Linal_Semestr_III

16 Приведение КФ к каноническому виду методом Лагранжа.

Рассмотрим базис в Ln, в котором x имеет координаты ( 1; : : : ; n) и КФ преобразуется к виду

∑n

f (x; x) = i i2 (1)

i=1

De nition. Представление КФ в виде (1) называется каноническим разложением КФ f (x; x), а базис (f1; : : : ; fn), в котором КФ имеет канонический вид, называется каноническим.

Theorem. Любая КФ в вещественном линейном пространстве линейным преобразованием приводится к каноническому виду.

Доказательство.

Применим метод Лагранжа. cf (x; x) =6 0.

1. Åñëè a11 =6 0, то представив соответствующим образом векторы исходного базиса, получим тождественное преобразование.

2. Åñëè a11 = 0, но при квадрате другой координаты есть отличный от нуля коэффициент, то переставим базисные элементы.

Полагаем 2 = x2

: : :

n = xn

Результирующее преобразование является произведением всех полученных линейных преобразований при све-

дении к каноническому виду f (x; x) = 1 12 + n n2

17 Приведение КФ к каноническому виду методом Якоби

11

18 Закон инерции КФ.

Theorem. Число положительных и отрицательных коэффициентов в каноническом виде КФ не зависит от способа приведения КФ к этому виду.

Доказательство.

Рассмотрим КФ в вещественном линейном пространстве, rgÊÔ = r.

cx 2 L, x = ∑n xiei = ∑n yifi. e; f - базисы, [x]e = (x1; ; xn)T ; [x]f = (y1; ; yn)T .

i=1 i=1

cp è q - количество положительных коэффициентов в канонических видах в базисах e è f соответственно. Докажем, что p = q.

Âбазисе e : f (x; x) = a1x21 + a2x22 + + apx2p bp+1x2p+1 brx2r

Âf: f (x; x) = a01y12 + a02y22 + + a0qyq2 b0q+1yq+1 b0ryr2.

Доказательство проводим от противного:

1.cp > q. Рассмотрим два подпространства: L1 = L (e1; ; ep) è L2 = L (fq+1; ; fr) dim(L1 \ L2) =dimL1+dimL2 dim(L1 + L2)

dimL1 = p; dimL2 = n q; dim(L1 + L2) n . Ò.ê. p > q; òî dim(L1 \ L2) > 0.

Возьмем x0 =6 ; x0 2 (L1 \ L2) : Тогда x0 = 1e1 + + pep = q+1fq+1 + + rfr. f (x0; x0) > 0 - по разложению в базисе e è f (x0; x0) < 0 - по разложению в базисе f. Противоречие - p q.

2. Аналогично приходим к тому, что p q.

p = q

12

19Необходимые и достаточные условия знакоопределенности, знакопеременности и полуопределенности КФ.

De nition. p - число положительных коэффициентов в каноническом разложении КФ, называется положи-

тельным индексом инерции.

q - число отрицательных коэффициентов, отрицательный индекс инерции. S = p q - сигнатура КФ.

Claim. Свойство индексов инерции p + q = r.

Необходимое и достаточное условие знакоопределенности:

Theorem. Для того, чтобы КФ в вещественной линейном пространстве размерности n была положительно (отрицательно) определенной необходимо и достаточно, чтобы p = n (q = n).

Доказательство.

Необходимость:

crgÊÔ = r и в некотором каноническом базисе: f (x; x) = 12 + 22 + + p2 p2+1 r2; ãäå

[x]e = ( 1; 2; ; n)T .

Случай отрицательно определенной формы - аналогично.

Достаточность:

cp = n. f (x; x) = 12 + + n2 : Очевидно f (x; x) = 0 , x = . Пришли к тому, что форма положительно определенная.

Необходимое и достаточное условие знакопеременности КФ:

Theorem. КФ является знакопеременной, если p > 0 è q > 0

Доказательство.

Необходимость:

Должны быть положительные и отрицательные коэффициенты )p > 0 è q > 0.

Форма - знакопеременная

Необходимое и достаточное условие знакопеременности

Theorem. КФ положительно (отрицательно) полуопределена , p < n; q = 0 (q < n; p = 0).

Доказательство. Докажем для случая положительно полуопределенной квадратичной формы. Необходимость:

8x =6 0 f (x; x) 0 è 9x0 =6 0 f (x0; x0) = 0.

В таком случае в каноническом разложении отсутствуют отрицательный коэффициента и p < n.

