Linal_Semestr_III

33Тензор. Типы тензоров. Примеры. Пространственные матрицы.

De nition. Говорят, что в линейном пространстве L размерности n задан тензор типа (p; q), если каждому

базису e из этого пространства ставится в соответствие упорядоченная система чисел ai1; ;ip

j1; jq , называемая

координатами тензора, которая при переходе от e ê e0 меняется по закону:

Из определения следует, что тензоры можно трактовать как ПФ, а ПФ - как тензоры.

De nition. Тензор типа (p; 0) - называется контравариантным, (0; q) - ковариантным, (p; q) (p > 0; q > 0) - смешанного типа.

Example.

1.(0; 0) - скалярная величина.

2.(1; 1) - линейный оператор.

a0ji = si asrurj .

De nition. p + q называется валентностью тензора.

Чтобы выписать все координаты тензора, нужно выписать пространственную матрицу. Порядок этой мат-

рицы равен размерности пространства, мерность равна валентности тензора. Количество элементов в матрице - np+q.

Элементы обозначаются следующим образом: сначала слева направо выписываются все верхние индексы, затем также дописываются нижние.

Например, для трехмерной матрицы: aijk.

Можно зафиксировать отдельный слой (матрицу n n элементов aijk) - k = k0 и выписать все слои в блочную матрицу: (aij1jaij2j jaijn).

Example. Трехмерная матрица порядка n = 2: (p = 1; q = 2).

34Линейные операции с тензорами. Теорема о множестве тензоров.

странство относительно операций сложения и умножения на число.

dim ( p;q) = np+q.

Доказательство. Рассмотрим базис e и тензоры, у которых только одна компонента равна 1, остальные нули. Таких тензоров np+q. Очевидно, система линейно независима и любой тензор представляется в виде линейной комбинации рассматриваемых тензоров.

21

35 Произведение тензоров. Теорема о линейной комбинации или произведений.

Theorem. Если каждому базису пространства в соответствие ставятся компоненты по формуле (1), то в этом пространстве задан тензор типа (p1 + p2; q1 + q2).

Доказательство. Возьмем A òèïà (1; 1) è B òèïà (0; 1)

a'ij = si asr urj , b0k = beuek.

c0ijk = a0ij b0k = si asr beuek = si (asr be) ursuek = si CrSe urs uek

Claim. Умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложеия.

Theorem. Любой тензор представляется в виде линейной комбинации произведений, в каждое из которых входит q векторов и p ковекторов.

Доказательство.

Рассмотрим для примера тензор C òèïà (2; 1) и базис e = (e1; ; en) в котором у тензора C123 = 1, à âñå

остальные компоненты равны нулю.

Рассмотрим ковекторы f2 = (0; 1; 0; )T è f3 = (0; 0; 1; 0; )T и вектор e1 = (1; 0; )T : Тогда f2 f3 e1 = C123 = 1. Все базисные тензоры представляются в виде произведений. Таким образом любой тензор можно представить в виде линейной комбинации произведений.

De nition. Тензор, определенный следующим образом называется сверткой по первому верхнему и последнему нижнему индексам.

Сверткой произведения тензоров называется свертка, у которой верхний индекс берется от одного тензора, нижний - от другого.

Example.

1.Рассмотрим произведение тензоров aij (1; 1) è xj (1; 0) yi = aijxj = ai1x1 + ai2x2 + + ainxn:

2.ai (0; 1) è xi (1; 0) :

c = aixi = a1x1 + a2x2 + + anxn:

37 Транспонирование

Рассмотрим s = p+ q - мерную матрицу, у которой зафиксированы все индексы, кроме двух. Тогда множество элементов этой матрицы образуют двумерный слой.

De nition. Транспонированием S-мерной матрицы по двум индексам называется такая перестановка элементов, в результате которой транспонирвуется е¼ каждый двумерный слой.

22

De nition. Транспонированием по множеству индексов называется результат последнего транспонирвоания по параметрам из этого множества.

Theorem. Пусть каждому базису поставлена в соответствие (p + q) - мерная матрица B с компонентами

Remark. Теорема показывает, что транспонирование имеет смысл проводить только по верхним или только по нижним индексам.

38 Симметрирование и альтернирование.

c есть тензор типа (p; q) è p S; S 2 .

De nition. Транспонированием по S индексам можно получить S! тензоров. Складываем эти тензоры и делим на S! Такая операция называется симметрированием.

по нижним индексам - аналогично.

De nition. Выберем группу индексов, пронумеруем от 1 до S. При транспонировании по какой-либо паре индексов получим перестановку 1; ; s . N ( 1; ; s) - число инверсий.

Сложим все тензоры, полученные при транспонировании по группе из S индексов, предварительно умноженные на ( 1)N( 1; ; n) для каждого тензора и поделим всю сумму на S! Операция называется альтернированием.

Example. a[ijjjk] = aijk akji

2!

De nition. Тензор называется симметричным по паре индексов, если результат его альтернирования равен нулю.

Тензор называется симметричным по группе индексов, если он симметричен по любой паре из этой группы. Тензор называется антисимметричным (кососимметричным) по паре индексов, если результат его сим-

метрирования по этой паре равен нулю, а при этом паре знак меняется на противоположный.

Тензор называется антисимметричным по группе индексов, если он антисимметричен по любой паре индексов из этой группы.

Свойства операции:

1.В результате симметрирования получаем симметричный тензор.

2.В результате альтернирования - антисимметричный.

23

Заключение

Редакция благодарит Дмитрия Дуплякина за рукописную версию лекций, а также Алексея Стукалова за забытый на турнире Компьютерная Физика 2008 в г. Протвино жесткий диск, с которого они были скопированы.

24