Линал.Расчетная работа 1(2 курс)

2. Линейные операторы в евклидовых (унитарных) пространствах

2.1 Сопряженный оператор

Линейный оператор '¤ : Em ! En(Um ! Un) называют сопряженным

данному оператору ' : En ! Em(Un ! Um), если для 8x 2 En(Un); 8y 2 Em(Um); 8® 2 C выполняется равенство

Из определения сопряженного оператора вытекают следующие его

свойства:

1.('¤)¤ = ';

2.(' + Ã)¤ = '¤ + ä;

3.('Ã)¤ = ä'¤;

4.(®')¤ = ®'¹ ¤;

5.('¤)¡1 = ('¡1)¤ (если ' является преобразованием).

Все свойства доказываются однотипно.

Докажем, например, свойство 3: согласно определению произведения операторов и определения сопряженного оператора получаем

(('Ã)x; y) = (('(Ãx); y) = (Ãx; '¤y) = (x; (ä'¤)y):

Выясним, как связаны матрицы операторов ' и '¤ в базисе e в вещественном евклидовом пространстве.

Обозначим соответственно матрицы этих операторов [']e = A и ['¤]e = A¤ и пусть для 8x; y 2 En(Un) xe; ye – координатные столбцы векторов x; y в

Так как xe; ye – произвольные столбцы, отсюда можно заключить, что

AT ¡ ¡ ¡A¤ = O;

где O – нулевая матрица.

31

Итак, матрицы операторов ' и '¤ в базисе e связаны соотношением

В унитарном пространстве, где (x; y) = xTe ¡¹ye, формулы (25) и (26) соот-

ветственно примут вид

A¤ = ¡¡1AT ¡;

A¤ = A¹T :

Теорема 26. Каждый линейный оператор в евклидовом пространстве имеет сопряженный оператор, и притом только один.

П р и м е р 6. В трёхмерном евклидовом E3 пространстве выбран ортонормированный базис e1; e2; e3. Найти преобразование '¤, сопряжённое преобразованию ' пространства E3, если преобразование ', задано формулой

'(x) = [a; x];

где a - фиксированный вектор из E3, [a; x] - векторное произведение векторов a и x.

Решение. По определению сопряженного оператора

('x; y) = ([a; x]; y) = axy = xya = (x; ¡[a; y]) = (x; '¤y) ) '¤ = ¡'.

32

Областью значений '¤ является подпространство, ортогональное к ядру оператора '. Это следует из того, что 8x 2 ker '; 8y 2 im'

(x; '¤y) = ('x; y) = (0; y) = 0;

т.е. '¤y?x.

Основное свойство сопряженного оператора.

Если некоторое подпространство H инвариантно относительно оператора ', то ортогональное дополнение H? этого подпространства инвариантно относительно сопряженного оператора '¤.

Свойства собственных значений и собственных векторов сопряженного оператора.

1.Характеристические многочлены, а, следовательно, и собственные значения сопряженных операторов в вещественном евклидовом пространстве одинаковы. В комплексном пространстве собственные значения сопряженных операторов являются комплексно сопряженными числами.

2.Каждый собственный вектор сопряженного оператора '¤ ортогонален ко всем собственным векторам оператора ', принадлежащим другим собственным значениям.

2.2Нормальный оператор

Линейный оператор ' : Em ! En(Um ! Un) называют нормальным, если он перестановочен со своим сопряженным оператором '¤, т.е. если

'¤' = ''¤: (26)

Квадратная матрица A называется нормальной матрицей, если A¤A = AA¤.

Из определения и связи матриц операторов ' и '¤, рассмотренных в пункте 2.1, следует

Теорема 27. Оператор нормален тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе его матрица нормальна.

Теорема 28. Собственный вектор нормального оператора, отвечающий собственному значению ¸, является собственным вектором сопряженного

¹

оператора, отвечающим собственному значению ¸.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что если ' – нормальный оператор, то ' ¡ ¸" также нормален.

Пусть теперь x – собственный вектор оператора ', отвечающий собственному значению ¸, тогда (' ¡ ¸")x = µ и ((' ¡ ¸")x; (' ¡ ¸")x) = 0.

