31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Есть две группы предельных теорем, объединяемых названиями: законы больших чиселицентральная предельная теорема. Законы больших чисел устанавливают факт приближения среднего арифметического случайных величин к некоторой неслучайной величине (константе). Центральная предельная теорема устанавливает факт приближения закона распределения суммы случайных величин к нормальному закону распределения.

Прежде, чем переходить к рассмотрению предельных теорем, приведем ряд понятий и фактов, необходимых для их формулировки и доказательства.

Неравенство Чебышева

Для любой СВ , имеющей конечную дисперсию (),справедливы неравенства:

и

Доказательство:

Из леммы следует, что .

Неравенство Чебышева дает простую оценку вероятности отклонения СВ с произвольным законом распределения от ее МО. Причем, если о СВ ничего не известно, кроме ее числовых характеристик, то оценка не улучшаема, (когда в (3) стоит равенство). Если же о СВ имеется дополнительная информация, например известен ее закон распределения, то оценки (3) и (3') могут быть существенно улучшены, притом существенно.

Пример:

(в соответствии с «правилом»).

Виды сходимости последовательностей с.В. И связи между ними.

Как в анализе, в теории вероятностей существует несколько видов сходимостей. Наиболее важными являются 3 из них:

1) сходимость по вероятности

2) сходимость почти наверное

3) сходимость в среднем.

Пусть на вероятностном пространстве задана последовательность с.в.и с.в..

Опр. Говорят, что последовательность с.в.сходится по вероятности к величине, еслиилии кратко записывают:

или

Опр. Говорят, что последовательность с.в.сходится почти наверно к величине(п.в. или с вероятностью 1), если:

И кратко записывают: или.

Другими словами, , еслипридля всех, за исключением, быть может,,. Это можно назвать поточечной сходимостью.

Опр. Говорят, что последовательность с.в.сходится к с.в.в среднем порядка, если, и записывают:– сходимость в среднем,– Гембертово пространство.

Сходимость в среднем порядка называют сходимостью в среднем квадратическом и обозначают:или, гдерасшифровывается как «limitinthemean».

Смысл сходящейся с.в.: понятие предела существует только для числовой последовательности, поэтому случайность под знаком предела должна быть ликвидирована либо с помощью вероятности (в определении первом), либо с помощью МО (в определении третьем), со своим понятием близости между и.

Лемма. (связь между видами сходимости)

1) из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности.

2) Из сходимости в среднем следует сходимость по вероятности:

Обратное в 1) и 2) в общем случае не верно.

Вывод: сходимость по вероятности является самой слабой из всех трех видов сходимостей.

Доказательство:

1) или

Переходя к противоположному событию получим:

(3) или(4)

Поскольку , то, переходя к пределус учетом (4) получим:, т.е.

Докажем эквивалентность (3) и (4). Покажем, что .

Поскольку из (4) следует, что правая часть стремится к нулю при , значит, и левая часть стремится к нулю; следовательно,.

Докажем, что :

Пусть . Так какис учетом (3), то по аксиоме непрерывности получаем, т.е. (4)

2) Из неравенства Чебышева при фиксированном иследует, что

Поскольку , т.е..

Отметим некоторые свойства сходимости по вероятности, необходимые в дальнейшем:

1) Сходимость по вероятности обладает обычными для сходимости свойствами:

Если ,, тои

2) Сходимость по вероятности сохраняется под действием непрерывной функции, а именно если и– непрерывная, то. В частности, если, то

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\