6.Каким свойством обладает сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей?

7.Для какой цели строят эллипс инерции?

5. ПРИМЕРЫ

Пример 1. Определить положение центра тяжести и главные центральные моменты инерции сечения, изображённого на рис. 2.

y0

Рис. 2

Положение центра тяжести сечения определим по формуле

∫ydA yc = SAx = A A ,

где Sx − статический момент сечения относительно оси х; A − площадь сечения.

Рис. 3

В связи с симметрией сечения xc = 0.

17

Отметим положение центра тяжести и, учитывая симметрию сечения, проведём главные центральные оси x0, y0 (рис. 2).

Определим главные центральные моменты инерции:

Пример 2. Заданы поперечное сечение бруса сложной формы, составленное из профиля Пр-125-2, пластин прямоугольной и треугольной формы, и размеры этих элементов.

Требуется вычислить главные центральные моменты инерции сечения, определить положение главных центральных осей аналитическим и графическим способами, вычислить моменты сопротивления изгибу и радиусы инерции, построить эллипс инерции.

Исходные данные: δ = 6 мм, =100 мм, h = 42 мм,b = 30 мм, с = 0,3 = 30 мм, Пр-125-2.

Решение

1.Из справочных данных [2] выписываем геометрические характеристики профиля и вычерчиваем в масштабе заданное поперечное сечение (рис. 5). Пронумеруем элементы этого сечения, проведём собственные центральные оси для каждого из них, относительно которых вычислим моменты инерции

(рис. 4).

2.Определим координаты центра тяжести в произвольных осях U, V, параллельных центральным осям элементов, используя формулы:

где Vci , Uci – координаты центров тяжести элементов сечения в координат-

ных осях U, V.

18

На рис. 5 отметим центр тяжести сечения по найденным координатам

Uc и Vc .

3. Через точку С проведём центральные оси всего сечения, параллельные центральным осям элементов. Вычислим моменты инерции относительно этих осей, используя формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей:

Ix = Ix(1)1 + A1 a12 + Ix(2)2 + A2 a22 + Ix(3)3 + A3 a32 , I y = I y(1)1 + A1 b12 + I y(2)2 + A2 b22 + I y(3)3 + A3 b32 ,

Ixy = Ix(1)1y1 + A1 a1 b1 + Ix(2)2 y2 + A2 a2 b2 + Ix(3)3 y3 + A3 a3 b3.

19

моменты инерции элементов сечения относительно собственных центральных осей; a1, a2 , a3 – расстояния между центральной осью x и центральными ося-

ми элементов х1, x2 , x3; b1, b2 , b3 – расстояния между центральной осью y и

центральными осями элементов y1, y2 , y3.

Осевые моменты инерции элементов относительно собственных центральных осей вычислены ранее, их центробежные моменты инерции равны нулю, так как собственные центральные оси элементов являются главными осями.

4. Вычислим расстояния между осями, используя рис. 5:

+0 +2,14 3,85 (−2, 05) +0 +6,3 (−1, 65) 1, 2 = −30, 41 см4 .

5.Определим главные центральные моменты инерции сечения:

Положение главных центральных осей найдём по формуле:

Строим главные центральные оси x0, y0 (рис. 5).

20

U

Uc1

Uс3

Рис. 5

6. Определим координаты точек сечения, наиболее удалённых от главных центральных осей.

Из рис. 5 следует, что такими точками будут точки 1 и 2, координаты которых в осях x, y равны:

21