VVS-LabRabota-05-OsnTeoriiKosmichPoleta

Курс «Введение с специальную технику

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Знакомство с основными понятиями теории космического полета

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1) Закон всемирного тяготения

Сила, с которой притягиваются два тела в инерциальном пространстве с массами M1 и m2

пропорциональна произведению этих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними.

где f 6,67 1011 м3/кг·с2 - коэффициент пропорциональности (гравитационная постоянная); Тело с большей массой можно условно считать центром притяжения (притягивающим

центром). Пусть в нашем случае M1 m2 , тогда параметр f M1 назовем гравитационной постоянной притягивающего центра. Тогда выражение (1) запишется в виде:

2) Законы Кеплера

Первый закон Кеплера. Траектория тела (планеты или КА), движущегося относительно притягивающего центра (или другими словами – в центральном поле тяготения), имеет форму эллипса, в одном из фокусов которого находится притягивающий центр.

Указанный эллипс также иначе называют орбитой тела (планеты или КА).

Рисунок 1 – Траектория движения КА в центральном поле тяготения

1

Курс «Введение с специальную технику

Из рисунка 1 видно, что положение КА на орбите планеты характеризуется следующими параметрами:

r - радиус-вектор, направленный из притягивающего центра (Земли) в центр масс движущегося тела (КА);

- точка перигея орбиты КА (самая близкая к Земле точка орбиты);

- точка апогея орбиты КА (самая далекая от Земли точка орбиты);

f1 , f2 - фокусы эллипса;

a - большая полуось орбиты;

b - малая полуось орбиты;

c - расстояние между фокусом и центром эллипса (сжатие орбиты);

p - фокальный параметр эллипса (орбиты);

- угол истиной аномалии, т.е. угол между осью OX З и радиусом вектором текущего положения КА на орбите (от 0 до 360 град.);

r - радиус-вектор перигея орбиты КА, т.е. расстояние от притягивающего центра до точки перигея обиты;

r - радиус-вектор апогея орбиты КА, т.е. расстояние от притягивающего центра до точки апогея обиты;

e - эксцентриситет орбиты (отношение расстояния между центром эллипса и его фокусом к

большой полуоси, e ac ).

Также введем дополнительные функциональные зависимости:

Удобнее пользоваться уравнением эллиптической орбиты в полярных координатах:

Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Этот закон указывает на неравномерность движения КА по эллиптической орбите. Схема, иллюстрирующая второй закона Кеплера, приведена на рисунке 2.

2

Курс «Введение с специальную технику

Рисунок 2 – Схема для иллюстрации второго закона Кеплера

На этом рисунке площади S1 , S2 и S3 , описываемые радиусом-вектором за равные промежутки времени t t , равны. Следовательно, неравны длины путей на этих участках:

Рисунок 3 - Схема для расчета соотношения скоростей КА в апогее и перигее эллиптической орбиты

Пример 1. Пусть r 6571 км (высота перигея орбиты в 200 км, радиус Земли 6371 км),

3

Курс «Введение с специальную технику

Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращения (длительности обращения) планет вокруг притягивающего центра прямо пропорциональны кубам больших полуосей их орбит (см. рис. 4).

где T1 , T2 - периоды обращения спутников вокруг одного притягивающего центра.

Рисунок 4 – К иллюстрации третьего закона Кеплера

Абсолютное время периода обращения тела, движущегося вокруг притягивающего центра можно получить по следующей зависимости (приводится без вывода):

3) Интеграл энергии и первая космическая скорость

Расчет скорости КА на круговых и эллиптических орбитах, основывается на законе сохранения энергии, который для центрального поля тяготения выглядит следующим образом

a - большая полуось орбиты.

Для расчета скорости на околоземных орбитах часто используют расчетную формулу, в которой присутствует первая космическая скорость. Преобразуем формулу (15) к следующему виду

Земли при r RЗ ).

4

составляет 6371 км, поэтому нетрудно рассчитать, что первая космическая скорость для Земли составляет 7910 м/с.