33

Согласно определению сопряженного оператора можем записать, что

(x; (' ¡ ¸")¤(' ¡ ¸")x) = 0

или, с учетом нормальности оператора ' ¡ ¸", что

(x; (' ¡ ¸")(' ¡ ¸")¤x) = 0;

т.е.

(' ¡ ¸")¤x; ((' ¡ ¸")¤x) = 0

и (' ¡ ¸")¤x = µ.

Отсюда в силу свойств сопряженного оператора следует, что

¤ ¹

(' ¡ ¸") = µ;

¤ ¹

т.е. ' x = ¸x. ¤

Следствие 1. Если ' – нормальный оператор, то ker ' = ker '¤, так как нетривиальные векторы ядра являются собственными векторами, отвечающими нулевому собственному значению.

Следствие 2. Если ' – нормальный оператор, то ker ' = im?'. Это следует из ker ' = im?'¤ и предыдущего следствия.

Теорема 29. Собственные векторы нормального оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.

2.3 Ортогональный (унитарный) оператор

Линейный оператор ' : En ! En(Un ! Un) называется ортогональным (унитарным), если он сохраняет скалярное произведение в En(Un), т.е. для 8x; y 2 En(Un) выполняется равенство

('x; 'y) = (x; y):

Полагая в этом равенстве x = y, получаем j'xj2 = jxj2. Это означает, что ортогональный (унитарный) оператор сохраняет длины векторов.

Теорема 30. Ортогональный (унитарный) оператор ' переводит любой ортонормированный базис En(Un) в ортонормированный базис.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть e = (e1; e2; : : : ; en) – произвольный ортонормированный базис в En(Un). В силу ортогональности оператора ' имеем

Видим, что различные векторы 'ei и 'ej ортогональны, а длина каждого из них равна единице. Поэтому система векторов 'e = ('e1; 'e2; : : : ; 'en) состоит из ненулевых векторов и ортогональна. Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. Количество векторов в линейно независимой системе 'e равно размерности пространства En(Un), т.е. dim En = n ) эта система является базисом, притом ортонормированным. ¤

34

Теорема 31. Если линейный оператор ' : En ! En(Un ! Un) переводит какой-либо ортонормированный базис e = (e1; e2; : : : ; en) в ортонормированный базис 'e = ('e1; 'e2; : : : ; 'en), то этот оператор ортогональный (унитарный).

Теорема 32. Оператор ортогонален (унитарен) тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет ортогональную (унитарную) матрицу.

Теорема 33. Собственные значения ортогонального (унитарного) оператора по абсолютной величине равны единице.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем для унитарного оператора. По определению можем записать ('x; 'x) = (x; x). Пусть x – собственный вектор

оператора ' и ¸ – отвечающее ему собственное значение, 'x = ¸x. Тогда

(¸x; ¸x) = j¸j2(x; x); j¸j2(x; x) = (x; x); j¸j2 = 1. ¤

Теорема 34. Собственные векторы ортогонального оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

2.4 Самосопряженный оператор

Линейный оператор ' : En ! En(Un ! Un) называется самосопряженным, если для 8x; y 2 En(Un) выполняется равенство

('x; y) = (x; 'y);

т.е. ' = '¤. Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называют эрмитовым, а в евклидовом пространстве – симметрическим.

Примеры самосопряженного оператора.

1.Тождественный: ("x; y) = (x; y) = (x; "y).

2.Нулевой: (µx; y) = (0; y) = 0 = (x; 0) = (x; µy).

Квадратная матрица называется самосопряженной, если A = A¤. Из определения вытекает, что самосопряженный оператор нормален.

Теорема 35. Оператор самосопряженный тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет самосопряженную матрицу.

Теорема 36. Если подпространство H инвариантно относительно самосопряженного оператора ', то ортогональное дополнение H? этого подпространства также инвариантно относительно оператора '.

