Линал.Расчетная работа 1(2 курс)

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА"

Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы

САМАРА 2009

1.7.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5

Предисловие

Впредложенном учебном пособии в краткой форме изложены необходимые теоретические сведения по теории линейных отображений. Данный раздел линейной алгебры является базовым для всего курса данной дисциплины.

Вконце пособия приведены индивидуальные задания, которые помогут получить навыки решения задач по теории линейных операторов.

Авторы благодарят студентов факультета информатики Бороданова М.С.

иСилакову М.В. за участие в подготовке пособия, а также обращается к читателям с просьбой направлять свои отзывы о данной методической работе на кафедру прикладной математики СГАУ. Все критические замечания будут рассмотрены и по возможности учтены при следующих изданиях.

6

1. Линейные операторы в линейных пространствах

1.1 Определение и простейшие свойства

Пусть Ln и Lm линейные пространства размерности m и n соответственно. Оператором, действующим из Ln в Lm, называется отображение вида

' : Ln ! Lm, которое каждому элементу x 2 Ln ставит в соответствие эле-

мент y 2 Lm.

Обозначения: '(x) = y; 'x = y,

где y – образ элемента x, а x – прообраз элемента y.

Оператор называется линейным, если 8x1; x2 2 Ln; 8¸ 2 R(C) выполняются соотношения:

1)'(x1 + x2) = '(x1) + '(x2);

2)'(¸(x1)) = ¸'(x1):

Если Lm представляет собой множество R(C), то линейный оператор называют линейным функционалом или линейной формой.

Обозначение: f(x).

Линейный оператор, действующий из Ln в Lm, иногда называют линейным отображением.

Если пространство Lm совпадает с пространством Ln, то линейный оператор ' : Ln ! Ln называют линейным преобразованием пространства Ln.

Два оператора ' и Ã называются равными, если

'(x) = Ã(x); 8x 2 Ln:

Примеры линейных операторов.

1.Оператор (преобразование) " : Ln ! Ln, который каждый элемент

x 2 Ln переводит в x, является линейным и называется тождественным оператором.

2.Оператор £ : Ln ! Lm, который каждый элемент x 2 Ln переводит в нулевой элемент µ 2 Lm, является линейным и называется нулевым оператором.

3.Пусть Pn – пространство вещественных многочленов степени не выше n. Оператор ' : Pn ! Pn¡1, определенный правилом '(p(x)) = p0(x), где p(x) 2 Pn, является линейным и называется оператором дифференцирования.

4.Изоморфизм ' линейных пространств Ln и L0n является линейным оператором, действующим из Ln в L0n.

7

5.Растяжение (сжатие) элементов пространства Ln в одно и то же число ® раз является оператором в пространстве Ln. Такой оператор называется

оператором подобия: Ã : Ln ! Ln; Ãx = ®x; x 2 Ln.

Простейшие свойства линейного оператора.

Из определения вытекают следующие свойства линейных операторов.

1. Линейный оператор переводит нулевой элемент в нулевой элемент:

'(µ1) = '(0 ¢ x) = 0 ¢ '(x) = µ2; µ1 2 Ln; µ2 2 Lm:

2.Линейный оператор сохраняет линейную комбинацию, т.е. переводит линейную комбинацию элементов в линейную комбинацию образов с теми же коэффициентами:

3.Линейный оператор переводит линейно зависимую систему элементов в линейно зависимую.

Задание линейного оператора.

Свойство 2± говорит о том, что для задания линейного оператора

Теорема 1. Пусть e1; e2; ¢ ¢ ¢ ; en – базис линейного пространства Ln, а g1; g2; ¢ ¢ ¢ ; gn – произвольные элемены линейного пространства Lm. Тогда существует единственный оператор ' : Ln ! Lm, который переводит элементы e1; e2; ¢ ¢ ¢ ; en линейного пространства Ln в элементы g1; g2; ¢ ¢ ¢ ; gn линейного пространства Lm соответственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим искомый оператор, положив для

P

n

каждого элемента x = xiei 2 Ln

i=1

8

Из единственности разложения элемента x по базису следует, что правило

(1) однозначно оределяет образ элемента x, при этом, как легко проверить,

'ei = gi; i = 1; 2; : : : ; n:

Линейность построенного оператора вытекает из линейности координат. Оператор ' единственный, так как если Ã любой другой линейный оператор, пе-

реводящий элемены e1; e2; : : : ; en в g1; g2; : : : ; gn, то

Ãx = Ã(Pn xiei) = Pn xiÃei = Pn xigi = 'x; 8x 2 Ln ) ' = Ã. ¤

Следствие. Два оператора '; Ã : Ln ! Lm равны тогда и только тогда, когда они одинаково определены на элементах базиса Ln.

1.2 Матрица линейного оператора

Пусть e1; e2; ¢ ¢ ¢ ; en – базис линейного пространства Ln, а f1; f2; ¢ ¢ ¢ ; fm – базис линейного пространства Lm.

По теореме из предыдущего параграфа оператор ' : Ln ! Lm однозначно определяется заданием элементов '(e1); '(e2); ¢ ¢ ¢ ; '(en), которые однозначно определяются своими координатами в базисе f, т.е. коэффициентами разло-

называется матрицей оператора ' в паре базисов e и f.

Координаты элемента и его образа.

Пусть ' : Ln ! Lm и e1; e2; ¢ ¢ ¢ ; en – базис линейного пространства Ln, а f1; f2; ¢ ¢ ¢ ; fm – базис линейного пространства Lm.

Теорема 2. Если y = 'x, то справедливо равенство

Xn

yi = aijxj; i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; m:

j=1

9

i=1 j=1

Из единственности разложения элемента y по базису f следует (3).

П р и м е р 1. Пусть ' : P1 ! P2;

'(p(x)) = (x + 1)p(x);

e1 = 1; e2 = x; f1 = 1; f2 = x; f3 = x2.

Найти:

Матрицы оператора в различных базисах.

Пусть e и e0 = e¢Pe!e0 – два базиса в пространстве Ln с матрицей перехода Pe!e0, а f и f0 = f ¢Pf!f0 – два базиса пространства Lm с матрицей перехода

Pf!f0.

Одному и тому же оператору ' : Ln ! Lm в паре базисов e и f соответствует матрица [']fe, а в паре базисов e0 и f0 соответствует матрица [']f0e0.

Теорема 3. Матрицы линейного оператора в различных парах базисов связаны соотношением

10