Линал.Расчетная работа 1(2 курс)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольного элемента x 2 Ln и его образа y = 'x в силу yf = [']fexe имеем

В свою очередь,

xe = Pe!e0xe0; yf = Pf!f0yf0:

Подставив эти соотношения в (5), получим, что

Pf!f0yf0 = [']fePe!e0xe0

или

Pf!f0[']f0e0xe0 = [']fePe!e0xe0:

Так как это соотношение имеет место для любого xe0, то

Pf!f0[']f0e0 = [']fePe!e0:

В силу невырожденности матрицы перехода отсюда следует (4). ¤

Две прямоугольные одного размера матрицы A и B называются эквивалентными, если существуют такие две невырожденные матрицы Q и P , что

B = Q¡1AP:

Следствие 1. Матрицы линейного операторав в различных парах базисов являются эквивалентными.

Следствие 2. Ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора базисов.

Следствие 3. Если оператор действует в одном пространстве (является преобразованием), то формула (4) будет иметь вид

[']e0 = Pe¡!1e0[']ePe!e0:

Две квадратные матрицы A и B одинаковых размеров называются подобными, если существует невырожденная матрица P , такая что справедливо

равенство

B = P ¡1AP:

Теорема 5. Определители подобных матриц равны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если матрицы A и B подобны, то согласно определению существует такая невырожденная матрица P , что B = P ¡1AP .

Учитывая свойства определителя, получаем det(B) = det(P ¡1AP ) = det(P ¡1) det(A) det(P ) = det(P ¡1P ) det(A) = det(A): ¤

Следствие 4. Матрицы линейного преобразования в различных базисах имеют равные определители.

11

1.3 Линейное пространство линейных операторов

Обозначим L(Ln; Lm) множество линейных операторов, действующих из

Ln в Lm.

Суммой линейных операторов '; Ã 2 L(Ln; Lm) будем называть оператор ' + Ã : Ln ! Lm, определяемый формулой

Произведением линейного оператора ' 2 L(Ln; Lm) на число ® 2 R(C)

будем называть оператор ®' : Ln ! Lm, такой что

(®')x = ®'x; 8x 2 Ln:

Теорема 6. Для любых операторов '; Ã 2 L(Ln; Lm) и числа ® 2 R(C)

' + Ã 2 L(Ln; Lm); ®' 2 L(Ln; Lm):

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для 8x; y 2 Ln согласно (6) Имеем

(' + Ã)(x + y) = '(x + y) + Ã(x + y):

В силу линейности '; Ã и аксиом линейного пространства

('+Ã)(x+y) = ('x+'y)+(Ãx+Ãy) = ('x+Ãx)+('y+Ãy) = ('+Ã)x+('+Ã)y:

Для 8x 2 Ln; ¸ 2 R(C)

(' + Ã)(¸x) = ¸((' + Ã)x) ) ' + Ã 2 L(Ln; Lm). Аналогично доказывается, что ®' 2 L(Ln; Lm). ¤

Теорема 7. Множество линейных операторов L(Ln; Lm) является линейным пространством относительно введенных выше операций.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно проверить аксиомы линейного пространства, взяв в качестве нулевого элемента нулевое отображение

O 2 L(Ln; Lm), а в качестве противоположного к оператору ' отображение ¡' 2 L(Ln; Lm), выполняемое по правилу

(¡')x = ¡'x; 8x 2 Ln:

Все аксиомы вытекают из соответствующих аксиом линейного пространства, примененных к Ln и Lm и проверяются по единой схеме.

Проверим, например, коммутативность. Для 8'; Ã 2 L(Ln; Lm) и 8x 2 Ln

(' + Ã)x = 'x + Ãx = Ãx + 'x; (Ã + ')x = Ãx + 'x.

Таким образом, Ã + ' = ' + Ã. ¤

12

Теорема 8. Если dim(Ln) = n, а dim(Lm) = m, то линейное пространство операторов L(Ln; Lm) изоморфно пространству матриц Rm£n(Cm£n).

Следствие. dim L(Ln; Lm) = dim(Ln) ¢ dim(Lm):

Замечание. Так как линейное пространство линейных операторов L(Ln; Lm) изоморфно пространству матриц Rm£n(Cm£n), то при сложении линейных операторов их матрицы складываются, а при умножении линейного оператора на число его матрица умножается на это же число.

1.4 Умножение линейных операторов

Пусть ' : Ln ! Lm и Ã : Lm ! Lk.

