Проекция Меркатора используется при составлении морских навигационных карт. Она была разработана в середине 16 века фламандским картографом, математиком и географом Г. Меркатором (Герард Кремер). Меркатор не успел дать теоретическую основу своей проекции, это сделали после него его сын Румальд, а затем, в 1599 г., английский ученый Эдуард Райт. Особенностью проекции является то, что масштаб длины в каждой точке сохраняется по всем направлениям, но изменяется при изменении широты и долготы. В связи с этим соотношение площадей на Земле и на карте не сохраняется. Другой особенностью проекции Меркатора является то, что локсодромии изображаются на ней прямыми линиями, которые пересекают меридианы под одним и тем же углом, что является весьма удобным в мореплавании.

Локсодромия в переводе с греческого означает «косой бег». На поверхности Земли она представляет собой спираль, которая приближается к полюсу, но никогда его не достигает. Локсодромия не является кратчайшим расстоянием между точками на поверхности земного эллипсоида. Кратчайшим расстоянием является линия ортодромии («прямой бег»), однако для небольших расстояний разница между локсодромией и ортодромией весьма незначительна .

Пространства около полюсов на карте Меркатора не изображаются. Районы около Северного и Южного полюсов даются отдельной врезкой, составленной, чаще всего, в азимутальной проекции.

В проекции Ламберта, наоборот, Северный и Южный полюсы изображаются, однако масштаб изображения при перемещении к полюсам значительно изменяется в зависимости от направления: изображение сжимается при приближении к полюсам, в связи с чем полярные области также изображают отдельно.

§ 8. Общие сведения о топографических картах и планах

Картой называют уменьшенное изображение на плоскости значительных по площади участков земной поверхности, построенное по определенным математическим законам с учетом кривизны Земли.

План является уменьшенным подобным изображением небольших участков поверхности Земли, построенным в ортогональной проекции без учета кривизны Земли.

Все карты делятся на две основные группы: научно-технические карты и карты общего использования.

Картами общего использования являются всевозможные учебные карты,

туристические карты, карты прогноза погоды, карты-схемы и т.п.

К научно-техническим картам относятся топографические карты, мелкомасштабные географические карты, тематические карты и др.

Топографические карты, в свою очередь, делятся на топографические карты суши и топографические карты шельфа и внутренних водоемов. Основными из них являются топографические кары суши.

20

Шельф – это мелководная зона подводной окраины материков, распространяющаяся от береговой линии до резкого перегиба поверхности дна. Средний угол наклона шельфа составляет 7 угловых минут. Ширина шельфа колеблется от нескольких десятков метров до тысячи и более километров. Топографическая поверхность суши (береговой зоны) на картах шельфа передается с топографических карт суши. Другими элементами содержания карт шельфа являются математическая основа, ориентиры (в том числе навигационные), рельеф дна, берега, донные отложения (грунты), подводная растительность и донные организмы.

Топографические карты являются универсальными и могут использоваться в различных отраслях хозяйственной деятельности человека и в обороне страны. Они являются подробными картами, позволяющими определять как плановое, так и высотное положение точек на земной поверхности, а также характеристику и взаимосвязь объектов местности. Для топографических карт принят единый ряд масштабов: 1:1000000; 1:500000; 1:200000; 1:100000; 1:50000; 1:25000; 1:10000; 1:5000; 1:2000. Условно их делят на три группы:

-крупномасштабные (от 1:2000 до 1:50000);

-среднемасштабные (1:100000 и 1:200000);

-мелкомасштабные (1:500000 и 1:1000000).

Кроме того, поверхность Земли изображают и в более крупном масштабе: 1:1000 и 1:500. Топографические изображения в масштабах от 1:10000 до 1:1000000 называют топографическими картами, а в масштабах от 1:500 до 1:5000 – топографическими планами. Отнесение масштабов 1:2000 и 1:5000 одновременно к топографическим картам и планам зависит от того, каким образом получены для них рамки: если рамки являются параллелями и меридианами, то данные изображения относят к картам; если рамки являются линиями сетки прямоугольных координат, то их относят к планам.

Поскольку топографические карты составляют на значительные по площа-ди территории, то с геометрической точки зрения они представляют собой более или менее искаженное изображение земной поверхности. При этом большие по размерам территории получают и большие искажения в положении отображенных на карте объектов. Существует понятие частного масштаба карты в каждой конкретной ее точке и по направлениям, исходящим из этой точки. Под частным масштабом понимается отношение длины бесконечно малого отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на поверхности эллипсоида или шара, которые используются в геодезии для описания формы Земли. На самой карте указывают главный масштаб, который отличается от частного масштаба тем, что он показывает степень уменьшения линейных размеров эллипсоида или шара при изображении на горизонтальной плоскости. В отличие от карты топографические планы составляют в ортогональной проекции без учета кривизны Земли, в связи с чем масштаб плана будет постоянным по всему изображению.

От масштаба изображения зависит та или иная степень детализации в представлении того или иного объекта. При графических работах погрешность измерений на карте (плане) или нанесения на нее информации может быть определена величиной в 0,1 мм (предельная погрешность составляет 0,2

21

мм), что примерно соответствует уколу циркуля-измерителя. При использовании топографической карты масштаба 1:М погрешность составит (0,1М) мм или (0,1М) : 1000 м. Так, для карты масштаба 1 : 10000 эта погрешность будет равна (0,1 × 10000) мм или 1 м, а для плана масштаба 1 : 500 – 50 мм или 0,05 м.

