15. Основная теорема о мо. Свойства мо.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Теорема(основная теорема о математическом ожидании или теорема о замене переменных).

Пусть - некоторая случайная величина, закон распределения которой известен, случайная величинаявляется функцией от случайной величины.

1. Если случайная величина является дискретной, принимающей значенияс вероятностями,, и при этом рядабсолютно сходится (), то у случайной величинысуществует математическое ожидание и.

2. Если случайная величина является непрерывной с плотностью вероятностейи интегралабсолютно сходится (), то у случайной величинысуществует математическое ожидание и.

(без доказательства).

Смысл основной теоремы о математическом ожидании: Для нахождения математического ожидания случайной величины, являющейся функцией от случайной величины, не требуется знать закон распределения случайной величины, достаточно лишь знать закон распределения случайной величины.

Свойства математического ожидания

Во всех рассматриваемых ниже свойствах предполагается, что у случайных величин математические ожидания существуют.

М0). Математическое ожидание любой случайной величины есть число!

М1). Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной:.

М2). Постоянная величина выносится за знак математического ожидания: .

М3). Математическое ожидание суммы любых случайных величин иравно сумме их математических ожиданий:.

Замечание. Свойства М1), М2) и М3) называются свойствами линейности математического ожидания и следуют из свойств линейности рядов и интегралов в соответствии с формулами (2.7) и (2.8).

Следующие два свойства математического ожидания связаны с понятием «Р-почти наверное» (Р-п.н.). Говорят, что некоторое свойство выполнено Р-п.н., если существует множество стакое, что это свойство выполнено для каждого. Вместо Р-п.н. говорят также «Р-почти всюду» (Р-п.в.) или просто «почти наверное» (п.н.), «почти всюду» (п.в.). Используют также термин: свойство выполнено с вероятностью 1.

М4). Если п.н. (то есть), то.

Если п.н. и при этом, топ.н. (то есть).

▲ Доказательство свойства для дискретных случайных величин очевидно. Для непрерывных случайных величин доказательство следует из того, что плотность вероятностей при■.

М5). Если п.н., то.

Если п.н. и при этом, топ.н..

▲ Для доказательства достаточно применить свойство М4) к случайной величине п.н. ■.

М6).

▲ Поскольку для любого, то в силу свойства М5), то есть■.

Замечание. Свойство М6) справедливо и в более общем виде:

Для любой выпуклой вниз функции справедливо неравенство:

(неравенство Йенсена).

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

16. Моменты, дисперсия и среднеквадратическое отклонение св. Свойства дисперсии.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Начальным моментом (НМ) -го порядка СВназывается МО-ой степени этой СВ.

, если МО существует. (*)

Обычно рассматривается НМ положительного и целого порядка: ;

Например: и .

Центральным моментом - го порядкаСВназывается МО,- ой степени, отклонения этой СВ от ее МО:.

СВ называется центрированной СВ (ЦСВ), т.к..

Т.о. СВ, есть начальный момент - го порядка ЦСВ:.

.

Особую роль на практике играет (**), называемый дисперсией Д (МО квадрата отклонения СВ от своего МО). Д характеризует степень разброса СВ относительно ее МО (степень рассеянья ).

В механической интерпретации Д есть момент инерции, распределения единицы массы относительно центра масс.

На ряду с формулой (**) используется также:

.

Свойства Д:

1. п.н.

Доказательство: . Если, то. И в обратную сторону:

2. . Дисперсия не изменяется при добавлении к СВ константы.

Доказательство: .

3. , где.

Доказательство: .

имеет размерность квадрата СВ. Характеристикой рассеянья, имеющей размерность самой СВ является средне-квадратичное отклонение().

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\