20 Критерий Сильвестра.

13

Критерий Сильвестра

Theorem. Квадратичная форма положительно определенная , i > 0 8i = 1; n: Квадратичная форма отрицательно определенная , i ( 1)i > 0 8i = 1; n:

Доказательство.

Докажем для положительно определенной: Необходимость: f (x; x) > 0 8x =6 ) i > 0 8i = 1; n. От противного: c k = 0

Т.к. КФ положительно определенная, то все k > 0 8k = 1; n. Достаточность:

c i > 0 8i = 1; n. По методу Якоби все канонические коэффициенты больше нуля. КФ - положительно определенная.

21 БФ и КФ в комплексном пространстве.

cUn - комплексное пространство.

De nition. Функция f (x; y) - комплекснозначная, аргументы которой x; y 2 Un, называется полуторолиней- ной формой, если 8x; y 2 Un è 8 2 C.

1.f (x + y; z) = f (x; z) + f (y; z)

2.f (x; y + z) = f (x; y) + f (x; z)

3.f ( x; y) = f (x; y)

4.f (x; y) = f (x; y)

De nition. Полуторолинейная форма называется эрмитовой, если f (x; y) = f (y; x).

f (x; y) = [x]Te Ae[y]e = [y]Te ATe [x]e.

Theorem. Af = PeT!f AePe!f .

[]

Достаточность:

В обратном порядке.

14

De nition. Эрмитовой КФ называется вещественнозначная функция f (x; x) ; x 2 Un, которая получается из эрмитовой полуторолинейной формы f (x; y) заменой y íà x.

Эрмитова КФ обладает аналогичными свойствами, что и КФ в вещественном линейном пространстве:

∑n

f (x; x) aijxixj - общий вид

i;j=1

f (x; x) = ∑r i jxij2, - ãäå r - ранг КФ в каноническом виде.

i=1

i - вещественные канонические коэффициенты.

22БФ и КФ в вещественном евклидовом пространстве. Теорема о представимости БФ в евклидовом пространстве.

Доказательство.

Зафиксируем y. Тогда существует единственный элемент h 2 "n такой, что f (x; y) = (x; h) :

Ставя каждому h в соответствие y, получим преобразование h = 'y - линейное (из свойств линейности

скалярного произведения и БФ).

Единственность c9'; : "n ! "n (x; 'y) (x; y) ) 'y = y ) ' = :

Corollary. f (x; y) - ÁÔ â "n; тогда существует единственный линейный оператор ' такой, что f (x; y) = ('x; y).

23Теорема о связи матриц БФ и линейного оператора в ортонормированном базисе. Теорема о необходимом и достаточном условии симметричности БФ в евклидовом пространстве.

Theorem. f (x; y) - БФ в вещественном линейном пространстве, A = jjaijjj - е¼ матрица, aij = f (ei; ej).

Theorem. ÁÔ f (x; y) â "n является симметричной , ' : "n ! "n из равенства f (x; y) = ('x; y) является симметричным.

Доказательство.

Необходимость:

f (x; y) ) f (y; x) ) ('x; y) = ('y; x) = (x; 'y) )' - самосопряженный.

Достаточность:

В обратном порядке.

24Приведение КФ к сумме квадратов в ортонормированном базисе.

15

Доказательство. Доказано, что существует ' : "n ! "n такой, что f (x; x) = ('x; y).

БФ симметричная , ' - самосопряженный. Отсюда для ' существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов ', в котором ' имеет диагональную матрицу.

Схема приведения КФ к каноническому виду:

1.Выписываем матрицу КФ и находим собственные значения

2.Находим ортонормированный базис из собственных векторов

3.f (x0 ; x0 ) = ∑n i (x0i)2.

i=1

Выписываем элементы базиса в Pe!e0 по столбцам.

25Теорема об одновременном приведении двух КФ к канониче- скому виду.

Theorem. cf (x; y) ; g (x; y) - симметричные БФ, и g (x; x) - положительно определенная.

Тогда существует базис e = (e1; en) ; в котором формы f (x; x) è g (x; x) имеют следующий вид:

Схема приведения двух КФ к квадратичному виду:

26Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве. Инварианты гиперповерхности.

cf (x; x) - ненулевая КФ в "n, g (x) - линейная форма в "n è C - вещественная константа .

De nition. Множество векторов x 2 "n, удовлетворяющих условию

f (x; x) + 2g (x) + C = 0 (1)