Крупномасштабные топографические карты используются при детальном планировании и проектировании инженерных сооружений, производстве точных картометрических работ, при детальном изучении местности.

Среднемасштабные топографические карты используются для предварительного проектирования средних инженерных сооружений, при различных изысканиях в строительстве линейных сооружений и др. Указанные карты являются основой для создания карт обзорного вида.

Мелкомасштабные топографические карты значительно уступают в подробности изображения картам средних и крупных масштабов. Они используются для общего изучения местности, при производстве предварительного проектирования крупных инженерных сооружений, при анализе состояния больших площадей на территории государства, а также для составления обзорных тематических карт более мелкого масштаба.

На топографических картах независимо от их масштабов обязательно изображаются следующие объекты:

-пункты Государственной геодезической сети (см. гл. 4);

-населенные пункты;

-отдельные строения, сооружения и предметы, являющиеся ориентирами (заводские и фабричные трубы, церкви, отдельно стоящие деревья, крупные камни и т.п.);

-объекты промышленности, сельскохозяйственные и социально-куль- турные объекты;

-дорожная сеть и сооружения, относящиеся к ней;

-объекты гидрографии и сооружения, относящиеся к ней;

-рельеф местности (см. § 16);

-растительный покров и грунты;

-границы и ограждения;

-в населенных пунктах (на топографических планах) объекты подземных и наземных коммуникаций.

§9. Система географических координат

Для определения положения точек земной поверхности используется поверхность референц-эллипсоида. В каждой точке поверхности референцэллипсоида существует два основных направления: направление нормали к поверхности и направление линии силы тяжести. Координаты, определяемые с использованием нормали, называют геодезическими, а координаты, определяемые с использованием линии направления силы тяжести, - астрономическими.

22

В соответствии с этим существует и два вида меридианов: астрономический и геодезический. Астрономический меридиан определяется линией пересечения с поверхностью Земли плоскости, проходящей через отвесную линию в данной точке параллельно оси вращения Земли. Геодезический меридиан определяется линией пересечения с поверхностью Земли плоскости, которая проходит через нормаль к поверхности референц-эллипсоида и через ось вращения Земли.

Астрономические координаты (широту, долготу, азимут) получают для определения положения точки на поверхности геоида по наблюдениям небесных светил (звезд, Солнца и др.). Геодезические координаты определяют положение точки на поверхности земного эллипсоида, при этом проектирование точек производится по нормалям к его поверхности. Для мелкомасштабных карт и карт среднего масштаба различием между астрономиическими и геодезическими коор-

Рис. 2.6. Система географических координат динатами можно пренебречь, поэтому обе системы (геодези - ческих и астрономических координат) объединяют в одну – географическую

систему координат (рис. 2.6).

Географической долготой точки А называется двугранный угол λ в плоскости экватора, образованный плоскостью начального (Гринвичского) меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через данную точку. Долгота изменяется от 0о до 180о на восток и запад от Гринвичского меридиана. Восточным долготам придается знак «плюс», западным – знак «минус». Иногда пользуются только восточной системой долгот – от 0о до 360о на восток от Гринвичского меридиана.

Географической широтой называют угол φ в плоскости меридиана точки А , образованный плоскостью экватора и направлением линии силы тяжести в данной точке. Широта изменяется от 0о до 90о на север и юг от экватора. Северным широтам приписывают знак «плюс», южным – знак «минус».

§ 10. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера

Поперечно-цилиндрическая проекция для изображения поверхности земного эллипсоида на плоскости была разработана немецким геодезистом Зольднером и французским геодезистом Кассини. Впоследствии К.Гаусс применил к этой проекции принцип равноугольности, причем масштабы

23

изображения в новой проекции в каждой ее точке в любом направлении были одинаковыми. Информация о новой проекции была опубликована К.Гауссом в 1825 году, а спустя почти 90 лет, в 1912 году, ученый Л.И.Крюгер (1857 - 1923) опубликовал рабочие формулы этой проекции. Сейчас указанная проекция названа именами Гаусса и Крюгера.

Рис.2.7. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера.

Предположим, что фигурой Земли является шар радиусом R. Построим вокруг Земли цилиндрическую поверхность, касающуюся поверхности шара по меридиану (рис. 2.7). В проекции Гаусса на цилиндр проектируется только часть поверхности шара (или эллипсоида), ограниченная по долготе меридианами по 3о в стороны от меридиана, касательного к цилиндру, так называемая 6о зона. Всего таких зон – 60.

Касательный к цилиндрической поверхности меридиан зоны называют

центральным или осевым меридианом зоны. Счет зон ведут на восток от Гринвичского меридиана и обозначают их арабскими цифрами (1, 2, ..., 60). Осевой меридиан 1-й зоны имеет восточную долготу 3о. Долготу осевого меридиана любой зоны с номером n можно определить по формуле:

В маркшейдерии применяют проекции 3о зон (120 зон). Осевой меридиан 1-ой 3о-ной зоны совпадает с осевым меридианом 1-ой 6о-ной зоны.

Основные свойства проекции Гаусса-Крюгера следующие:

-осевой меридиан зоны изображается без искажений и представляет собой на плоскости прямую линию. Все другие меридианы этой зоны изображаются сложными кривыми;

-экватор в проекции представляет собой прямую линию, перпендикулярную проекции осевого меридиана. Все другие параллели данной зоны являются сложными кривыми;

24