3. Вычисление пределов функций. Основные приёмы

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

Теорема 2. Предел произведение двух и трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих переменных.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:

Теорема 4. Если между соответствующими значениями трех функций ,,выполняются неравенства≤≤, при этом функцииипри(или при) стремятся к одному и тому же пределуb, то при(или при) стремится к тому же пределуb.

Теорема 5. Если при (или при) функция у принимает неотрицательные значенияy ≥ 0 и при этом стремится к пределу b , то b есть неотрицательное число (b ≥0).

Теорема 6. Если между соответствующими значениями двух функций и, стремящихся к пределам при(или при), выполняется неравенство≥, то имеет место.

Теорема 7. Если переменная величина возрастает, т.е. всякое ее последующее значение больше предыдущего, и если она ограничена, т.е.<M, то эта переменная величина имеет предел

, гдеM .

Пример 1. Найти предел , применяя теоремы о пределах

Пример 2. Найти предел

Чтобы раскрыть неопределенность следует числитель и знаменатель поделить почленно на переменную в высшей степени (высшего порядка), стоящую в знаменателе.

Пример 3. Найти предел

Чтобы раскрыть неопределенность - при случаех→а отношения двух многочленов, следует в числителе и знаменателе дроби выделить общий множитель вида (х - а) и на него сократить, т.к. под знаком предела х → а, но никогда его не достигает.

.

Пример 4. Найти предел .

Пример 5. Найти предел .

Чтобы раскрыть неопределенность при х → а в случае отношения иррациональных функций, следует начать с умножения на выражение, сопряженное данному иррациональному, с целью последующего выделения общего множителя (х -а) и сокращения,

Пример 6. Найти предел .

Пример 7. Найти предел .

Чтобы разрешить неопределенность в данном случае, следует привести выражение к общему знаменателю.

Пример 8. Найти предел

Чтобы разрешить неопределенность в данном случае, следует домножить и разделить на сопряженное выражение.

Задания для самостоятельной работы

Найти пределы:

1) 2)3)

4) 5)

6) 7)

8) 9);

10) ; 11);

12) ; 13);

14) ; 15)

4. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Пример 1. Найти

.

Пример 2. Найти

Пример 3. Найти

Пример 4. Найти

Второй замечательный предел.

=.

Пример 5. Найти .

Пример 6. Найти .

Пример 7. Найти .

Если и, то, тогда можно переписать

Пример 8. Найти .

Пример 9. Найти .

Задания для самостоятельной работы.

Найти: 1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8); 9);

10) ; 11); 12);

13); 14).