Произведением линейных операторов '; Ã будем называть оператор Ã' : Ln ! Lk, действующий по следующему правилу

(Ã')x = Ã('(x)); 8x 2 Ln:

Теорема 9. Если ' 2 L(Ln; Lm) и Ã 2 L(Lm; Lk), то Ã' 2 L(Ln; Lk).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для 8x; y 2 Ln; ® 2 R(C)

(Ã')(x + y) = Ã('(x + y)) = Ã('x + 'y) = Ã('x) + Ã('y) = (Ã')x + (Ã')y;

(Ã')(®x) = Ã('(®x)) = Ã(®('x) = ®Ã('x) = ®(Ã')x. ¤

Свойства произведения линейных операторов.

Произведение линейных операторов определено не для любой пары линейных операторов. Однако, если это произведение имеет смысл, то:

1.®('Ã) = (®')à = '(®Ã); 8® 2 R(C):

2.(' + Ã)» = '» + û: '(à + ») = 'à + '».

3.('Ã)» = '(û).

До к а з а т е л ь с т в о.

1.Следует из определения линейного оператора на скаляр и определения произведения операторов.

2.((' + Ã)»)x = (' + Ã)(»x) = '(»x) + Ã(»x) = ('»)x + (û)x = ('» + û)x.

3.Согласно определению произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому операторы ('Ã)» и '(û) совпадают и, следовательно, тождественны.

Умножение линейных операторов не обладает свойством коммутативности. В самом деле, о коммутативности можно говорить лишь для линейных преобразований. Но и в этом случае умножение не коммутативно.

13

Теорема 10. При умножении линейных операторов их матрицы умножаются, т. е. если e; f; g – базисы пространств Ln; Lm; Lk соответственно и ' : Ln ! Lm; Ã : Lm ! Lk, то

1.5 Обратный оператор

Пусть ' 2 L(Ln; Ln).

Отображение '¡1 : Ln ! Ln называется обратным оператором к оператору ', если

где " – тождественный оператор.

Из определения обратного оператора '¡1 следует, что для 8x 2 Ln спра-

ведливо соотношение

'¡1'x = x:

Таким образом, если '¡1'x = µ, то x = µ, т.е., если оператор имеет обратный, то из условия 'x = µ следует, что x = µ.

Теорема 11. Для того, чтобы линейный оператор ' 2 L(Ln; Ln) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из Ln в Ln.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть ' имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из Ln в Ln. Это означает, что некоторым различным элементам x1 и x2, x2 ¡ x1 6= µ 2 Ln отвечает один и тот же элемент y = 'x1 = 'x2. Но тогда '(x2 ¡ x1) = µ и поскольку ' имеет обратный,

x2 ¡ x1 = µ. Но выше было отмечено, что x2 ¡ x1 =6 µ. Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.

Достаточность. Допустим ' действует взаимно однозначно из Ln в Ln. Тогда

14

каждому элементу y 2 Ln отвечает элемент x 2 Ln : y = 'x.

Поэтому имеется оператор '¡1, обладающий тем свойством, что

'¡1y = '¡1('x) = x.

Легко убедиться, что '¡1 линейный. Пусть 8y1; y2 2 Ln; 9x1; x2 2 Ln :

y1 = 'x1, y2 = 'x2, при этом x1 = '¡1y1, x2 = '¡1y2.

Отсюда получим, что '¡1(y1 + y2) = '¡1('x1 + 'x2) = '¡1'(x1 + x2) = x1 + x2 = '¡1y1 + '¡1y2.

Аналогично '¡1(®y1) = '¡1(®'x1) = '¡1'(®x1) = ®x1 = ®'¡1y1,

8® 2 R(C). ¤

Теорема 12. Матрица обратного оператора '¡1 в произвольном базисе является обратной к матрице оператора ' в этом же базисе.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть e – произвольный базис пространства Ln и для оператора ' 2 L(Ln; Ln) существует обратный оператор '¡1. Перейдем в равенствах (9) к матрицам операторов в базисе e. Согласно теореме 10, получим, что [']e['¡1]e = ['¡1]e[']e = E. Эти равенства совпадают с определением обратной матрицы для [']e. ¤

1.6 Образ и ядро линейного оператора

Образом линейного оператора ' : Ln ! Lm называется множество всех элементов y 2 Lm, представляемых в виде y = '(x); x 2 Ln.

Обозначение: im '.

Ядром линейного оператора ' : Ln ! Lm называется множество всех элементов x 2 Ln, для которых '(x) = µ; µ 2 Lm.

Обозначение: ker '.

