сдвоенными по долготе, а севернее параллели 76о (до 88о) – счетверенными по долготе. На участках (на севере и юге) по широтам от 88о до 90о находятся полярные шапки, которые изображают в азимутальной проекции. Вид такой проекции представлен на рис. 2.2.
§ 12. Зональная система плоских прямоугольных координат Гаусса
Как уже указывалось в § 10, поверхность земного эллипсоида изображают на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера в пределах 6о (или 3о) зон. Проекции осевого меридиана зоны и экватора образуют на плоскости две взаимно перпендикулярные линии, которые и принимают в качестве осей х и у прямоугольных координат. Осью х является проекция осевого меридиана зоны, а осью у – проекция экватора (рис. 2.13). В каждой из зон образуется
своя отдельная система прямоугольных координат. |
|
|
|
Для территории России абсциссы х |
|
|
всех точек положительные, а ординаты у |
|
|
могут быть положительными и отрица- |
|
|
тельными. Для удобства в работе ось х |
|
|
вынесли за пределы зоны на запад на |
|
|
500 км, т.е. сделали ординаты всех точек |
|
|
зоны положительными. |
|
|
Таким образом, положение любой точ- |
|
|
ки в зоне определяется координатой х (рас- |
|
|
стоянием до точки от экватора) и коорди- |
|
Рис. 2.13. Зональная система |
натой у, определяемой расстоянием от вы- |
|
несенного на запад осевого меридиана (оси |
||
прямоугольных координат |
х) до точки при перемещении на восток. |
|
|
||
Координата у взаимосвязана с расстоянием y(L) от точки до осевого |
||
меридиана зоны следующим соотношением: |
|
|
|
y = 500 км + y(L) . |
(2.8) |
При этом следует иметь ввиду, что значение y(L) может быть отрицательным, когда точка находится в западной от осевого меридиана части зоны (у < 500 км), и положительным, если точка находится в восточной части зоны (у > 500 км). Величины y(L) называют действительными значениями ординат в зоне, а значения у – преобразованными ординатами.
Поскольку системы прямоугольных координат подобны для каждой зоны, то необходимо ввести параметр для различения двух точек А и В, имеющих одинаковые координаты х и у(L), но находящихся в разных зонах. Для этого впереди координаты у приписывают номер зоны.
Пример 2.3. Точка находится на расстоянии 5237,635 км от экватора и на расстоянии 105,842 км к западу от осевого меридиана 7-й зоны. Записать прямоугольные координаты точки.
Решение. Координатой х будет указанное расстояние точки от экватора – 5237,635 км. Поскольку L = - 105,842 км (западная часть зоны), то, пользуясь формулой (2.8), получим у = 500,000 км – 105,842 км = 394,158 км (7-я зона). Следовательно:
30
х = 5 237,635 км; у = 7 394,158 км Для того, чтобы определить номер зоны по координате у, необходимо от запятой,
отделяющей целые километры, отсчитать влево три значащих цифры. Остаток будет номером зоны.
Пример 2.4. у = 16 636 835 м = 16 636, 835 км → 16-я зона.
y(L) = 636,835 км – 500,000 км = + 136,835 км (восточная часть зоны).
§ 13. Перевычисление координат из зоны в зону
Поскольку в каждой из зон существует своя отдельная система прямоугольных координат, то часто, при переходе из зоны в зону (при продвижении инженерных работ) возникает необходимость перевычисления координат, например, из зоны n в зону (n+1) или в зону (n-1).
Предположим, что некоторая точка А имеет геодезические координаты ВА (геодезическую широту) и LА (геодезическую долготу). Поскольку разность долгот граничных меридианов зоны равна 6о, то соответственно для каждой из зон можно получить долготы крайних меридианов: 1-я зона (0о – 6о), 2-я зона (6о – 12о), 3-я зона (12о – 18о) и т.д. Таким образом, по геодезической долготе точки А можно определить номер зоны, в которой эта точка находится. При этом долгота осевого меридиана зоны определится по формуле (2.7): Lо = (6оn – 3о), в которой n – номер зоны.
