Как показывают данные расчетов, большее влияние на погрешность стороны а оказывает первый в записи член, определяемый погрешностью аргумента b. Двумя другими членами общего выражения для погрешности стороны а практически можно пренебречь. Однако следует иметь ввиду и то, что малое влияние второго и третьего членов подкоренного выражения обусловлено сравнительно малой погрешностью измерения углов по сравнению с погрешностью измерения стороны b. Следовательно, в рассмотренном случае углы можно измерять с большей погрешностью, чем это было выполнено по условиям задачи.
Значение стороны а, вычисленное по формуле (3.23), равно 189,81 м. Относительная погрешность стороны а будет равна δа = ma / а = 0,096 / 189,81 = 1:1977, т.е. практически она равна относительной погрешности измерения стороны b.
§ 25. Обработка ряда равноточных измерений одной величины
Порядок обработки результатов равноточных измерений следующий.
1.Вычислить среднее арифметическое хо по формуле (3.14).
2.Получить ряд уклонений результатов измерений от среднего арифметического по формуле (3.8).
3.Проконтролировать сумму уклонений.
Сумма уклонений результатов измерений от среднего арифметического должна быть равна нулю, т.е. [v] = 0. В значении среднего арифметического для начальной обработки следует оставлять после запятой на один знак больше, чем в результатах измерений. При этом, из-за возможного округления среднего арифметического, сумма уклонений может незначительно отличаться от нуля.
4.Составить ряд квадратов уклонений v2 и получить сумму квадратов уклонений [v2].
5.Вычислить среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле (3.10).
6.Вычислить погрешность средней квадратической погрешности по формуле (3.11);
7.Вычислить среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического по формулам (3.17) или (3.18).
8.Произвести округление результатов в соответствии со значением СКП среднего арифметического и записать окончательное значение измеренной величины с ее доверительным интервалом (для заданной доверительной вероятности).
Втабл. 3.2 приведен пример обработки результатов измерений линии, измеренной на местности рулеткой с миллиметровыми делениями.
Пример 3.4. Обработка ряда равноточных измерений одной величины
Решение.
СКП одного измерения: m = 0,004645 м. Погрешность СКП одного измерения: mm= 0,000519 м. СКП среднего арифметического: М = 0,00073 м.
На основании значения mm величину m можно округлить до m = 0,005 м.
75
Значение среднего арифметического округлять здесь не следует, поскольку разряд округления и значение погрешности среднего арифметического (М = 0,0007 м) – одного порядка.
С учетом данных табл. 9 можно записать значение измеренной величины в виде доверительного интервала ±tM с заданной вероятностью Р:
Х(Р=68,3%) = (83,6619 ± 0,0007) м Х(Р=95,5%) = (83,6619 ± 0,0014) м
Х(Р=99,7%) = (83,6619 ± 0,0021) м Запись, например, для Х(Р=95,5%) расшифровывается так: с вероятностью 95,5%
величина Х находится в интервале 83,6612 м < Х < 83,6626 м .
Проконтролируем ряд значений хi, приведенный в табл. 3.2, на соответствие нормальному закону распределения. Найдем для этого число измерений, которые находятся в
пределах ±m, ±2m и ±3m, т.е. в пределах (83,662±0,005) м, |
(83,662±0,010) м и |
(83,662±0,015) м, с округлением среднего арифметического и СКП |
одного измерения до |
0,001 м (как было получено при измерениях), получим: |
|
n(t=1) = 28, n(t=2) = 40, n(t=3) – нет. |
|
Отношение n(t=1) к общему числу измерений n = 40 равно |
70%, что примерно |
соответствует вероятности Р = 68,3% для нормального закона распределения. Отклонение объясняется ограниченным числом измерений.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.2 |
№№ |
Результат |
Уклонение |
Квадрат |
№№ |
Результат |
Уклонени |
Квадрат |
п/п |
измерения |
υi·10-3 |
уклонения |
п/п |
измерения |
е υi ·10-3 |
уклонения |
|
хi |
|
υi2 ·10-6 |
|
хi |
|
υi2 ·10-6 |
1 |
83,668 |
+6,1 |
37,21 |
21 |
83,666 |
+4,1 |
16,81 |
2 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