35

Теорема 37 (спектральная характеристика самосопряженного оператора). Нормальный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве самосопряжен тогда и только тогда, когда все корни его характеристического многочлена вещественны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. В унитарном пространстве это утверждение означает, что все собственные значения эрмитова оператора ве-

¹

щественны, и вытекает из равенств 'x = ¸x и, с учетом теоремы 28, 'x = ¸x. Докажем утверждение для евклидова пространства . Пусть e - ортонормированный базис , тогда [']e - самосопряженная (вещественная) матрица. Рассмотрим произвольное унитарное пространство U той же размерности, что и пространство E, и в нем произвольный ортонормированный базис f. Тогда матрице [']e отвечает самосопряженный оператор Ã 2 L(Un; Un), для которого матрица [']e является матрицей в базисе f : [']e = [Ã]f . Следовательно, характеристические многочлены операторов ' и Ã совпадают и по доказанному выше (применительно к оператору Ã) все корни характеристического многочлена оператора ' вещественны.

Достаточность. Пусть ' - нормальный оператор и все корни его характеристического многочлена вещественны. Тогда как в евклидовом, так и в унитарном пространстве существует ортонормированный базис e1; e2; : : : ; en

из собственных векторов оператора '. Если x = Pn xiei – любой вектор про-

Теорема 38. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Основным свойством самосопряженного оператора является то, что в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Это означает, что самосопряженный оператор является оператором простой структуры, а матрица Pe!e0 приводит матрицу A самосопряженного оператора к диагональному виду, т.е. удовлетворяет соотношению (21)

¤ = Pe¡!1e0APe!e0:

Правило построения такой матрицы остается таким же, как и в случае любых операторов простой структуры с той лишь разницей, что базис из собственных векторов матрицы A здесь еще и ортонормируют.

36

Задание

1. Выяснить, какие из преобразований трехмерного арифметического пространства R3 являются линейными. Для линейных преобразований найти:

а) матрицу в каноническом базисе;

б) дефект;

в) образ, ядро, а также построить базисы образа и ядра.

Каждое преобразование описывается своим действием на произвольный вектор x = (x1; x2; x3); при этом компоненты векторов '(x); f(x) заданы как функции компонент вектора x.

1.f(x) = (x1 + x2; x3 + x1; 2x1 + x2 + x3); '(x) = (x21; x1 + 2x2; x3 + x1).

2.f(x) = (x1 ¡ x2 + 1; 3x1 + x2; x3);

'(x) = (¡x1 + 2x2; x3 ¡ x1; x1 + 2x2 ¡ 2x3).

3.f(x) = (x1 + 2x3; x2 ¡ x3; x1 + 2x2); '(x) = (x1 + 3x2; x2 + 2; x3 ¡ x1).

4.f(x) = (x1 + x2 + x3; 2x1 + 2x2 + 2x3; x1 + x2 + x3); '(x) = (x1 + 5x2 + x3; x2; x3 ¡ 1).

5.f(x) = (x1 ¡ x2; x3 ¡ x2; 2x1 ¡ x2 + x3); '(x) = (2x1; 3x2 + x3; x3 ¡ 1).

6.f(x) = (x1 ¡ x2 + x3; 2x1 ¡ 2x2 + 2x3; x1 ¡ x2 + x3); '(x) = (2x1 ¡ x3; x2 + x3 ¡ 2; 3x3).

7.f(x) = (x1 + 2x2; x23; x3 ¡ x2);

'(x) = (x2; ¡x1 + x3; ¡3x1 + 2x2 + 3x3).

8.f(x) = (x2 ¡ x3; x3 ¡ x1; ¡x3 + 2x2 + x1); '(x) = (x2 + 2x3; x1 ¡ x2 + 3; x1 + x2).

9.f(x) = (2x1 ¡ 1; x2 ¡ x3; x1 + 2x2); '(x) = (¡x1; 3x1 + x2 + x3; x3 + x2).

10.f(x) = (3x1 ¡ 3; x2 ¡ x3; x1 + x2 ¡ x3); '(x) = (2x1 + x3; x1 + x2 + x3; ¡2x2 ¡ x3).

11.f(x) = (2x1 ¡ x2; x3 ¡ x1; ¡x2 + 2x3); '(x) = (3x1 + x2; x22 + x3; x3 ¡ x1).