Для определения плоских прямоугольных координат х и у по геодезическим координатам В и L воспользуемся формулами, выведенными для референц-эллипсоида Красовского:
x = |
6367558,4969(Bрад) − {ao − |
[0,5 + (a4 + a6l2 )l 2 ]l2 N}sinB cosB ; |
(2.9) |
|
y(L) = [1+ (a3 + |
a5l 2 )l 2 ]lN cosB . |
(2.10) |
В формулах (2.9) и (2.10) приняты следующие обозначения: |
|
||
l = ( L |
- Lo )² / ρ² - разность долгот определяемой точки |
и осевого |
|
меридиана зоны в радианной мере; |
|
||
r² = 206264,8062² - число секунд в одном радиане;
Bрад = B² / r² - широта точки, выраженная в радианной мере;
N = 6399698,902 - [21562,267 – (108,973 – 0,612 cos2B) cos2B] cos2B; N – один из главных радиусов кривизны референц-эллипсоида Красовского (радиус кривизны первого вертикала);
ао = 32140,404 - [135,3302 – (0,7092 – 0,0040 cos2B) cos2B ] cos2B; а3 = (0,3333333 + 0,001123 cos2B) cos2B – 0,1666667;
а4 = (0,25 + 0,00252 cos2B ) cos2B – 0,04166;
а5 = 0,0083 - [0,1667 - (0,1968 + 0,0040 cos2B) cos2B] cos2B; а6 = (0,166 cos2B – 0,084) cos2B.
При высокоточных геодезических работах значения широт и долгот вычисляют до 0,0001² , а значения координат х и у(L) - до 0,001 м.
По формуле (2.10) значение координаты у(L) получают относительно осевого меридиана зоны, т.е. оно может получиться со знаками «плюс» (для восточной части зоны) или «минус» (для западной части зоны). Для записи координаты у в зональной системе координат необходимо вычислить рассто-
31
яние до точки от осевого меридиана зоны, отнесенного на запад на 500 км, а впереди полученного значения приписать номер зоны. Например, получено значение у(L) = - 303678,774 м в 47 зоне. Тогда
у = 47 (500000,000 – 303678,774) = 47196321,226 м.
Пример вычисления плоских прямоугольных координат по геодезическим координатам приведен в табл. 2.3.
Зная прямоугольные координаты точек, можно вычислить геодезические координаты (обратный расчет). Такие вычисления выполняют для контроля вычисления координат. Т.е. при решении любых задач на перевычисление координат обратный расчет позволяет оценить правильность получаемых величин.
Формулы для вычисления геодезических координат по прямоугольным координатам имеют следующий вид:
В = Вх - [1 - ( b4 – 0,12 z2) z2 ] z2 b2 r² ; |
(2.11) |
L = Lo + l ; |
(2.12) |
l = [ 1 – ( b3 - b5 z2) z2] z r² . |
(2.13) |
В формулах (2.11) и (2.12):
Nx² = b² + {50221746 + [293622 + (2350 + 22cos2b)cos2b]cos2b}10-10sinbcosb r² ;
b² = [( х /6367558б4969)] r² ; z = у(L) / ( Nx сos Bx );
Nx = 6399698,902 - [21562,267 – (108,973 – 0,612 cos2Bx) cos2Bx] cos2Bx; b2 = (0,5 + 0,003369 cos2Bx ) sin Bx cos Bx ;
b3 = 0,333333 – ( 0,166667 – 0,001123 cos2Bx ) cos2 Bx ; b4 = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 сos2Bx) cos2 Bx ;
b5 = 0,2 – (0,1667 – 0,0088 сos2Bx) cos2Bx .
