Приведенная таблица имеет иллюстративный характер и ни в коей мере не претендует на исчерпывающий перечень интегралов, успешно вычисляемых методом интегрирования по частям. Следует также иметь в виду, что многие интегралы (в том числе и не представленные в таблице) могут быть выражены через вышеприведенные с помощью подходящей замены переменной, например,

∫arcsin x dx arcsin x=t = ∫t cost dt ,

∫x arccos x dx arccos x=t = −∫t sin t cos t dt = − 12 ∫t sin 2t dt .

3.5.3.3. Циклические интегралы

Рассмотрим следующие интегралы:

I1 = ∫eax cos bx dx = 1b eax sin bx − ab ∫eax sin bx dx .

Учитывая (28), полученное равенство можно записать в виде

Интеграл (27) оказался выраженным через интеграл (28).

Теперь выполним аналогичные преобразования применительно к интегралу I2 . Интегрируем по частям (28):

I2 = ∫eax sin bx dx = −1b eax cos bx + ab ∫eax cos bx dx .

Учитывая (27), полученное равенство представим в виде

Любопытно отметить, что цикл, начавшийся с вычисления интеграла (27) и включающий в себя двукратное интегрирование по частям, привел вновь к исходному интегралу (27).

54

Составим из равенств (29) и (30) систему линейных уравнений относительно переменных I1 и I2 :

Заметим, что к интегралам рассматриваемого вида сводятся некоторые другие интегралы.

Пример 1. Вычислить ∫sin(bln x)dx . Решение. Сделаем замену переменной: ln x = t . Тогда x = et , dx = etdt и, следовательно,

∫sin(b ln x)dx = ∫et sin bt dt .

Используя формулу (32) и возвращаясь к переменной x, получаем

= sin(bln x) −bcos(bln x) +

1 +b2 x C.

Пример 2. Вычислить ∫cos(ln x)dx .

Решение. Сделаем подстановку ln x = t и воспользуемся формулой (31):

∫cos(ln x)dx = ∫et cost dt = cost +sin t 2

= 12 (cos(ln x) +sin(ln x))x

55