3. Геометрическое определение вероятности. Пример.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Это определение приспособлено для ситуации с континуальным количеством равновероятных исходов, когда классическое определение не работает.

Говорят, что СЭ удовлетворяет геометрическому распределению если:

1. Исход можно изобразить точками некоторой области , имеющий конечную меру.

2. Можно считать, что попадание точки в любые области , имеющие одинаковую конечную меруравновозможное и не зависит от формы и расположениявнутри. При этом говорят, что точка бросается наудачу.

Согласно геометрическому определению вероятности, вероятность попадания в любую область пропорционально ее мере.

.

Рассмотрим частные случаи:

;- длина подмножества на числовой прямой.

;- площадь подмножества на плоскости.

При мерой будет являться объем.

Из геометрического определения вероятности вытекают свойства:

1. ;

2. - условие нормировки;

3. ;

Т.к. свойства 1-3 справедливы, то из них вытекают:

4. т.к..

5. из свойства 4 ().

6. .. Покажем несовместность событийи:. Тогда.

7. т.к.и свойство 6.

Пример: Стержень наугад разламывается на 2 части, какова вероятность того, что длины обломков будут отличаться более чем в 2 раза.

Решение: Исход - точкав которой и сломается стержень.

;.

.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Сформулировано в 1933 г. Колмогоровым А.Н.

ОпрКласс подмножествмножестваназывают-алгеброй, если выполнены условия:

1. ;

2. --алгебра замкнута относительно перехода к противоположному событию.

3. --алгебра замкнута относительно операции сложения.

Утверждения 1-3 называются аксиомами -алгебры.

Покажем, что -алгебра замкнута относительно произведения и разности:

1. .

2. .

Множества и только они называются случайными событиями. Пара, где- пространство элементарных событий, а-алгебра его подмножеств называетсяизмеримым пространством.

ОпрПусть- пространство элементарных событий, а-алгебра его подмножеств. Функция, отображающая(в вещественную прямую), называется мерой на измеримом пространстве, если она удовлетворяет условиям:

1. ;

2. .

Последние 2 утверждения называются аксиомами меры (аксиома неотрицательности и аддитивности). Мера отображающаяназывается нормированной мерой на измеримом пространстве, если.

Пусть - пространство элементарных событий, а-алгебра его подмножеств. Вероятностью или вероятностной мерой на измеримом пространственазывается функция, удовлетворяющая следующей системе аксиом:

1. (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. (аксиома счетной аддитивности).

Тройка называется вероятностным пространством.

ТеоремаАксиома счетной аддитивности (3) эквивалентна 2-м аксиомам:

3*. Аксиома конечной аддитивности .

4. Если - последовательность событий, удовлетворяющая:

1. ;

2. .

то . Такая последовательность называется убывающей последовательностью событий.

Свойства вероятности:

1. т.к..

2. из свойства 1 ().

3. .. Покажем несовместность событийи:. Тогда.

4. т.к.и свойство 3.

5. Теорема сложения вероятностей: .

Доказательство:,по аксиоме аддитивности:

(1).

Представим инесовместимы(2).

.

6. Если образует ПГС, то. Утверждение следует из свойства вероятности 3* и 4.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\