Linal_Semestr_III

Линейная алгебра

3 семестр

30.12.2009

1

Содержание

9Теорема о собственных векторах самосопряженного оператора, отличающихся различными собственными значениями. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональ-

2

3

1Сопряженный оператор. Определение, свойства. Инвариантность ортогонального дополнения относительно сопряженного оператора.

De nition. c' 2 L (Ln; Lm) : ' : Lm ! Lnназывается сопряженным оператором к оператору ', åñëè 8x 2

Ln; 8y 2 Lm ('x; y) = (x; ' y).

Свойства:

1. (' ) = '

2. (' + ) = ' +

3. (' ) = '

4.( ') = ' , 2 R ( ') = ' , 2 C

5.(' ) 1 = (' 1)

Theorem. im ' = ker?'

Доказательство. 8x 2 ker '; 8y 2 im ' (x; ' y) = ('x; y) = ( ; y) = 0 ) x ? ' y

De nition. H инвариантно1 относительно '; åñëè 8x 2 H 'x 2 H.

Theorem. Åñëè H инвариантно относительно ', òî H? инвариантно относительно ' .

Доказательство. cx 2 H;y 2 H?:'x 2 H:

('x; y) = 0 = (x; ' y) ) x ? ' y ) ' y 2 H?

2Связь матрицы линейного оператора и сопряженного к нему в вещественном(комплексном) евклидовом пространстве. Теорема о существовании единственного сопряженного оператора для любого линейного оператора, действуещего в евклидовом пространстве.

Theorem. c [']e = A; [' ]e = A

Для вещественного евклидова пространства A = Ãe 1AT Ãe

Доказательство. ('x; y) = (x; ' y) , [x]Te AT Ãe [y]e = [x]Òe ÃeA [y]e , A = Ãe 1AT Ãe

Для комплексного евклидова пространства A = Ãe 1AT Ãe

Доказательство. ('x; y) = (x; ' y) = [x]Te AT Ãe[y]e = [x]Te ÃeA [y]e , A = Ãe 1AT Ãå

Theorem. Для каждого оператора существует сопряженный оператор и причем только один.

Единственность: c! è ' - сопряженные операторы к '

('x; y) = (x; !y) = (x; ' y) ) [(x; y) (x; z) , y = z] ) !y = ' y ) ! = '

1Напомним, что для инвариантного подпространства H 8x 2 H 'x 2 H

4

Ортогональный (унитарный) оператор сохраняет длину элемента.

Theorem. Собственные значения ортогонального (унитарного) оператора по абсолютной величине равны 1.

Доказательство. 'x = x

('x; 'x) = ( x; x) = (x; x) = (x; x) ) = 1 ) j j2 = 1

6Необходимые и достаточные условия ортогональности линейного оператора.

Достаточность: в обратную сторону.

7Самосопряженный оператор. Определение. Необходимое и достаточное условие самосопряженности линейного оператора.

De nition. ' : "n ! "n (Un ! Un) называется симметричным (эрмитовым) или самосопряженным, если

8x;y 2 R(x; y 2 C) выполняется ('x; y) = (x; 'y) ; ' = '

Матрица A называется самосопряженной, если

Theorem. ' : "n ! "n (Un ! Un) является самосопряженным , в любом ортогональном базисе его матрица самосопряженная.

Доказательство.

('x; y) = (x; 'y) ) [x]Te [']Te e [y]e = [x]Te e [']e [y]e ) [']Te = [']e - для вещественного евклидового

пространства.

('x; y) = (x; 'y) ) [x]Te [']Te e[y]e = [x]Te e[']e [y]e ) [']Te = [']e - для комплексного евклидового пространства.

Достаточность доказывается в обратном порядке. Claim. Самосопряженный оператор является нормальным.

6

8Теорема о корнях характеристического оператора самосопряженного оператора.

Theorem. Нормальный оператор является самосопряженным , корни его характеристического многочлена вещественные.

Доказательство.

Необходимость:

' : Un ! Un - нормальный и самосопряженный.

'x = x, 'x = x ) = ) 2 R ' : "n ! "n

ce - базис в "n; Un - унитарное пространство той же размерности и f - базис в нем.

Оператор : Un ! Un таков, что [']e = [ ]f

Характеристические многочлены этих матриц совпадают. По предыдущему пункту собственные значения оператора вещественные ) у оператора ' также все корни вещественные.

Достаточность:

ce = (e1; : : : ; en) - ортонормированный базис в унитарном пространстве Un, составленный из собственных векторов нормального оператора ', действующего в этом пространстве.

'x = ' x ) ' = '

9Теорема о собственных векторах самосопряженного оператора, отличающихся различными собственными значениями. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.

Theorem. Собственные вектора самосопряженного оператора, отличающиеся различными собственными зна- чениями, ортогональны.

Доказательство. Самосопряженный оператор - нормальный

Corollary. (Из теоремы о корнях характеристического уравнения самосопряженного оператора) Оператор является самосопряженным , его матрица в ортонормированном базисе, составленном из собственных векто-

ров, является диагональной, причем по диагонали стоят вещественные числа.

Схема приведения к диагональному виду:

1.Находятся собственные значения оператора.

