Глава 16 УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ

§ 147. Основные задачи уравнительных вычислений

Проблема уравнивания геодезических построений является весьма важной при выполнении измерений и их обработке в процессе создания опорных сетей на земной поверхности и в недрах (в горных выработках), при выполнении точных и высокоточных специальных работ, при наблюдениях за деформациями наземных сооружений и горных выработок и др. Основными геодезическими построениями являются плановые Государственные геодезические сети 1, 2, 3 и 4 классов, а также сети 1-го и 2-го разрядов, высотные нивелирные сети I, II, III и IV классов. Все другие построения представляют собой сравнительно локальные фигуры в месте проведения специальных инженерно-геодезических работ, например, по созданию точной геодезической разбивочной основы на строительной площадке, либо аналогичных маркшейдерских работ, в том числе при прокладке полигонометрических ходов в подземных горных выработках. Такими фигурами (построениями) могут быть: небольшие цепочки треугольников триангуляции или трилатерации; вставки в угол; центральные системы; геодезические четырехугольники; полигонометрические ходы и системы полигонометрических ходов; нивелирные ходы и системы нивелирных ходов и др.

Под уравниванием понимают комплексное решение трех основных задач:

-определение по результатам измерений надежных значений искомых величин, а также их функций, как косвенных результатов измерений;

-оценка точности результатов измерений;

-оценка точности функций измеренных величин.

Даже при весьма тщательных многократных измерениях одной и той же величины, в каждом из результатов с большой вероятностью практически неизбежно содержится погрешность, представляющая собой, в основном, суммарное воздействие приборных погрешностей, личных погрешностей наблюдателя и погрешностей из-за влияния внешней среды, о чем подробно рассказано в гл. 15. В связи с этим, даже при измерениях точно известных величин, например, суммы горизонтальных углов плоского многоугольника, возникают невязки, что приводит к неоднозначности в значениях измеренных углов. Указанная неоднозначность заключается в том, что остается неизвестной даже абсолютно правильно измеренная величина при наличии общей невязки.

Уравнительные вычисления дают возможность устранить практические невязки в различных геодезических построениях, найти вероятнейшие значения измеренных величин и выполнить оценку их точности. Хотя сама по себе неоднозначность в результатах измерений остается, поскольку существовала практическая невязка, и вероятнейшее значение измеренных величин получаются со степенью надежности всегда меньшей единицы. Здесь следует

385

учитывать, что при введении поправок в результаты измерений какая-то из величин, либо несколько из них могут быть исправлены и в худшую сторону. Т.е. существует вероятность того, что, например, один из углов был измерен абсолютно точно, но из-за неопределенности, возникающей при появлении невязки, он искажается на величину поправки. В то же время, измеренному с большей погрешностью углу может быть придано меньшее значение поправки.

При изложении способов уравнивания принято во внимание, что читатель изучил разделы высшей математики, в которых рассматриваются вопросы теории вероятностей и математической статистики, дифференциальное и интегральное исчисления, теория матриц и решение систем линейных уравнений, вопросы теории погрешностей результатов геодезических измерений.

В теории погрешностей измерений рассматриваются правила математической обработки результатов многократных измерений одной независимой величины и оценки погрешностей функций независимых величин. Эти правила могут применяться для любой совокупности измеренных величин при условии, что совокупность эта включает в себя только необходимые величины.

Необходимыми величинами, как уже отмечалось выше, являются такие независимые между собой величины, из которых можно получить для каждой искомой величины только одно единственное ее значение. В геодезической и маркшейдерской практике обычно измеряют, кроме необходимых и избыточные величины. Например, три стороны треугольника и один, два или три его угла, не (n – 1) угол многоугольника, а все его углы.

Если обозначить число необходимых измерений буквой k, а число избыточных измерений буквой r, то полное (общее) число измерений n = k + r.

Предположим, что нами измерены все внутренние углы в полигоне, состоящем из n вершин. Тогда число необходимых измерений составит k = n – 1, а число избыточных измерений r = 1. Каждый из измеренных углов, а также любые (n–1) углов, не позволяют составить математическое соотношение для суммы углов многоугольника, можно только вычислить значение неизмеренного угла. Однако для полной группы n измеренных углов

где [β oi ] - сумма точных значений горизонтальных углов; i= 1, 2, 3, …, n; знак «плюс» за круглыми скобками - для внешних углов, знак «минус» - для внутренних углов.

Введем в сумму точных значений углов значения βi измеренных углов. В этом случае можно записать, что

возникающая из-за неизбежных погрешностей в результатах измерений. Процесс уравнивания здесь заключается в ликвидации невязки, т.е. опре-

делении таких значений углов βi´, при которых обеспечивается выполнение условия (16.1), т.е.

386

Можно сформулировать следующие основные выводы:

-уравнивание возможно только при наличии избыточных измерений, а также при условии неизбежного появления малых по величине (допустимых) погрешностей измерений необходимых и избыточных величин;

-уравнивание состоит в определении невязок в составленных математи-

ческих соотношениях путем введения поправок vi в результаты измерений и в нахождении вероятнейших значений искомых величин; для рассмотренного выше примера

- избыточные измерения являются необходимым процессом для контроля и оценки точности результатов измерений.

Если при измерении n величин (k необходимых и r избыточных, причем r < n ) получены результаты х1, х2, …, хn , точность которых определяется их весами р1, р2 , … , рn , то можно составить r условных уравнений (16.1):

φ1(хo1, xo2, …,xoi ,…, xon) = 0 φ2(хo1, xo2, …,xoi ,…, xon) = 0

деленной, поскольку содержит r уравнений с n неизвестными при r < n. Значения хi содержат погрешности. Если ввести в уравнения (16.5)

вместо значений хoi измеренные значения хi, то получим другую систему уравнений, подобную (16.2):

387

ϕ1 (x1′ , x2′ ,..., xi′ ,..., xn′ ) = 0

ϕ2 (x1′ , x2′ ,..., xi ′ ,..., xn′ ) = 0

…………………………

…………………………

ϕ r (x1′ , x2′ ,..., xi′ ,..., xn′ ) = 0

Непосредственно технология уравнивания заключается в нахождении единственных значений поправок vi при множестве решений неопределенной системы уравнений (16.8) или (16.9). Для решения таких задач используется метод наименьших квадратов.

§ 148. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов предложен в 1806 г. французским математиком Лежандром для решения неопределенных систем линейных уравнений.

Условием, которое позволяет решить систему таких уравнений, является условие минимума сумм квадратов поправок vi , вводимых в результаты измерений, выполненных равноточно, либо неравноточно с весами pi, т.е.,

При измерениях в высотных сетях геометрического нивелирования используются формулы (16.10) и (16.11).

Следовательно, при уравнивании требуется найти минимум функций (16.10)…(16.12), если их переменные находятся во взаимосвязи с независимыми уравнениями (16.8).

Достоинствами принципа наименьших квадратов является то, что при использовании вторых степеней поправок ограничиваются большие поправки, в связи с чем при равноточных измерениях поправки сравнительно равномерно распределяются между результатами измерений. При неравноточных измерениях веса при поправках уменьшают поправки к более точным результатам измерений и увеличивают их для менее точных результатов. «Оба отмеченных свойства вполне согласуются с требованиями здравого смысла, что, несомненно, есть убедительный довод в пользу принципа наименьших квадратов» [8].

Решение указанной задачи может быть реализовано двумя основными способами:

- способом Лежандра с неопределенными множителями, т.н. коррелатный способ уравнивания (условий или условных уравнений);

388