§ 150. Основные геометрические условия, возникающие в построениях

Если геодезические построения состоят только из необходимых исходных данных, то такое построение (сеть) называется свободным (свободной) и уравниванию не подлежит. При наличии избыточных измерений построение (сеть) называется несвободным (несвободной), и в нем (ней) может быть выполнено уравнивание при наличии невязок, определяемых выполнением тех или иных условий в геометрических связях.

При уравнивании геодезических построений необходимо правильно определить число и вид т.н. условных уравнений. В связи с этим должны быть составлены только необходимые условия, не больше. В противном случае система уравнений не может быть разрешима. Меньшее же число условий вообще исключает решение задачи уравнивания, поскольку хотя бы одна из невязок будет исключена из рассмотрения.

Далее приведем основные геометрические условия, которые могут определять вид того или иного условного уравнения связи в геодезическом построении.

150.1.Условие фигуры

Взамкнутой фигуре, имеющей n вершин, сумма уравненных значений измеренных углов должна быть равна 180о (n ± 2), т.е.,

где знак «плюс» в круглых скобках - для внешних, знак «минус» - для внутренних углов; β' - исправленные (уравненные) углы.

В этом случае условное уравнение поправок имеет вид:

где βi - измеренные углы.

Поскольку два последних слагаемых образуют т.н. угловую невязку W ,

т.е.

Выражение (16.13) и является геометрическим соотношением (уравнением связи для условия фигуры).

Если в той же замкнутой фигуре углы заменить разностями направлений (т.е. отсчетов по горизонтальному кругу теодолита), то получается условное уравнение поправок для измеренных направлений:

В формуле (16.17) точкой стояния является точка i.

390

150.2.Условие горизонта

Сумма уравненных значений неперекрывающихся углов, измеренных независимо (т.е. отдельно друг от друга) вокруг одной вершины (рис. 16.1), должна быть равна 3600 , т.е.,

для измеренных углов βi.

Для измеренных направлений условие горизонта не возникает, поскольку в этом случае всегда сумма углов, вычисленных по разностям направлений, будет равна 3600 (зависимые измерения). Если же в измеренные углы ввести поправки, то и для направлений может возникнуть и условие горизонта. Поэтому условные уравнения поправок со свободным членом, равным нулю, необходимо включать в уравнивание.

150.3.Условие суммы углов

Для измеренных в одной вершине углов β1, β2, β3 и β4 (рис. 16.2) должно соблюдаться следующее геометрическое условие:

391

150.4.Условие дирекционных углов

Для решения геодезического построения (при определении координат его точек) необходимо знать исходный дирекционный угол одной из его сторон. Если же в сети известны дирекционные углы других сторон, то каждый из них образует одно условие. Например, если в сети (рис. 16.3) известны дирекционные углы α1, α2 и α3 , то геометрическое условие дирекционных углов запишется в виде:

Рис. 16.3. Условие дирекционных углов

В выражениях (16.23) … (16.25) принимается во внимание, что и все дирекционные углы были измерены (они могут быть и вычислены по значениям координат, имеющих известные погрешности), т.е. содержат погрешности и подлежат уравниванию. Чаще всего дирекционные углы принимают исходными, т.е. содержащими погрешности весьма малые по сравнению с погрешностями измеренных углов. В этом случае выражения (16.25) запишутся в виде:

где

392

(α0 – исходные дирекционные углы).

150.5. Условие сторон

Предположим, что в фигуре (рис. 16.4) измерены все углы β и стороны s1 и s2 . Между сторонами, из решения треугольников, существует следующее соотношение:

Это равенство можно представить в виде нелинейной функции

Рис. 16.4. Условие сторон

Приведем нелинейную функцию (16.30) к линейному виду, разложив ее в ряд Тейлора и ограничиваясь только первыми членами разложения. Получим:

где s20 – вычисленное по формуле (16.29) значение s2 по измеренным аргументам s1 , β1, β3 , β4, β5. С учетом (16.32)

393