39) Производные и диффернциалы высших порядков.

Произв.высш.пор.Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка. Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной n -1-го порядка. По определению сама функция считается производной нулевого порядка от самой себя.

f’’(x)=[f’(x)]’;f’’’(x)=[f’’(x)] ; ... ,f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]’.f⁽⁰⁾(x)=f(x) .

Относительно этих производных надо знать формулу Лейбница:

[f(x)g(x)]ⁿ=^k_nf^(k)(x)g^(n-k)(x).

Дифф.высш.пор.

Дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка. Дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка. Вообще, дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала n -1-го порядка. Имеют место следующие формулы: dⁿf(x)=fⁿ(x)*dxⁿ; fⁿ(x)=dⁿf(x)/dxⁿ.

40) Правило Лопиталя Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x=x₀ и ии ∃,то выполняется равенство

41. Формула Тейлора и ее приложение. Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x₀. Многочлен

T(x) = f(x₀) + ( (f’(x₀))/1! )(x – x₀)¹ + (f ”(x₀))/2!(x – x₀)² +…+ (f ⁽ⁿ⁾(x₀))/n!(x – x₀)ⁿ

Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x₀.

Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x₀ (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х₀, для которой выполняется следующая формула

F(x) = T(x) + ( f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – формула Тейлора,

где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х₀,

r_n(x) = ( f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – остаточный член в формуле Лагранжа.

Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х₀. Тогда r_n(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х₀)ⁿ при х  х₀. (lim (r_n(x)/(х-х₀)ⁿ) = lim [((f⁽ⁿ⁺¹⁾(c))/(n+1)!)(x-x₀)] = 0 – в силу

^{ХХо ХХо}

Ограниченности f⁽ⁿ⁺¹⁾ (c) в окрестности х₀.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x)  T_n(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х₀)ⁿ, когда х  х₀.

Формула (*) применяется для приближенных вычислений.

Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х0):

1. (1+x)^  1 + (/1!)x + ((-1)/2!)x² +…+ ((-1)…(-n+1)/n!)xⁿ,

2. e^x  1 + x/1! + x²/2! +…+ xⁿ/n!,

3. ln(1+x)  x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 +…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n

4. sin x  x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +…+(-1)^kx^2k+1/(2k+1)!,

5. cos x  1 – x²/2! + x⁴/4! – x⁶/6! +…+(-1)^kx^2k/(2k)!,

где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хⁿ.

42. Исследование функции методом дифференциального исчисления. 1)Производная сложения функции. Теорема. Формyла Лейбница. 2)Вывод производных

Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f’(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f’’(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) - функция двух переменных x и y,то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = f’(x) называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = f’(y), частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н.угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла ? (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. f?(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.

Произв.сложн.ф-ии. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке t0, g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в точке t0 и выполняется след. Формула f’(g(x))=f’(x0)*g’(t0) Теорема Лейбница. Если f непрерывна на отрезке[a;b] и Φ — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство: ^b_a Формулой Лейбница - в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцировния. Формула названа в честь немецкого математика Готфрида Лейбница. Y=f(x) пусть ∋f’(x) ф-ия от х. если f’(x) непрерывна, то f’’(x)=9f’(x))’. f’’-производная второго порядка.Пусть n любое натуральное число. Производной порядка n от ф-ии y=f(x) называется производной от производной (n-1)ого порядка y⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]’, причем f⁽⁰⁾(x)=f(x). Замечание. Если ∋ f^(n-1)(x) на (a;b) то ∋ f^(n-1), ∋ f^(n-2), ∋ f⁰ и она непрер.на (a;b).

43. Т – ма Ролля о среднем значении.

] f(x) непрерывна на [a,b] и дифф. в (a,b),причём на концах принимает равные значения,тогда  т. х₀(а,b) такая,что f’(x₀)=0.Д – во:По 2^й т – ме Вейерштрассе ф – ция f(x) достигает на [a,b]и наибольшее, и наименьшее значения.Если они достигаются на концах отрезка,то в силу равенства f(a)=f(b) будет f(x)=const=>f(й)=0.Рассм. случай,когда наим. либо наиб. знач достигается внутри отр.(для определённости – наиб.).] х₀ – та точка,в к – рой ф – ция принимает наиб. знач.Придадим аргументу х этой ф – ции приращение Δx,не вых. за пределы [a,b]. Очевидно Δу≤0.Т.к. ф – ция дифф. в т.х₀,то  предел limΔ_x->0Δy/Δх=lim_Δx->0+0Δy/Δx= lim_Δx->0-0Δy/Δx=f’(x₀)=0*

