2. Предел функции непрерывного аргумента

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности.

Определение. Функция стремится к пределу() при х, стремящемся к(), если для каждого положительного числа, как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число, что для всех х, отличных от а и удовлетворяющих неравенству:, имеет место неравенство

Рис. 3

Так как из неравенства следует неравенство, это значит, что на графике функции, для всех точек х, отстоящих от точки а не далее чем на, точки графика М лежат внутри полосы шириной, ограниченной прямымии.

Если стремится к пределуb₁ при х_, стремящемся к некоторому числу а так, что х принимает только значения, меньшие а, то пишут и называютb₁ пределом функции в точке слева.

Рис. 4

Для существования предела функции при не требуется, чтобы функция была определена в точке х = а. При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрест- ности а.

Функция стремится к пределуb при , если для каждого произвольно малого положительного числаможно указать такое положительное числоN, что для всех х удовлетворяющих неравенству , будет выполняться

Рис. 5

Пример 1. Докажем, что . Пусть задано произвольное, для того чтобы выполнялось неравенство, необходимо выполнение неравенств;;.

Таким образом, при любом для всех значений х, удовлетворяющих неравенству, значение функции 6х+1 будет отличаться от 7 меньше, чем на. А это значит, что 7 есть предел функции при.

Пример 2. Докажем, что

Нужно доказать, что при произвольном будет выполняться неравенство, если только, причемN определяется выбором . Данному неравенству эквивалентно следующее:, которое будет выполняться, если будет. Это и значит, что.

Функция стремится к бесконечности при, т.е. является бесконечно большой величиной при, если для каждого положительного числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое, что для всех значений х, отличных от а, удовлетворяющих условию, имеет место неравенство. Тогда пишут:.

Если стремится к бесконечности прии при этом принимает только положительные или только отрицательные значения соответственно пишутили.

Пример 3. Докажем, что

Возьмем произвольное число M>0. Если найдем такое число , что для всех х, удовлетворяющих, где а=4, будет справедливо неравенство, где, то утверждениебудет доказано.

; ;.

Если положить и потребовать выполнения неравенства

, то неравенство будет справедливо,

.

Рис. 6

Геометрически это означает, что для всех исоответствующие точки графика функциибудут находиться выше прямой у = М, т.е. будут находиться в бесконечной полуполосе, ограниченной прямымии, у = М, причем у>М.

Пример 4. Докажем, что при функцияпредела не имеет.

Функция sinx периодическая с периодом , следовательно, при неограниченном возрастании аргумента эта функция периодически пробегает все свои значения.

Но это значит, что при возрастании х значения функции не могут отличаться от любого постоянного числа все менее и менее. Значит функция sinx предела не имеет.

На самом деле, из определения конечного предела вытекает, что если функция имеет конечный предел при то этот предел один. Следовательно, если взять последовательность точек, то соответствующая последовательность значений функциидолжна иметь предел, равный а.

Возьмем две последовательности .

1) ;;; …;

; ;; …;, предел равен а=1.

2) ;;;…;

; ;; …;, предел равен а=0.

Выделение последовательности значений функции sinx при имеют различные пределы, следовательно, данная функция предела не имеет.

Задания для самостоятельной работы.

№1 Найти пределы функций или доказать, что они не существуют

а) ; б); в);

г) ; д); е)

№2 Доказать, что а) ; б)

№3 Доказать, что

№4 Доказать, что