2.Находятся собственные вектора

3.Нормируется система векторов

4.Записывается разложение:

= Pe!1e0 A Pe!e0 èëè A = Pe!e0 Pe!1e0

ãäå A = [']e - матрица самосопряженного оператора в искомом базисе e

0n

Pe!e0 - матрица, в которой записаны по столбцам пронормированные собственные вектора в том же порядке, в котором собственные значения 1; ; n записаны в .

Pe!1e0 = PeT!e0 .

10 Сингулярные числа. Сингулярные базисы.

Рассмотрим A 2 Cm n, rgA = r. Тогда A 2 Cn m; A A 2 Cn n; AA 2 Cm m; rg (A A) = rg (AA ) = r.

7

ce = (e1; : : : ; en) - ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, соответствующих соб-

Ненулевым будет r; кратность собственного значения O для оператора ' ' будет n r, à äëÿ '' - m r. Число S = min (m; n) есть количество общих собственных значений.

De nition. Арифметические значения корней из общих собственных значений матриц A A è AA называется сингулярными числами матрицы A и обозначаются 1; 2; : : : ; s.

Рассмотрим пространство "n, в котором базис (e1; : : : ; en). Построим базис f в пространстве "m:

Дополним систему до ортонормированной векторами fr+1; : : : ; fm.

{( )

De nition. Базис e1; : : : ; en, удовлетворяющий (1) называется правым сингулярным базисом; f1; : : : ; fm, óäî- влетворяющий (2), - левым сингулярным базисом.

11 Сингулярное разложение. Схема построения сингулярного разложения.

AA A A

m A = m Q m n P

r

8

Схема построения сингулярного разложения:

1.Вычисляем A A и находим ее собственные значения.

2.Строим ортонормированный базис (e1; : : : ; en), состоящий из собственных векторов, соответствующих вычисленным значениям матрицы A A, и выписывали их в P по столбцам в том порядке, в котором будут выписаны соответствующие сингулярные числа в матрице .

3.Строим ортонормированный базис f1; : : : ; fm:

Полученные вектора выписываются в матрицу Q по столбцам.

12Билинейные формы (БФ). Определения, примеры. Теорема об однозначном представлении БФ в общем виде.

De nition. Билинейной формой (БФ) или функцией f (x; y) в вещественном линейном пространстве называется вещественно-значная функция, аргументами которой являются элементы этого пространства x; y 2 L, åñëè 8x; y; z 2 L è 8 2 R выполняется:

1.f (x + y; z) = f (x; z) + f (y; z)

2.f (x; y + z) = f (x; y) + f (x; z)

3.f ( x; y) = f (x; y)

4.f (x; y) = f (x; y).

De nition. БФ называется симметричной, если f (x; y) = f (y; x) и кососимметричной, если f (x; y) =

f (y; x).

Example. Скалярное произведение, заданное стандартным образом - симметричная БФ.

10

13Теорема о необходимом и достаточном условии симметрии БФ. Теорема о связи БФ в различных базисах. Ранг БФ.

Theorem. БФ симметрична , е¼ матрица в любом базисе симметричная.

Доказательство.

Необходимость:

f (x; y) = f (y; x) : По теореме об однозначном представлении БФ в общем виде: aij = aji.

Достаточность:

A = AT - симметричная.

9

Теорема о связи матриц БФ в различных базисах.

Theorem. Пусть Ln - вещественное линейное пространство и БФ в базисе e имеет матрицу Ae, а в базисе f - Af

Corollary. rgAe = rgAf

De nition. Рангом БФ называется ранг ее матрицы в любом базисе.

БФ называется вырожденной, если ее ранг меньше размерности пространства, и невырожденной, если ранг равен размерности пространства.

14Квадратичные формы (КФ). Определение, примеры. Теорема об однозначном представлении КФ в общем виде.

De nition. ÊÔ f (x; x) в вещественном линейном пространстве называется вещественно-значная функция аргумента x этого пространства, которое получается из симметричной БФ заменой y íà x.

При этом симметричная БФ f (x; y) называется полярной квадратичной формой.

f (x; y) = 12 [f (x + y; x + y) f (x; x) f (y; y)]

.

Теорема об общем виде КФ:

∑n

Theorem. ce = (e1; : : : ; en) - базис в Ln; f (x; y) - симметричная БФ. f (x; y) = aijxiyj

i;j=1

Тогда КФ, полученная из f (x; y) будет иметь общий вид:

De nition. Рангом КФ является ранг полярной к ней БФ.

()

15Виды КФ. Теорема о связи БФ, полярной к КФ, и скалярного произведения.

De nition. КФ называется положительно (отрицательно) определенной, если 8x =6 f (x; x) > 0 (f (x; x) < 0). КФ называется знакопеременной, если 9x;y f (x; x) > 0 è f (y; y) < 0.

КФ называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если

8x f (x; x) 0 (f (x; x) 0) è 9x0 =6 f (x0; x0) = 0

Theorem. ÁÔ f (x; y) ; полярная к положительно определенной КФ f (x; x), удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения в вещественном линейном пространстве.

Доказательство.

1.f (x; y) = f (y; x) - ò.ê. f (x; y) - полярная к КФ, т.е. симметричная

2.f (x + y; z) = f (x; z) + f (y; z) - по определению БФ

3.f ( x; y) = f (x; y) - по определению БФ

4.f (x; x) 0, f (x; x) = 0 , x = - по определению положительно определенной КФ.

10