Если результат измерения заранее известен, то, казалось бы, зачем производить измерения? Однако такие действия часто приходится выполнять. Например, при проверке правильности работы или показаний прибора по эталону. Да и при самих непосредственных измерениях, например, углов в треугольнике, сумма углов треугольника (или многоугольника) является эталоном, известной величиной.

В основном результаты измерений заранее неизвестны. Что же представляет собой погрешность измерений в этом случае, и каким образом можно ее определить?

Рассмотрим ряд измерений одной и той же величины Х для случая, когда число измерений весьма большое (n → ∞). Составим ряд истинных погрешностей измерений, полагая, что измеряемая величина нам известна.

Сложим все разности в правых и левых частях формул (3.3) и разделим полученные результаты на n, получим

В соответствии со свойствами случайных погрешностей отношение [ ]/n стремится к нулю при n → ∞ . Отношение [х]/n = хо называется средним

т.е. среднее арифметическое из результатов измерений при возрастании числа измерений стремится к истинному значению.

Таким образом, при определении погрешностей измерений с какой-то долей надежности (зависящей от числа измерений) можно использовать величину среднего арифметического вместо истинного значения измеряемой величины. В этом случае истинные погрешности будут являться уклонени-

В теории погрешностей измерений доказано, что ряд уклонений vi от арифметического среднего также подчиняется нормальному закону распределения и обладает всеми свойствами случайных погрешностей.

§ 23. Средняя квадратическая погрешность

Средняя квадратическая погрешность (СКП) является мерой точности результатов измерений, либо функций измеренных величин, и является вероятностной характеристикой.

Предположим, что нам известно значение средней квадратической погрешности m. В соответствии с нормальным законом распределения график распределения истинных погрешностей по виду будет подобен графику рис. 3.1. Параметр r характеризует частоту (или частость) появления случайных погрешностей той или иной величины и знака. При этом вероятность появления погрешностей в заданном наперед диапазоне, например, ± , определяется площадью фигуры, ограниченной кривой распределения и отрез-

70

ками ординат при значениях + и − . Для нормального закона распределения вероятность появления погрешностей в установленных диапазонах равна следующим значениям :

для диапазона ± → Р = 68,3% (≈ 68%); для диапазона ±2Δ→ Р = 95,5% (≈ 95%);

для диапазона ±3Δ→ Р = 99,7% (практически 100%).

коэффициентом t (коэффициент Стьюдента), который и определяет доверительный вероятностный интервал (х ± tm) результата измерений при установленном уровне вероятности Р. Для этого удобно пользоваться табл. 3.1.

Например, необходимо определить доверительный интервал для величины Х с вероятностью 75%. По таблице интерполированием находим, что для

Р1 = 72,9 t1 = 1,1, для Р2 = 77,0 t2 = 1,2: tх ≈ 1,15.

Это значит, что результат измерений с вероятностью 75% находится в

Если измеряемая величина Х известна, то значение СКП определяется по

71

Для случаев, когда измеряемая величина неизвестна, используется

формула Бесселя:

где v - уклонения результатов измерений от среднего арифметического.

Как видно из формул (3.9) и (3.10), в случае, когда измеряемая величина известна, для оценки точности достаточно уже одного измерения (оно и является необходимым). Как уже указывалось выше, чаще всего формулу Гаусса используют при оценках точности эталонируемых приборов при измерении известных величин (эталонов). Для оценки точности по формуле Бесселя необходимыми являются как минимум два измерения. Формула Бесселя используется при оценках точности результатов массовых (многократных) измерений одной величины.

При возрастании числа измерений значения СКП, полученные по формулам Гаусса и Бесселя, становятся практически одинаковыми (примерно с n ³ 20). При этом значение СКП одного измерения стремится к пределу mпред, который определяется точностью прибора, точностью метода или программы измерений. Очевидно, что на практике невозможно, да и нецелесообразно по ряду причин, обеспечивать весьма большое число измерений одной величины. При этом практическое число измерений должно обеспечивать получение результата измерения с заданной точностью при установленном уровне доверительной вероятности.