Предварительно по значению у определяют номер зоны, в которой расположена определяемая точка, по номеру зоны определяют долготу Lo осевого меридиана и по расстоянию от точки до отнесенного на запад осевого меридиана находят расстояние у(L) от точки до осевого меридиана зоны (последнее может быть со знаком плюс или минус). Пример вычисления геодезических координат по прямоугольным приведен в табл. 2.3.
Преобразование прямоугольных координат Гаусса из зоны в зону предусматривает выполнение вычислений по тем и другим формулам.
Предположим, что в зоне 12 (на ее краю в восточной части) имеется точка А с прямоугольными координатами хА и уА. Необходимо найти ее координаты в зоне 13.
Алгоритм решения задачи следующий.
1.По формулам (2.11), (2.12) и (2.13) вычисляют геодезические координаты точки А ВА и LА (прямой расчет).
2.По полученным геодезическим координатам ВА и LА по формулам (2.9)
и(2.10) вычисляют прямоугольные координаты точки А в зоне 12 (обратный расчет) и убеждаются в совпадении их значений с исходными координатами.
Пример 2.5. Точка имеет геодезические координаты: широту В = 47о02'15,0543" и долготу L = 65о01'38,2456". Вычислить прямоугольные координаты точки с обратным расчетом .
32
|
|
|
|
Таблица 2.3 |
№№ |
|
Вычисление х и у |
|
Вычисление B и L |
п/п |
Параметр |
по В и L |
Параметр |
по x и y |
1 |
B° |
47о02'15,0543" |
β рад |
0,818760380 |
2 |
B" |
169335,0543" |
β" |
168881,4511" |
3 |
B"/ρ" |
0,820959510 |
β° |
46о54'41,4512" |
4 |
Sin B |
0,731800091 |
Sin β |
0,730299573 |
5 |
Cos B |
0,681519352 |
Cos β |
0,683127026 |
6 |
Cos2 B |
0,464468627 |
Cos2 β |
0,466662533 |
7 |
lo |
+2о01'38,2456" |
B х рад |
0,821272741 |
8 |
l"/ ρ" |
+0,035382893 |
B х" |
169399,6627" |
9 |
N |
6389707,353 м |
B х° |
47о03'19,6628" |
10 |
ао |
32077,69996 |
Sin B х |
0,732013528 |
11 |
а4 |
0,075000799 |
Cos B х |
0,681290096 |
12 |
а6 |
-0,003204001 |
Cos2 Bх |
0,464156195 |
13 |
а3 |
-0,011601574 |
Nx |
6389714,058 м |
14 |
а5 |
-0,026270237 |
Nx Cos B х |
4353248,903 м |
15 |
l2 |
0,001251949 |
z |
+0,035394247 |
16 |
N l2 |
7999,587730 м |
z2 |
0,001252753 |
17 |
Х |
5213504,617 м |
B |
47о02'15,0542" |
18 |
y(L) |
+154079,966 м |
lо |
+2о01'38,2456" |
19 |
y |
11654079,966 м |
L |
65о01'38,2456" |
Примечания:
1. Во второй части таблицы не приведены значения коэффициентов b.
2.Расхождения в значениях B, равное 0,0001" можно считать допустимым, поскольку погрешность в определении координаты x в этом случае составляет немногим более 3 мм (1" дуги меридиана примерно соответствует 33 м).
3.Используя полученные геодезические координаты ВА и LА, с учетом значения долготы осевого меридиана зоны 13, т.е. зоны, в которую производится перевычисление координат, по формулам (2.9) и (2.10) определяют прямоугольные координаты точки А в зоне 13 (прямой расчет).
4.Обратным расчетом, используя полученные координаты точки А в зоне 13, по формулам (2.11), (2.12) и (2.13), убеждаются в правильности вычислений, т.е. в совпадении значений геодезических координат, полученных в п.1.
Если нет необходимости в точном вычислении координат точек, например, для углов съемочных трапеций, при предварительной оценке прямоугольных координат точек местности при использовании геологических карт мелких масштабов и др., то пользуются упрощенными формулами, либо специальными таблицами.
33