22 |
83,664 |
+2,1 |
4,41 |
3 |
83,656 |
-5,9 |
34,81 |
23 |
83,657 |
-4,9 |
24,01 |
4 |
83,664 |
+2,1 |
4,41 |
24 |
83,660 |
-1,9 |
3,61 |
5 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
25 |
83,669 |
+7,1 |
50,41 |
6 |
83,672 |
+10,1 |
102,01 |
26 |
83,665 |
+3,1 |
9,61 |
7 |
83,661 |
-0,9 |
0,81 |
27 |
83,660 |
-1,9 |
3,61 |
8 |
83,656 |
-5,9 |
34,81 |
28 |
83,655 |
-6,9 |
47,61 |
9 |
83,666 |
+4,1 |
16,81 |
29 |
83,665 |
+3,1 |
9,61 |
10 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
30 |
83,661 |
-0,9 |
0,81 |
11 |
83,658 |
-3,9 |
15,21 |
31 |
83,669 |
+7,1 |
50,41 |
12 |
83,654 |
-7,9 |
62,41 |
32 |
83,656 |
-5,9 |
34,81 |
13 |
83,669 |
+7,1 |
50,41 |
33 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
14 |
83,667 |
+5,1 |
26,01 |
34 |
83,664 |
+2,1 |
4,41 |
15 |
83,659 |
-2,9 |
8,41 |
35 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
16 |
83,663 |
+1,1 |
1,21 |
36 |
83,669 |
+7,1 |
50,41 |
17 |
83,659 |
-2,9 |
8,41 |
37 |
83,658 |
-3,9 |
15,21 |
18 |
83,657 |
-4,9 |
24,01 |
38 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
19 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
39 |
83,659 |
-2,9 |
8,41 |
20 |
83,653 |
-8,9 |
79,21 |
40 |
83,663 |
+1,1 |
1,21 |
|
|
|
хо = 83,6619 |
[v] = 0 |
[v2] =841,60х10-6 |
||
76
§ 26. Об учете систематических погрешностей в измерениях
Выше говорилось о сложностях выявления и учета систематических погрешностей в результатах измерений. Во многих случаях приходится специально исследовать влияние систематических погрешностей, либо совершенствовать методику или программу измерений с целью их исключения или ослабления.
Далее мы рассмотрим простейший случай выявления и учета указанных погрешностей при выполнении эталонирования измерительного прибора, т.е. при определении точности работы прибора. Заметим, что в этом случае измеряемая величина известна, и значение СКП следует определять по формуле (3.9). Кроме того, считаем, что систематическая погрешность постоянна по величине и знаку во всем диапазоне значений результатов измерений.
Если результаты измерений содержат систематическую погрешность сист, то, очевидно, и значение среднего арифметического хо′ исследуемого ряда хi
также будет содержать ту же погрешность: |
|
|
хо′ = Х + |
сист , |
(3.25) |
откуда находим |
|
|
сист = хо′ |
- Х |
(3.26) |
Таким образом, истинные погрешности результатов измерений будут со-
держать как случайные сл , так и систематические погрешности |
сист: |
i = хi – Х = сл + сист |
(3.27) |
Предположим, что нами установлена величина систематической погрешности, тогда в ряду общей погрешности ее можно исключить и образовать
ряд случайных погрешностей |
|
сл = i - сист , |
(3.28) |
обработка которого выполняется по алгоритму, приведенному в примере 3.4. В табл. 3.3 приведен пример обработки результатов геодезических измерений (измерение горизонтального угла), содержащих систематическую по-
грешность.
Пример 3.5. Обработка результатов измерения горизонтального угла βо = 63º47'30" теодолитом Т2, содержащих систематическую погрешность.
Решение.
Вычисляем среднее значение горизонтального угла по результатам произведенных измерений: βо´ = [βi´] /n = 63º 47' 34,3".
Систематическая погрешность определяется разностью сист = (βо´ - βо) = + 4,3". Исключаем из результатов измерений систематическую погрешность: βi = (βi´ - сист). Образуем ряд случайных погрешностей сл = (βi - βо) и возведем их значения в
квадрат.
Получим сумму квадратов уклонений от истинного значения: [Δсл2] = 23,43. Поскольку измеряемая величина была известна, то для определения СКП результата
измерения используем формулу Гаусса (3.9): |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
2 ] |
|
|
|
|
mβ = |
СЛ |
= |
23,43 |
= 1,8′′. |
|||
|
n |
|
|
7 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
77
Среднюю квадратическую погрешность mm средней квадратической погрешности для рассматриваемого примера определим по формуле (3.11):
mm = mβ / 
2n = 1,8′′ / 
14 = 0,5′′.
С учетом этого можно записать, что mβ ≈ 2".