37

12.f(x) = ((x2 ¡ x1)2; x2 ¡ x3; x3 ¡ x1);

'(x) = (5x1 ¡ x2; ¡x2 + x3; 5x1 + x2 ¡ 2x3).

13.f(x) = (x1 + 2x2 + x3; 2x2 + x3 + x1; 2x1 + 2x2 + x3); '(x) = (x21; x1 + 2x2; x3 + x1).

14.f(x) = (x1 ¡ 2x2; x1 ¡ x2 + 2x3; x2 + 2x3); '(x) = (x1 ¡ 3x3; x2 ¡ x3 x3 ¡ 2).

15.f(x) = (x1 + x2 ¡ x3; x1 + x2 ¡ x3; 2x1 + 2x2 ¡ 2x3); '(x) = (x1 + 3x2; x2 + 2; x3 ¡ x1).

16.f(x) = (x1 ¡ x2 ¡ x3; 2x1 + 2x2; 3x2 + 2x3); '(x) = (x1 + 5x2 + x3; x2; x3 ¡ 1).

17.f(x) = (2x1 ¡ x2 + x3; x1 ¡ x2 + x3; x1); '(x) = (2x1; 3x2 + x3; x3 ¡ 1).

18.f(x) = (x1 ¡ 2x2 + 3x3; 2x1 ¡ 4x2 + 6x3; ¡x1 + 2x2 ¡ 3x3); '(x) = (2x1 ¡ x3; x2 + x3 ¡ 2; 3x3).

19.f(x) = (x1 ¡ 2x2 + x3; 2x1 ¡ 2x2 ¡ x3; ¡x1 + 2x3); '(x) = (x21; x1 + 2x2; x3 + x1).

20.f(x) = (¡2x1 ¡ 3x3; x2 + 3x3; ¡2x1 + x2); '(x) = (¡x1 + 2x2; 2x3 + 1; x1 + 2x2 ¡ 2x3).

21.f(x) = (2x2; x1 + x2 ¡ x3; x1 ¡ x3); '(x) = (x1 + 2x2; x3 ¡ 1; x1 + 2x2).

22.f(x) = (¡x1 + x3; x2 + 2x3; 2x1 + x2); '(x) = (x1 + 5x2 + x3; x2; x3 ¡ 1).

23.f(x) = (2x1 ¡ x2 ¡ x3; 2x1 ¡ x2 ¡ x3; 2x1 ¡ x2 ¡ x3); '(x) = (x1 + 2x3; ¡x1 + x2 ¡ 2x3; 2x1 ¡ 2).

24.f(x) = (x1 ¡ x2 + x3; x3 ¡ 1; x1 ¡ x2 + x3);

'(x) = (x1 ¡ x2 + 2x3; ¡x1 + x2 ¡ 2x3; 2x1 ¡ 2x2 + 4x3).

25.f(x) = (x1 + x2; x3 + 1; 2x1 + x2 + x3); '(x) = (x1 + 5x2; x2 + 5x3; x1 + 4x2 ¡ 5x3).

26.f(x) = (2x1 ¡ x3; 2x2 ¡ x1; 4x2 ¡ x3);

'(x) = (¡x1 + 2x2; 2x3 ¡ 3; x1 + 2x2 ¡ 2x3).

27.f(x) = (4x1 ¡ x2; 4x2 ¡ x3; 4x1 + 3x2 ¡ x3); '(x) = (x1 + 3x2; x2 + 2; x3 ¡ x1).

38

28.f(x) = (3x1 ¡ x3; 3x2 ¡ x1; 2x1 + 3x2 ¡ x3); '(x) = (x3 ¡ x1; x2 ¡ 1; x1 ¡ 5).

29.f(x) = (x3 ¡ 2x1; x2 ¡ 2x3; x2 ¡ 4x1); '(x) = (2x1; 3x2 + x3; x3 ¡ 1).

30.f(x) = (x1 + 2x3; x1 + x2 ¡ x3; x2 + x3); '(x) = (2x1 ¡ x3; x2 + x3 ¡ 2; 3x3).

2.Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей

39

3. Для заданной эрмитово-симметричной матрицы A найти такие унитарную матрицу U и диагональную вещественную матрицу ¤, чтобы ¤ = UT AU.

40