44. Т – мы Лагранжа и Коши.Т – ма Лагранжа.] ф – ция непрерывна на [a,b]и дифф. в (а,b).Тогда  точка х₀ в интервале (a,b)такая,что (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(x₀).Геометрически эта т – ма озн.,что на  гладкой дуге найдётся хотя бы одна точка,касательная к к – рой || хорде,стягивающей эту дугу. Т – ма Коши:] ф- ции f(x) и (x) непрерывны на [a,b]и дифф. в (a,b),причём при всех х(a,b) ’(x)≠0.Тогда  т.х0(a,b) такая,что (f(b)-f(a))/((b)-(a))=f’(x0)/’(x0). При (x)x переходит в т – му Лагранжа.Ясно,что (b)-(a)≠0,т.к. в противном случае по т – ме Ролля для (х) бы точка х0(a,b),а это исключено.Д – во:рассм. F(x)=[f(b)-f(a)]·[(x)-(a)]-[(b)-(a)]· [f(x)-f(a)].F(x) непр. на [a,b]и дифф. в (a,b),F(a)=0 и F(b)=0,т.е. F(a)=F(b)=>ф – ция F(x) удовл. всем усл. т – мы Ролля, поэтому т. x₀(a,b) такая,что F’(x₀)=0=>*

45. Правило Лопиталя для раскрытия неопр. вида[0/0](с выводом) и [/](без вывода). 1.] ф – ции f(x) и (x) непрерывны в нек – рой проколотой окрестности т.а,причём lim_x->af(x)=lim_x->a(x)=0(1).] эти ф – ции дифф. в указанной окрестности,причём в этой проколотой окрестности (х)≠0 и ’(x)≠0.]кроме того  конечный или беск. предел lim_x->af’(x)/’(x),тогда  и предел lim_x->af(x)/(x) и оба этих предела равны.Д – во:]g(x)=[f(x),если х≠а; 0,если х=а];Θ(х)=[(х),если х≠а;0,если х=а].]ξ – произв. точка из указанной проколотой окрестности.На отрезке с концами а и ξ ф – ции g(x) и  Θ(x) удовл. всем.усл. т – мы Коши.Поэтому  точка η такая,что (g(ξ)-g(a))/ (Θ(ξ)-(а))=g(η)/Θ(η),т.е. f(ξ)/(ξ)=g(η)/Θ(η).При ξ->a будет и η->a;lim_ξ->af(ξ)/(ξ)=lim_η->ag(η)/Θ(η).*2.] ф – ции f(x) и (x) непрерывны в нек – рй проколотой окрестности т.а,причём lim_x->af(x)=lim_x->a(x)=.] эти ф – ции дифф. в указанной окрестности,причём в этой проколотой окрестности (х)≠0 и ’(х)≠0. ]кроме того  конечный или беск. предел lim_x->af’(x)/’(x),тогда  и предел lim_x->af(x)/(x) и оба этих предела равны.Замечание:оба правила Лопиталя справедливы,если усл. x->a заменить на x->a+0,x->a-0,x->+ или x->-.

46. Понятие выпуклого(вогнутого) участка дифф. ф – ции.Точки перегиба гр – ка.Необх. и дост. признаки выпуклости и вогнутости гр – ка ф – ции и  точек перегиба. ф – ция y=f(x) дифф. в (a,b).Если  точка  касательной к y=f(x) в (a,b),исключая точку касания, лежит выше[ниже] точки гр – ка с той же абсциссой,то гр – к этой ф – ции наз. выпуклым[вогнутым].+геом. опр.Точки гр – ка непр. ф – ции,отделяющие выпуклые участки гр – ка от вогнутых,наз. точками перегиба.] ф – ция y=f(x) дважды дифф. в (a,b),тогда:Необх признак выпуклости:Если гр – к ф – ции y=f(x) явл. выпуклым в (a,b),то f’’(x)≤0 при всех х(a,b).Необх. признак вогнутости:Если гр – к ф – ции y=f(x) явл. вогнутым в (a,b),то f’’(x)≥0 при всех х(a,b).Дост. признак выпуклости:Если f’’(x)<0 при всех x(a,b),то гр – к ф – ции в (a,b) явл.выпуклым.Дост. признак вогнутости:Если f’’(x)>0 при всех x(a,b),то гр – к ф – ции в (a,b) явл.вогнутым.Очевидно, х0 явл. точкой перегиба ТиТТ,К х0 явл. точкой экстремума.Необх. признак  точки перегиба:] f(x) непрерывна в нек – рой окрестности т.х0,х0 – абсцисса точки перегиба, тогда f’’(x) не сущ. либо =0.1й дост. признак  точки перегиба:] ф – ция y=f(x) дважды дифф. в нек – рой окрестности т.х0 и непрерывна в т.х0.Если f’’(x) меняется с “–”на“+” или наоборот при переходе аргумента через т.х0,то х0 – абсцисса т. перегиба.2й дост. признак  точки перегиба:] y=f(x) трижды дифф. в нек – рой окрестности т.х0,причём f’’(x0)=0, тогда при f’’’(x0)≠0 x0 явл. абсциссой т. перегиба.