35. Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

0. Вырожденная случайная величина.

Если п.н., то.

1. Индикаторная случайная величина.

Индикаторная случайная величина имеет вид:

а ее закон распределения:

	0	1
	q	p

где .

В соответствии с определением характеристической функции дискретной случайной величины (4.22) имеем:

.

Окончательно,

.

2. Биномиальная случайная величина .

Множество возможных значений биномиальной случайной величины

,

а вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:

.

Найдем характеристическую функцию случайной величины .

1 способ.

По определению характеристической функции и на основании бинома Ньютона имеем:

.

2 способ.

В соответствии с представлением (4.20) случайная величина равна сумме независимых случайных величин,

где - индикаторная случайная величина (число успехов в-ом испытании), имеющая характеристическую функцию,. Поэтому по свойству.

Окончательно,

.

3. Геометрическая случайная величина .

Множество возможных значений геометрической случайной величины,

а вероятности значений определяются по формуле: .

Найдем характеристическую функцию случайной величины .

По определению характеристической функции и с учетом выражения для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем:

.

Окончательно,

.

4. Пуассоновская случайная величина .

Множество возможных значений пуассоновской случайной величины

,

а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:

.

Найдем характеристическую функцию случайной величины .

По определению характеристической функции и с использованием выражения для разложения экспоненты в ряд Тейлора имеем:

Окончательно,

.

Используя характеристические функции, найдем числовые характеристики, например, геометрической случайной величины .

.

Найти с использованием характеристических функций числовые характеристики биномиальной и пуассоновской случайных величин самостоятельно.

Непрерывные случайные величины

5. Равномерная случайная величина .

Плотность вероятностей случайной величины , равномерно распределенной на отрезке, имеет вид:

Найдем характеристическую функцию случайной величины .

По определению характеристической функции непрерывной случайной величины (4.23) имеем:

.

В частности:

если , то;

если , то характеристическая функция является вещественной (см. свойство)

.

Окончательно,

.

6. Показательная (экспоненциальная) случайная величина .

Плотность вероятностей показательно распределенной случайной величины имеет вид:

Найдем характеристическую функцию случайной величины :

.

Окончательно,

.

7. Нормальная (гауссовская) случайная величина .

Плотность вероятностей нормально распределенной с параметрами случайной величиныимеет вид:

.

Найдем характеристическую функцию случайной величины .

Известно, что случайную величину можно получить с помощью линейного преобразования, где. Поэтому найдем вначале характеристическую функциюстандартной нормальной случайной величины, а затем используем свойство для нахождения .

.

(при выкладках были использованы аналитичность подинтегральной функции на всей плоскости и интеграл Пуассона).

В соответствии со свойством имеем:.

Окончательно,

.

Пример. Заданы две независимые нормальные случайные величины: и. Найти плотность вероятностей случайной величиныили, другими словами, найти композицию двух нормальных законов распределения.

Решение. Известно, что характеристические функции случайных величин иимеют вид:

и .

В соответствии со свойством характеристическая функция случайной величиныравна произведению характеристических функций слагаемых:

.

Но в силу теоремы единственности (следствие 3 из формулы обращения ) это означает, что случайная величинаимеет также нормальный закон распределения:.

Замечание. Законы распределения, сохраняющиеся при линейных преобразованиях над случайными величинами, называются устойчивыми. Рассмотренный пример доказывает устойчивость нормального закона распределения. Устойчивыми также являются биномиальный и пуассоновский законы распределения (показать самостоятельно).

Задача. Используя характеристические функции, найти все центральные моменты случайной величины.

Замечание (о производящих функциях).

Пусть - дискретная случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения, закон распределения которой известен, то есть известно ее множество возможных значенийи вероятности значений.

Производящей функцией целочисленной случайной величины называется функциякомплексной переменной, определяемая приравенством.

Производящая функция является аналитической внутри единичного кругаи по ней закон распределения целочисленной случайной величиныXоднозначно определяется равенствами:

, где,k0.

Так как есть характеристическая функция целочисленной случайной величины, то для производящих функций остаются справедливыми все свойства характеристических функций с теми лишь изменениями, которые вытекают из замены аргумента. Но использование на практике производящих функций при исследовании целочисленных случайных величин существенно проще, чем характеристических.

В частности (показать самостоятельно):

производящая функция суммынезависимых целочисленных случайных величин равна произведению производящих функций слагаемых:;

моменты первых двух порядков целочисленной случайной величины определяются через ее производящую функциюравенствами:

,,.

Задача 1. Найти производящие функции случайных величин, ,и по ним определить их числовые характеристикии.