4.7.Задачи и упражнения
Взаданиях 1–8 найдите производные от заданных функций, применяя Теорему 1.
Подсказки: В задачах 4–5 используйте Свойство 5.
Взадачах 4–8 используйте Свойство 6, затем Свойство 5.
Взадачах 1–8 используйте правило дифференцирования сложной функции.
x5 t
1) F(x) = ∫e ln t dt ;
x
3) F( x) = ∫ e−t3 dt ;
0
1
5) F( x) = ∫ln tdt ;
1
x
1 x2
7) F(x) = ∫cost2dt ;
1 x
|
x2 |
2) |
F(x) = ∫ 1 −t3 dt ; |
|
1 |
|
1 |
4) |
F( x) = ∫ 2 +t4 dt ; |
|
x |
|
x |
6) |
F(x) = ∫e−t 2 dt ; |
|
x2 |
|
x |
8) |
F ( x) = ∫cost2dt . |
|
1 x |
Пример.
d |
x5 |
t |
|
x |
5 |
|
|
|
5x |
9 |
|
x |
9 |
|
∫ |
dt = |
|
|
5x4 |
= |
|
= |
|
. |
|||||
dx |
ln t |
ln x |
5 |
5ln x |
ln x |
|||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заданиях 9–20 вычислить интегралы непосредственным интегрированием.
|
π |
|
x |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
π 8 |
|
|
|
dx |
|
|||||
9) |
∫sin |
|
|
dx |
; |
|
10) |
∫ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
11) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
; |
|||
3 |
|
2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4x |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
π 16 sin |
|
|
|||||||||||||
|
9 |
2 − 7 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
dx |
|
|
||||||
12) |
∫(3t |
+ t )dt ; |
13) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
14) |
∫ |
|
|
|
|
; |
||||||||||||
∫0 4 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 −4x2 |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
+ |
|
z dz ; |
|||||
15) |
∫e−2 x dx ; |
|
16) |
∫etdx ; |
|
|
|
|
|
17) |
∫1 |
2 |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
99 |
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
||||
18) |
∫( y − |
2) |
|
|
dy ; |
19) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
20) |
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
x |
2 |
−4x |
+ |
5 |
|
|
2 |
− |
4 |
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−3 x |
|
|
|
|
|||||||||||
Пример.
π |
x |
π |
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫sin |
dx = 3∫sin |
d ( |
) = −3cos |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
3 |
0 |
3 |
|
3 |
|
3 |
|
0 |
|
||
|
|
|||||||||||
|
|
= −3(cos π |
−cos0) = −3( 1 −1) = |
3 . |
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
2 |
||||
100
В заданиях 21–28 вычислить интегралы, применяя указанные подстановки.
|
4 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21) |
∫ |
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
22) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
0 |
2x + |
|
|
3x + |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
ln 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23) |
∫ |
|
et |
+ 3dt ; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 5 |
e |
x |
xe |
x |
−1 dx ; |
|
|
|
|||||||
24) |
∫ |
|
e |
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
+3 |
|
|
|
|
|
|
||||
25) |
|
1 |
|
|
|
1 − x2 |
dx ; |
|
|
|
||||||
|
∫ |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
y |
2 |
−1 dy ; |
|
|
|
|
||||||
26) |
∫ |
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
cos xdx |
|
|
|
|||||
27) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
5 −cos |
2 |
x |
−2 sin |
2 |
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
x |
|||||||||||
πdx
28)∫0 3 + 2cos x .
Пример.
21) Подстановка x = t2 |
dx = 2tdt ; |
|||
4 |
|
2 |
2 |
|
∫ |
dx |
= ∫2tdt |
= 2∫(t +1 −1)dt |
|
1 |
1 + x |
1 1 +t |
1 |
1 +t |
( x = t2 )
( 3x +1 = t2 )
( et +3 = y2 )
( ex −1 = t2 )
( x = sin t )
( y2 −1 = t2 )
( sin x = t )
( tan 2x = t )
x =1 |
|
|
|
t =1 |
; |
|
|
|
|
|
|||
x = 4 |
|
|
|
|
t = 2 |
|
2 |
2 |
dt |
|
|
|
|
= 2(∫dt − ∫ |
|
) |
|
|
||
1 |
1 |
1 +t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=2(t −ln(t +1)) 12 = 2(2 −ln 3) −2(1 −ln 2) = 2(1 −ln 23).
Взаданиях 29–36 вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям.
|
e |
|
e |
2 |
|
π 6 |
29) |
∫ln xdx ; |
|
|
31) |
∫xsin 3xdx ; |
|
30) |
∫x5 ln xdx ; |
|||||
|
1 |
|
e |
|
0 |
|
|
1 |
|
e |
|
π 2 |
|
32) |
∫x3e−2 x dx ; |
33) |
∫( x +3)ln2 xdx ; |
34) |
∫x2 cos xdx ; |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
35) |
∫arctan xdx ; |
36) |
∫arcsin xdx . |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
101