Теорема 13. Если ' 2 L(Ln; Lm), то im ' – линейное подпространство Ln; ker ' – линейное подпространство Lm.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Докажем, что im ' – линейное подпространство Ln. Так как y1 2 im '; y2 2 im ' ) 9x1; x2 2 Ln, что y1 = 'x1; y2 = 'x2,

y1 + y2 = 'x1 + 'x2 = '(x1 + x2); ¸y1 = ¸('x1) = '(¸x1):

2. Докажем, что ker ' – линейное подпространство Lm. x1 2 ker '; 'x1 = µ; x2 2 ker '; 'x2 = µ.

'(x1 + x2) = 'x1 + 'x2 = µ + µ = µ;

'(¸x1) = ¸'(x1) = ¸µ = µ: ¤

Число dim(im ') = rg ' называется рангом линейного оператора, а dim(ker') = defekt ' называется дефектом линейного оператора.

15

Нулевой оператор £x = µ и тождественный оператор "x = x являются предельными с точки зрения дефекта и ранга. Нулевой оператор имеет максимальный дефект равный размерности пространства, в котором этот оператор действует и минимальный ранг. Тождественный оператор имеет минимальный дефект (нулевой) и максимальный ранг равный размерности пространства, в котором этот оператор действует.

Оператор максимального дефекта определен однозначно, а операторов минимального дефекта и максимального ранга бесконечно много.

Теорема 14. Пусть ' : Ln ! Lm. Если e1; e2; ¢ ¢ ¢ ; en – базис в Ln, то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что для множеств (10) имеет место двусторонние вложение:

с одной стороны, если y 2 im ', то y = 'x для некоторого элемента x 2 Ln, т.е. y = '(Pn xiei) = Pn xi'ei 2 L('e1; 'e2; : : : ; 'en);

Теорема 15. Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в произвольной паре базисов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 14 и dim L(x; y; : : : ; z) = rg(x; y; : : : ; z)

следует, что rg' = dim im ' = dim L('e1; 'e2; : : : ; 'en) = rg('e1; 'e2; : : : ; 'en). Ранг системы элементов 'e1; 'e2; : : : ; 'en совпадает с рангом системы элемен-

тов, состоящих из координат этих элементов в базисе f пространства Lm, т.е. с рангом системы столбцов матрицы [']fe. ¤

Теорема 16. Если ' 2 L(Ln; Lm), то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть e1; e2; : : : ; ek – базис ker '. Дополним его до базиса e1; e2; : : : ; ek; ek+1; : : : ; en пространства Ln. Согласно теореме 14

im ' = L('e1; 'e2; ¢ ¢ ¢ ; 'ek) = L('ek+1; 'ek+2; ¢ ¢ ¢ ; 'en).

Докажем, что элементы 'ek+1; 'ek+2; ¢ ¢ ¢ ; 'en линейно независимы. Пусть это не так. Тогда для нетривиальной линейной комбинации этих элементов имеет место соотношение

®k+1'ek+1 + : : : + ®n'en = µ;

'(®k+1ek+1 + : : : + ®nen) = µ:

16

Следовательно, ®k+1ek+1 + : : : + ®nen 2 ker '. Это означает, что элемент

®k+1ek+1 +: : :+®nen линейно выражается через e1; e2; : : : ; ek, что невозможно в силу линейной независимости e1; e2; : : : ; ek; ek+1; : : : ; en.

Таким образом, dim im ' = n ¡ k, dim ker ' = k. Отсюда следует (11). ¤

П р и м е р 2. Для линейного преобразования

'x = (x1 ¡ x2 + x3; x2 + 2x3; x1 + 3x3)T ; x = (x1; x2; x3)T :

Найти:

1)[']e; e1 = (1 0 0)T ; e2 = (0 1 0)T ; e3 = (0 0 1)T ;

2)defekt '; rg ';

3)ker '; im ';

4)базисы ядра и образа.

3.Согласно теореме 14 im ' = L('e1; 'e2; 'e3). Это означает, что im ' совпадает с линейной оболочкой системы столбцов матрицы [']e и, следовательно, за базис im ' можно взять любой из базисов системы столбцов матрицы [']e, например, a1; a2, получим, что im ' = L(a1; a2).

Аналогично, x 2 ker ' в том и только в том случае, когда '(x) = µ или в координатной форме

17

Отсюда следует, что ker ' совпадает с подпространством решений однородной системы (12), и в качестве базиса в ker ' может быть выбрана фундаментальная система решений уравнений (12). Найдем решение.

1.7 Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Характеристический многочлен.