Вопрос же появления систематической погрешности в измерениях, более, чем в два раза превышающей случайную, да и точность измерения прибора (2"), необходимо исследовать особо.
|
|
|
|
|
Таблица 3.3 |
№№ |
Результаты |
Система- |
Исправленные |
Уклонения |
Квадраты |
п/п |
измерения, βi´ |
тическая |
значения |
от |
уклонений, |
|
|
погрешность, |
результатов |
истинного |
сл2 |
|
|
сист |
измерений, βi |
значения, |
|
|
|
|
|
сл |
|
1 |
63є 47' 34" |
+ 4,3" |
63є 47' 29,7" |
- 0,3" |
0,09 |
2 |
38" |
+ 4,3" |
33,7" |
+ 3,7" |
13,69 |
3 |
33" |
+ 4,3" |
28,7" |
- 1,3" |
1,69 |
4 |
35" |
+ 4,3" |
30,7" |
+ 0,7" |
0,49 |
5 |
35" |
+ 4,3" |
30,7" |
+ 0,7" |
0,49 |
6 |
32" |
+ 4,3" |
27,7" |
- 2,3" |
5,29 |
7 |
63є 47' 33" |
+ 4,3" |
63є 47' 28,7" |
- 1,3" |
1,69 |
§ 27. Средняя квадратическая погрешность двойных равноточных однородных измерений
В абсолютном большинстве случаев в геодезических работах производят двукратные измерения однородных величин: длин линий (примерно одинаковых по величине), горизонтальных углов (образованных примерно одинаковыми по величине сторонами), превышений и др. Также, как и при многократных измерениях одной величины, здесь возникает необходимость оценки точности измерений, т.е. определения средней квадратической погрешности разности двойных измерений.
Предположим, что мы имеем ряд из n парных равноточных измерений хi и xi´ , для которых можно составить разности di :
di = xi - xi´ (3.29) В этом случае, полагая, что в исследуемом ряду в разностях не содержатся систематические погрешности, можно записать для средней квадратической
погрешности разности
md = 
[dn2 ]
Поскольку измерения равноточные, то можно записать, что
md = m
2 ,
где m – СКП одного измерения.
С учетом (3.30) и (3.31) получим
m = |
[d 2 ] |
. |
2n |
||
|
|
(3.30)
(3.31)
(3.32)
78
Двойные измерения одной величины позволяют в большой степени обнаружить систематические погрешности одного знака и примерно одной величины (односторонние погрешности). Если систематические погрешности отсутствуют, то сумма разностей двойных измерений весьма близка к нулю, т.е. [d] = 0. Наличие в измерениях систематической погрешности приводит к ее накоплению в сумме разностей двойных измерений, в связи с чем получится величина Q = [d]. При n измерениях доля накопленной систематической погрешности в каждой разности будет составлять
q = [d] |
n |
(3.33) |
|
|
Если из значений разностей двойных измерений исключить величину
систематической погрешности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
δ i = (di − q) , |
(3.34) |
|||||||
то СКП разности можно вычислить по формуле |
|
|||||||
md = |
|
[δ 2 ] |
|
, |
(3.35) |
|||
|
|
|
n − 1 |
|
|
|
||
а СКП одного измерения – по формуле |
|
|
|
|||||
m = |
|
[δ 2 |
] |
|
|
|
(3.36) |
|
2(n − |
1) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
Пример 3.6. В табл. 3.4 приведена обработка результатов двойных равноточных однородных измерений длин линий светодальномером. Требуется определить наличие в результатах измерений систематической погрешности и выполнить оценку точности одного измерения.
Решение.
Разности d в таблице получены как 1-е измерение минус 2-е измерение.
Сумма разностей двойных измерений [d] = - 0,046 м, что говорит о наличии в
результатах |
двойных измерений систематической погрешности. Ее значение равно |
qi = [d] /n = |
-0,046 : 9 = -0,005 м. |
Образуем ряд случайных погрешностей, см. формулу (3.34), и возведем полученные уклонения в квадрат (для сокращения записи введен сомножитель 10-6).
Сумма квадратов уклонений [δi2] = 237 · 10-6 = 0,000237. СКП разности двойных измерений
md = |
0,00237 |
= 0,0054 м. |
||
СКП одного измерения m = md / |
|
|
9 − 1 |
|
|
|
= 0,0054 / 1,41= 0,004 м. |
||
|
2 |
|||
Следует иметь в виду, что значение m получено как вероятная погрешность по девяти парным измерениям сравнительно одинаковых длин линий. Случайные погрешности в измерениях 1, 3, 6 и 8 превышают полученное значение md. Независимо от этого принято считать, что любая из линий измерена со средней квадратической погрешностью 0,004 м.
m
Среднее значение любой измеренной линии имеет погрешность М = 2 = 0,003 м, как это следует из формулы (3.17) для двух измерений.
79