (коэффициент при k4 равен нулю) находим k2 = +2. Из уравнения 1, после подстановки

400