Для произвольной матрицы A 2 Rn£n рассмотрим

Относительно переменной ¸ этот определитель является многочленом степени n и может быть записан в виде

Многочлен f(¸) = det(A ¡ ¸E) называется характеристическим многочленом матрицы A, а уравнение f(¸) = 0 – характеристическим уравнением матрицы A,

®0 = f(0) = det A;

®n¡1 = a11 + a22 + : : : + ann = trA:

Теорема 17. Характеристические многочлены (уравнения) подобных матриц совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A и B подобные матрицы, т. е. B = P ¡1AP , тогда в силу свойств определителей имеем

fB(¸) = det(B ¡ ¸E) = det(P ¡1AP ¡ ¸P ¡1EP ) = det(P ¡1(A ¡ ¸E)P ) = = det P ¡1 det(A ¡ ¸E) det P = det(A ¡ ¸E) = fA(¸): ¤

18

Рассмотрим линейный оператор (преобразование) ' 2 L(Ln ! Ln) и тождественный оператор " 2 L(Ln ! Ln).

Характеристическим многочленом оператора называется функция

f(¸) = det(' ¡ ¸"); ¸ 2 R:

Так как det ' = det[']e, где e – базис в Ln, то характеристический многочлен оператора совпадает с характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе. При этом коэффициенты ®k характеристического многочлена, представляемого в виде (13), также не связаны с использованным базисом, т.е. являются инвариантами относительно выбора базиса.

Уравнение det(' ¡ ¸") = 0 называется характеристическим уравнением оператора '.

Пусть L0 – подпространство n-мерного линейного пространства Ln и

' 2 L(Ln; Ln).

Линейное подпространство L0 пространства Ln называется инвариантным подпространством относительно оператора ', если для 8x 2 L0 его образ 'x 2 L0.

Примеры инвариантных подпространств.

1.Тривиальные подпространства fµg и Ln инвариантны относительно любого оператора ' 2 L(Ln; Ln).

2.Для любого линейного оператора ' инвариантными подпространствами будут ker ' и im ', так как если 'x = µ, то '('x) = 'µ = µ и если y = 'x, то 'y = '('x) = 'x1, где x1 = 'x.

При этом элемент x называется собственным вектором оператора '. Множество всех собственных значений линейного оператора называется

спектром линейного оператора.

1.Каждый собственный вектор связан со своим собственным значением.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если x одновременно удовлетворяет двум равенствам 'x = ¸x и 'x = ¹x, то

¸x = ¹x ) (¸ ¡ ¹)x = µ ) x = µ;

что противоречит определению собственного вектора, так как собственный вектор всегда ненулевой. ¤

19

2.Каждому собственному значению соответствуют свои собственные векторы, причем таких бесконечно много.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если x – собственный вектор линейного оператора ' с собственным значением ¸, т.е. 'x = ¸x, то для

8® 2 R n f0g имеем ®x 6= µ и

'(®x) = ®('(x)) = ®¸x = ¸(®x):

Значит, и вектор ®x является для линейного оператора собственным.

¤

Теорема 18. Число ¸ является собственным значением линейного оператора ' 2 L(Ln; Ln) тогда и только тогда, когда оно является корнем его характеристического уравнения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть ¸ – собственное значение оператора ',

x – собственный вектор, отвечающий этому ¸(x =6 µ). Перепишем соотношение (14) в следующем виде

(' ¡ ¸")x = µ;

где " 2 L(Ln; Ln) – тождественный оператор.

Так как x 6= µ ) ker (' ¡ ¸") 6= µ, т.е. dim(ker (' ¡ ¸")) ¸ 1, а так как

dim(im(' ¡ ¸")) + dim(ker (' ¡ ¸")) = n;

rg(' ¡ ¸") + def(' ¡ ¸") = n;

то rg(' ¡ ¸") < n, т.е. det(' ¡ ¸") = 0 и ) ¸ – корень характеристического уравнения.

Достаточность. Легко убедиться, что приведенные рассуждения можно провести в обратном порядке. ¤

Следствие. Каждые линейный оператор имеет собственное значение. Действительно, характеристическое уравнение всегда имеет корень (в силу основной теоремы алгебры).

Алгебраической кратностью собственного значения оператора будем называть кратность соответствующего корня характеристического уравнения этого оператора.

Собственное подпространство линейного оператора.

Не следует путать два термина: собственное подпространство и собственное подпространство линейного оператора.

Множество всех собственных векторов, отвечающих данному собственному значению линейного оператора, не является линейным подпространством, так как это множество не содержит µ вектора, который по определению не

20