8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Рассмотрим
простейшую последовательность независимых
испытаний, в каждом из которых возможно
только 2 исхода: успех -
и неуспех -
.
Такая схема независимых испытаний
называется схемой Бернулли. Пусть
и
.
Пространство
элементарных событий после проведения
испытаний по схеме Бернулли имеет вид:
.
При этом
,
где
.
Т.о.
.
При рассмотрении схемы Бернулли обычно интересуются событиями вида:
,
.
,
где
и
.
Откуда получим формулу Бернулли:
.
Поскольку
события
при
образуют ПГС, то
.
Рассмотрим
отношение
.
Откуда видно, что
,
если
;
,
если
;
,
если
.
Обозначим
за
- число успехов при котором функция
достигает максимума (наивероятнейшее
число успехов). Тогда
если
- не целое, то
.
А если
- целое, то существует 2 наивероятнейших
числа успехов
и
.
Если
- целое число, то, очевидно,
.
При
больших
и
вычисление
очень трудоемко, для этого используются
приближенные формулы, основанные на
предельных теоремах Пуассона и
Муавра-Лапласа.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Случайная величина (СВ)
(интуитивное определение) – числовая
функция, значение которой заранее
определить невозможно, т.е. функция
зависящая от случайного исхода и
принимающая свои значения с некоторыми
вероятностями.
- обозначение случайных величин.
- значения СВ.
Формальное определение
СВ: Пусть имеется
случайный эксперимент и задано
вероятностное пространство
.
- называется случайной величиной, если
.
является событием
.
Говорят,
что функция
является
- измеримой (измеримой относительно
-алгебры
),
если множество
.
Т.о. СВ есть
- измеримая функция ставящая в соответствие
каждому элементарному исходу
вещественное число
.
Из
определения СВ и
-алгебры
следует, что событиями являются также
подмножества, связанные со СВ
:
;
;
;
,
и любые другие подмножества, получающиеся
из данных путем выполнения конечного
или счетного числа операций. Другими
словами, попадание СВ в Борелевское
множество на числовой прямой является
событием:
.
Для определения вероятностей любых событий, связанных со СВ и делать это аналогичным способом для всех величин в ТВ вводится понятие функции распределения (ФР).
ФР-я
СВ
называется функция
,
отображающая
,
при каждом
,
определяемая равенством:
.
Геометрически ФР в точке
означает вероятность попадания СВ
левее
заданной точки
.
Свойства ФР:
- т.к. ФР является вероятностью.ФР – неубывающая функция:
.
Доказательство:
.
и
.
Замечание:
Если
предел
,то для произвольной последовательности
справедливо
.
Доказательство:
Существование предела вытекает из
ограниченности и монотонности. В
соответствии с замечанием к доказательству,
что для того чтобы доказать, что
достаточно показать, что
.
Пусть
,
тогда
обладает свойствами:
;
(*)
.
(**)
Т.о.
в соответствии с аксиомой непрерывности
вероятности, с учетом того, что
.
Для
доказательства 2-го утверждения достаточно
показать, что
или
.
Рассмотрим
,
последовательность
удовлетворяет свойствам (*) и (**), а
следовательно является убывающей.
Аналогично получим, что
.
ФР является функцией непрерывной слева:
.
Замечание:
Геометрически свойство означает, что
в точках разрыва ФР принимает нижнее
(меньшее) значение (
).
Доказательство:
докажем, что
или
.
Пусть
тогда для
выполняются свойства (*) и (**)
.
Т.о.
.
Свойства
1-3 полностью описывают класс ФР (т.е.
если функция
удовлетворяет свойствам 1-3, то это ФР
некоторой СВ).
,
где
- величина скачка ФР в точке
.
.
Следствие:
Если ФР
является непрерывной в т.
то
.
Доказательство:
.
Событие справа попарно несовместно
.
,
т.к.
,
подчиняется свойствам (*) и (**). Т.о.
.
.
Доказательство:
.
.
Доказательство:
.
;
;
.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\