§ 28. Понятие о весе результата измерения

До сих пор мы говорили о результатах измерений, точность которых (степень доверия к ним) была одинаковая, весьма близкая по величине. Строго говоря, в природе измерений не существует равноточных величин. Обеспечить это весьма сложно, да во многих случаях и нет в этом необходимости. К равноточным измерениям можно отнести все результаты, погрешности которых не выходят за пределы допустимой величины, например, двойной средней квадратической погрешности.

Часто приходится иметь дело с разнородными величинами. Например, при выполнении геодезических измерений использовать результаты длин линий, которые значительно отличаются по величине, либо измерены разными по точности приборами, либо однородные величины в группе измерены равноточно, но с разным числом измерений в группах и т.п. В этом случае, при оценке точности, говорят о неравноточных измерениях.

Если в качестве веса результата измерения взять число, которое характеризует точность, то по смыслу слова вес можно сказать, что, чем больше вес результата, тем выше его точность (тем меньше погрешность, с которой получен данный результат). Т.е. вес находится в обратно пропорциональной зависимости от погрешности результата. Пусть точность измерения какойлибо величины характеризуется средней квадратической погрешностью m, тогда вес Р определяют как отношение

Значение с может быть любым, кроме нуля, но для анализируемой группы результатов измерений его принимают равным примерно среднему значению m по группе, поэтому значения весов результатов измерений не будут слишком большими или слишком маленькими.

Очевидно, что величина СКП зависит от числа измерений, а это значит, что от числа измерений зависит и вес: чем с большим числом измерений получен тот или иной результат, тем больше его вес.

Уже при обработке ряда равноточных измерений мы сталкивались с результатами, имеющими разный вес. Если принять за единичный вес результат одного измерения, то среднее арифметическое будет получено с большим

80

весом, причем вес его будет в n раз больше, чем вес результата одного измерения.

Предположим, что при равноточных измерениях одной и той же величины Х (заранее неизвестной) выполнено три серии по ni наблюдений в каждой:

n1, n2, n3, причем n1> n2> n3. Примем значение с2 в формуле (3.37) равным n1. Поскольку значение СКП обратно пропорционально корню квадратному из

числа измерений, то квадрат СКП будет обратно пропорционален числу измерений. В связи с этим формулу (3.37) можно переписать в виде

где no = с .

В рассматриваемом случае Р1 = 1, Р2 = n2 /n1 , Р3 = n3 /n1. Это говорит о том, что серии измерений неравноточны между собой.

Обозначим результаты измерений в сериях 1, 2 и 3 как x1i , x2i , x3i и вычислим средние арифметические значения измеренной величины в каждой

из серий: x1о , x2о и x3о по формуле (3.14).

Для всей группы измерений значение арифметической середины xо определится с учетом их весов из выражения

Аналогичная формула получится и для случая n серий измерений.

Из формулы (3.39) следует, что вес арифметической середины равен сумме весов всех измерений, входящих в серии.

Веса всех измерений можно изменить в одинаковое число раз. От этого значение арифметической середины не изменится. Т.е. в качестве no можно взять и другое число, отличное от n1, n2 и n3. Это число (с, no и др.) называют

единицей веса.

Для оценки весов неравноточных измерений или групп неравноточных измерений используют различные приемы. Так, если известны средние квадратические погрешности в группах измерений, то в качестве единицы веса может быть выбрана любая из известных СКП, либо примерно среднее ее значение. Вес результата измерения в группе в этом случае определится по формуле (3.37).

Внекоторых случаях в качестве единицы веса используют число измерений в группе. Даже если предположить, что каждая из величин в каждой из групп измеряется равноточно, то при разных числах измерений в группе образуются результаты средних арифметических, неравноточных между собой. Здесь приемлемо использовать для вычисления весов формулу (3.38).

Вкачестве погрешности единицы веса может выступать и, например, измеряемое расстояние, если погрешность его определения функционально зависит от его величины (практически это и имеет место). В зависимости от вида указанной функции единицей веса может быть как непосредственно длина линии, так и корень квадратный из длины линии.

81

При измерении горизонтальных углов на местности в некоторых случаях в качестве единицы веса направления (отсчета по горизонтальному кругу теодолита) используют величину этого направления, поскольку погрешность направления зависит от погрешности установки оси теодолита над вершиной измеряемого угла (погрешность центрирования). Чем короче расстояние (сторона угла), тем больше погрешность направления (прямая пропорциональная зависимость). В этом случае в качестве единицы веса при вычислении весов направлений следует брать квадрат длины стороны.

§ 29. Средняя квадратическая погрешность единицы веса и арифметической середины

Средняя квадратическая погрешность единицы веса μ характеризует погрешность результата измерения, вес которого равен единице.

В этом случае формулу (3.37) можно представить в виде

Таким образом, СКП результата измерения равна СКП единицы веса, деленной на корень квадратный из веса этого измерения.

Если выполнено n серий измерений, то СКП единицы веса, характеризующую все измерения, можно найти по формуле

где = (хоi – X) – разность среднего арифметического серии i и истинного значения измеряемой величины.

Если выполнено n серий измерений неизвестной величины, то

где ν = (хоi – хо) – уклонения среднего арифметического серии i от арифметической середины всей группы измерений.

В соответствии с формулой (3.43) СКП арифметической середины Мо может быть получена из выражений:

Т.е., СКП арифметической середины в корень квадратный из суммы весов всех серий измерений меньше, чем СКП единицы веса.

82

§ 30. Обработка ряда неравноточных измерений одной величины

Рассмотрим пример обработки результатов неравноточных измерений одной величины.

Пример 3.7. Выполнено 6 серий измерений длины линии, равноточных в каждой из серий, но неравноточных между сериями (обработка результатов - табл. 3.5).

Вычисление весов серий. Принимаем nо = n3 = 5. Значения весов остальных серий находим по формуле (3.38). Сумма весов равна [Р] = 6,60.

По формуле (3.39) находим арифметическую середину

xo = 76,835 × 1,40 + 76,841 0,60×+ ... + 76,837 × 1,60 = 76,8378 м 1,40 + 0,60 + ... + 1,60

Вычисляем уклонения средних арифметических в сериях от арифметической середины и произведения νi Pi . Здесь контролем вычислений является равенство [νi Pi] = 0. В примере [νi Pi] = +0,00014, что незначительно отличается от нуля. Это вызвано результатом округлений исходных величин.

Образуем произведения νi2Pi и получим их сумму [νi2Pi] = 23,784 · 10-6.

По формуле (3.44) находим СКП единицы веса (т.е. серии измерений, вес которой принят нами за единицу – серия № 3): μ = 0,0022 м.

По формуле (3.45) находим СКП арифметической середины: МО = 0,0008 м. Таким образом, значение измеренной величины равно: (76,8378 ± 0,0008) м. По формуле (3.41) определим СКП в сериях измерений:

m1 = 0,0019 м; m2 = 0,0028 м; m3 = μ = 0,0022 м; m4 = 0,0020 м; m5 = 0,0025 м; m6 = 0,0017 м.

83