Если орбита имеет форму окружности ( e 0 , a r r r ), то выражение (16) можно представить в форме

где rкр - радиус круговой орбиты.

Пример 2. Определить скорость КА на круговой опорной орбите высотой 200 км.

4) Расчет приращения скорости, необходимой для перевода ИСЗ с опорной орбиты на эллиптическую орбиту

Расчет производится с использованием той же зависимости (16), но с учетом допущений,

что приращение скорости дается мгновенно в точке перигея будущей эллиптической орбиты.

При расчете в формулу подставляются соответствующие параметры эллиптической орбиты.

Подставляя полученные значения в выражение (16) получим

5

Требуемое приращение скорости рассчитывается как разность скорости КА в перигее эллиптической орбиты и скорости КА на круговой опорной орбите, то есть

V1 V Vкр 10,25 7,79 2,46 км/с

5) Расчет приращения скорости, необходимой для перевода ИСЗ с эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту

Расчет, так же как и в предыдущем случае, производится с использованием той же зависимости (16) и учетом того, что приращение скорости дается мгновенно в точке апогея

эллиптической орбиты (см. рис. 6).

Рисунок 7 - Схема перевода КА с эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту

Искомая добавка скорости определяется как разность между скоростью КА на высокой круговой орбите и скоростью КА в точке апогея эллиптической орбиты.

Пример 4. Определить приращение скорости V2 , которая необходима для перевода КА с

эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту. Параметры орбит принять такими же, как и в примере 3.

Решение. Рассчитаем сначала скорость полета КА по эллиптической орбите в точке апогея. При этом воспользуемся данными, полученными в примере 3.

Теперь рассчитаем скорость КА на высокой круговой орбите с высотой, соответствующей радиусу апогея эллиптической орбиты.

Расчетная формула будет практически такой же, как и формула (17), с той лишь разницей, что вместо радиуса опорной орбиты необходимо подставлять радиус высокой круговой орбиты. Таким образом, можно получить следующие результаты:

Курс «Введение с специальную технику

Соответственно, для перелета с опорной круговой орбиты на высокую круговую орбиту требуется перелет с двумя последовательными приращениями скорости V1 и V2 .

Общее приращение скорости V составит

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Объясните закон всемирного тяготения.

2.Что такое притягивающий центр?

3.Объясните первый закон Кеплера (схема движения и все параметры).

4.Объясните второй закон Кеплера.

5.Объясните третий закон Кеплера.

6.Что такое первая космическая скорость?

7.Объясните схему перелета с опорной круговой орбиты на эллиптическую орбиту.

8.Объясните схему перелета с эллиптической орбиты на высокую круговую орбиту

9.Объясните схему перелета с опорной круговой орбиты на высокую круговую орбиту.

ЗАДАНИЕ

Рассматривается перелет с опорной круговой орбиты с высотой Hкр1 200 км на высокую круговую орбиту с высотой H кр 2 . На высокую орбиту выводится КА с массой M КА . Для

выведения КА используется ракетный блок в форме цииллиндра (см. рис. 8) с соответствующими: конструктивной характеристикой s ; скоростью истечения газов из сопла реактивного двигателя; диаметром корпуса D .

l

D

КА

Рисунок 8 – Схема разгонного ракетного блока для перелета между орбитами

Плотность материала конструкции разгонного ракетного блока К 3000 кг/м3 . Плотность топлива в ракетном блоке составляет T 980 кг/м3.

Требуется рассчитать:

массу топлива mT , необходимую для перелета между двумя круговыми орбитами;

массу разгонного ракетного блока mРБ ;

длину корпуса разгонного ракетного блока l .

Исходные данные берутся из таблицы 1 в соответствии с вариантом студента. Для расчетов используются зависимости, приведенные в лабораторной работе №2 «Ориентировочный расчет массовых и габаритных характеристик ракеты»

7

Курс «Введение с специальную технику

Таблица 1 – Исходные данные для расчетов

8