Поскольку число измерений является ограниченным, то сама СКП содержит погрешность, определяемую по приближенной формуле:

§ 24. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин

В § 23 рассмотрены средние квадратические погрешности непосредственно измеренных величин. Чаще всего сами непосредственно измеренные величины используются в различных формулах, результатом вычисления по которым являются косвенные величины. Например, площадь прямоугольника, как косвенная величина, может быть определена как произведение сторон прямоугольника, полученных при измерениях непосредственно. Оценку точности площади в этом случае необходимо производить с учетом погрешностей в измерениях его сторон.

Предположим, что имеется функция F аргументов х1 , х2 , ... , хn:

F = f (x1, х2, …, хn). (3.12) Величины хi известны из непосредственных измерений, а также известны

и их СКП: m1 , m2 , ... , mn . В этом случае СКП функции определяется по следующей формуле:

72

где (∂f/∂хi) - частная производная функции по аргументу хi . Правила определения СКП функций следующие.

1.Выполнить последовательно дифференцирование функции отдельно по каждому из аргументов, считая остальные аргументы постоянными числами (коэффициентами).

2.Полученные выражения умножить на СКП аргументов, по которым производилось дифференцирование функции и возвести полученные выражения каждое отдельно в квадрат.

3.Записать полученные выражения в виде суммы под знаком квадратного корня.

Рассмотрим несколько примеров определения СКП функций.

Пример 3.1. Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического. Очевидно, что значение среднего арифметического является функцией суммы

измеренных величин хi (3.1). Представим это выражение в виде

хо = (х1 + х2 + … + хn ) / n (3.14) Поскольку 1/n является постоянным коэффициентом, то при почленном

дифференцировании и после умножения на mi и возведения в квадрат пролучим:

Т.е. СКП среднего арифметического в корень из числа измерений меньше СКП одного измерения.

С учетом (3.10)

Очевидно, что, если при увеличении числа измерений значение СКП одного измерения стремится к предельному значению, отличному от нуля, то значение СКП среднего арифметического стремится при увеличении числа измерений к нулю, а само среднее арифметическое – к истинному значению.

где h – высота пирамиды, а и b – стороны основания.

Требуется определить СКП объема пирамиды, вычисленного по формуле (3.19), если известно, что h = 12,34 м, а = 23,46 м, b = 39,63 м и их СКП равны соответственно: mh = 0,07 м, ma = 0,02 м, mb = =0,04 м.

Решение.

Выполняем последовательное дифференцирование по аргументам h, a и b:

73

-по аргументу b: ∂¶Vb = ah3 mb .

Возводим в квадрат полученные части и записываем в виде суммы в подкоренном выражении:

Формулу (3.20) можно преобразовать к следующему виду. Разделим правую и левую части соответственно на ( h a b) и V, получим

1

Относительная СКП определения объема равна δV = 7,42 /1274,75 = 0,00582 = 1718 .

Выполним проверку значения δV по формуле (3.22). Относительные СКП аргументов равны:

δh = 0,07 : 12,34 = 0,00567, δa = 0,02 : 23,46 = 0,00085, δb = 0,04 : 39,63 = 0,00101.

После подстановки в формулу (3.22) получим δV = 0,00582, что совпадает с предыдущим результатом.

Пример 3.3. Сторона а треугольника определена по теореме синусов по значению стороны b и двум углам треугольника А и В:

Известно: b = 140,12 м (δb = 1 : 2000; mb = 140,12 : 2000 = 0,07 м), А = 73о18,8' (mА = 0,4'), В = 63о05,6' (mВ = 0,3').

Необходимо определить СКП стороны а.

Решение.

Вычисление стороны а производится по формуле

где ρ' = 3438′ (число минут в радиане; для выражения угловой меры СКП угла в меру радианную);

- для аргумента В: (b mB sin A cos B / ρ' sin2 B)2. Следовательно,

После подстановки значений аргументов получим: mа= 0,096 м.

74