v7 = 80,0538 − 80,0540 = − 0,2мм .

Как видим, полученные значения поправок совпадают с поправками, полученными в способе эквивалентной замены, и совпадают в пределах округлений с поправками, полученными в способе полигонов В.В.Попова.

§160. Оценка точности уравненных элементов и их функций

160.1.Общие положения

Оценка точности уравненных элементов и их функций заключается в определении средних квадратических погрешностей результатов измерений и функций измеренных величин после выполнения процедуры уравнивания.

Среднюю квадратическую погрешность любой величины можно определить по формуле

где μ - средняя квадратическая погрешность единицы веса; p – вес определяемой величины.

Обе величины, входящие в правую часть формулы (16.225) обычно неизвестны, поэтому по материалам уравнивания находят как значение средней квадратической погрешности единицы веса, так и вес оцениваемой (уравниваемой) величины. Здесь следует иметь в виду, что вес измеренной и вес той же, но уравненной величины – не одно и то же. Тем более и веса функций уравненных величин, зависящих от входящих в нее аргументов со своими весами. Отношение весов Р уравненных значений измеренных величин к весам р измеренных величин примерно равно отношению общего

При определении погрешности единицы веса можно использовать формулу (3.44) из теории погрешностей, в которую вместо истинных погрешностей или уклонений от среднего значения подставляют значения полученных невязок W:

где n – число невязок однородной величины, равных числу условных уравнений. Часто для оценки μ используют все возникающие условные уравнения (N > r).

Пользуясь материалами уравнивания, погрешность единицы веса легко можно найти по формуле

где v – значения поправок к измеренным величинам, имеющим вес pi; n – число использованных поправок, т.е. число измеренных однородных величин

495

(углов, расстояний, превышений, пролетов и т.п); k – число необходимых измерений (n – k = r – число избыточных измерений).

При уравнивании коррелатным способом величину можно получить несколькими методами:

-по значениям поправок, полученных по результатам уравнивания (т.н. способ при помощи таблиц коэффициентов);

-по формуле

где W – невязки; k – значения коррелат;

- по схеме решения нормальных уравнений: к нормальным уравнениям коррелат (16.89) добавляют еще одно уравнение:

[qa1a1 ]k1 + [qa1a2 ]k2 + ... + [qa1ar ]kr + W1 = 0

…………………………………………

из (r+1) уравнения с тем же числом (r+1) неизвестных. Такие уравнения решают совместно по разработанному алгоритму (приемы решения таких уравнений будут пояснены далее).

При уравнивании параметрическим способом значение [рν 2 ] тоже можно определить несколькими путями:

-по значениям поправок (с использованием таблицы коэффициентов);

-по формуле

Данная система имеет (k+1) уравнение со столькими же неизвестными, т.е. решается исключением полученных значений поправок τj к параметрам tj. Уравнения решают по разработанному алгоритму (пример решения таких уравнений представлен далее).

160.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом

Чтобы выполнить оценку точности любой величины, последнюю не-

496

а после этого можно применить формулу теории погрешностей измерений для определения обратного веса функции:

аргумента (измеренной величины).

Для решения указанной задачи, т.е. определения веса функции, систему нормальных уравнений коррелат увеличивают на одно уравнение (либо несколько уравнений, в зависимости от числа оцениваемых параметров, функций) и записывают в виде:

[qa1a1 ]ρ 1 + [qa1a2 ]ρ 2 + ... + [qa1ar ]ρ r + [qa1 F] = 0

……………………………………………

………………………………..

(здесь L – cвободные члены новых уравнений);

[qFF ] = [q1 F1 F1 ] + [q2 F2 F2 ] + ... = L(r + 1) - свободный член последнего уравнения. Из решения системы уравнений (16.235), например, по алгоритму

Гаусса, получают

N ((rr+)1)( r +1) , т.е. необходимо выполнить столько решений уравнений (16.235),

сколько в них содержится определяемых функций F.

Задача упрощается тем, что указанные системы решают сразу совместно по определенному алгоритму, который рассмотрим на примере оценки точности установленных или заданных функций в системе нивелирных ходов, приведенной в § 153, п. 153.2. В данной системе нивелирных ходов уже выполнено уравнивание, поэтому мы воспользуемся результатами этого решения.

Выберем функции, оценку точности которых мы будем выполнять в данном примере:

F1 = H3 - H1 = h4′ - h7′

497

Последние четыре функции содержат только одно значение h, т.е. их средние квадратические погрешности равны средней квадратической погрешности соответствующего превышения, поскольку HP10, HP20 и HP30 – исходные высоты (по условию задачи являются безошибочными).

Составим для обработки результатов измерений табл. 16.67, в которую занесем значения коэффициентов и обратных весов из примера 153.2, а также значения частных производных функций:

Втаблице в скобках записаны значения коэффициентов, находящихся слева от диагональных. Строки, не относящиеся к номеру измерения (10 – 16), указаны в скобках.

Встолбцах F для значений [qa и [qF вычисления производят по формулам (16.235):

Полученные результаты используем для решения задачи методом краковянов. Для этого составим табл. 16.68 , в которую зенесем значения нижней части таблицы 16.67 .

В табл. 16.68 заносят диагональные коэффициенты в строки N, а у всех остальных коэффициентов меняют знак на противоположный. На противоположный знак следует изменить и значения ∑.

498