28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Рассмотрим с.в. , у которой.

Опр. Говорят, что случайный вектор имеет многомерное (-мерное) нормальное или Гауссовское нормальное распределение, если его плотность вероятности имеет вид:

– формула в координатах.,– корреляционная матрица,– алгебраическое дополнение,– МО вектора.

Из вида плотности вероятностей следует, что многомерное нормальное распределение полностью определяется моментами первых двух порядков: и.

В матричном виде плотность многомерного нормального распределения записывается так:

,

где – обратная матрица к. В таком виде.

Пусть и предположим, что координаты вектора являются попарно некоррелированными:, тогда матрицаявляется диагональной:,,. Поэтому из общей формулы в данном случае имеем:

где – плотность вероятностей одномерного нормального закона распределения. Но последнее равенство означает, что с.в.являются независимыми.

Таким образом, для нормального ЗР понятие независимости и некоррелированности эквивалентны.

Другие свойства многомерного нормального закона распределения.

:

1. имеют одномерные законы нормального распределения:,(уметь доказать свойство при)

2) Все условные ЗР являются нормальными (уметь доказать свойство при )

3) Если – независимые (некоррелированные), тоимеет нормальный ЗР:(уметь доказать с помощью интеграла свертки).

Рассмотрим подробно двумерный случай. Пусть дан двумерный вектор, а также следующие величины:,,,,. Тогда,.

Легко видеть, что двумерный нормальный ЗР зависит от 5 параметров: . Если,, то поверхности уровня – окружности, тогда НЗР – круговой.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

29. Функции от св и их законы распределения.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Функции случайных аргументов

Пусть - случайный вектор, закон распределения которого известен, и- скалярная (для простоты) неслучайная функция, область определения которой содержит множество возможных значений вектора. Рассмотрим случайную величину(для того, чтобы функция случайных аргументовявлялась случайной величиной, функциядолжна быть борелевской, см. раздел «Основная теорема о математическом ожидании»). Известно, что для нахождения числовых характеристик случайной величиныдостаточно знать только закон распределения случайного вектора. Однако, во многих приложениях, особенно в математической статистике, необходимо уметь находить в явном виде закон распределения случайной величиныY, являющейся функцией случайных аргументов. Рассмотрим вначале задачу нахождения закона распределения случайной величины Y в одномерном случае ().

Функции от случайных величин

Дискретный случай. Пусть– дискретная случайная величина, принимающая значенияс вероятностями(случай счетного числа значений случайной величинырассмотреть самостоятельно). Тогда для произвольной неслучайной функции, область определения которой содержит множество возможных значений случайной величины, случайная величинаявляется дискретной и задача состоит в нахождении ее закона распределения.

а) Предположим вначале, что все значения различны (так, в частности, может быть, если функцияявляется монотонной в области возможных значений случайной величины). Тогда случайная величинабудет иметь столько же возможных значений, как и случайная величина, си при этом

. (4.1)

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

где в соответствии с (4.1) вероятности .

б) Предположим теперь, что среди значенийесть совпадающие (это может быть, в частности, если функцияне является монотонной в области возможных значений случайной величины). Тогда случайная величинабудет иметь меньше возможных значений, чем случайная величина, и ими являются,, различные среди. При этом вероятностизначенийопределяются по формуле:

, (4.2)

Закон распределения случайной величины в данном случае имеет вид:

где в соответствии с (4.2) вероятности являются суммой вероятностейтех значений, для которых.,.

Пример. Найти закон распределения случайной величины, если случайная величинаХявляется дискретной и имеет закон распределения

	-2	-1	0	1	2
	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2

Решение. В соответствии с (4.2) закон распределения случайной величиныимеет вид:

	0	1	2
	0.2	0.4	0.4

Непрерывный случай. Если– непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, а– дифференцируемая функция в области возможных значений случайной величиныХ, то величинаявляется непрерывной случайной величиной и задача состоит в нахождении плотности вероятностей.

Предположим вначале, что -монотонно возрастающаяфункция в области возможных значений случайной величиныХ. Тогда у функциисуществует однозначная обратная функцияи функцию распределения случайной величиныможно записать в виде:.

Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:. (4.3)

Для монотонно убывающейв области возможных значений случайной величиныХфункции

,

а после дифференцирования по обеих частей этого равенства имеем:

. (4.4)

Объединяя полученные в (4.3) и (4.4) результаты, получаем:

Если – непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, а– монотонная дифференцируемая функция, то случайная величинаявляется непрерывной и ее плотность вероятностейопределяется черезпо формуле:, (4.5)

где – функция, обратная к функции(отметим, что равенство (4.5) имеет место только в точках непрерывности плотностей вероятностейи).

Если дифференцируемая функция не является монотоннойв области

возможных значений случайной величины , то ее область определения можно разбить нанепересекающихся интервалов, на каждом из которых она монотонной будет и будет иметь однозначную обратную функцию. Применяя формулу (4.5) на каждом интервале монотонности, получаем:. (4.6)

Пример 1. Пусть– непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, а. Найти плотность вероятностей.

Решение. В данном случае функцияявляется монотонной при любых значениях(прифункциявозрастает, при- убывает). Функция, обратная к, имеет вид:, а ее производная. Поэтому в соответствии с (4.5):. (4.7)

а) Рассмотрим линейное преобразование вида над случайной величиной.

В соответствии с (4.7) в этом случае , а с учетом того, что

для плотности вероятностей случайной величины имеем выражение:

Полученный результат схематично можно записать в виде:

и он означает, что из равномерного распределения на отрезке можно получить равномерное распределение на любом отрезкепутем линейного преобразования.

б) Рассмотрим линейное преобразование вида над случайной величиной.

В соответствии с (4.7) в этом случае , а с учетом того, что

для плотности вероятностей случайной величины имеем выражение:

.

Полученный результат схематично можно записать в виде:

и он означает, что из стандартного нормального распределения можно получить нормальное распределение с любыми параметрами путем линейного преобразования.

Пример 2. Пусть, а. Найти плотность вероятностей.

Решение. В данном случае функцияне является монотонной в области возможных значений случайной величиныи имеет два интервала монотонностии. На каждом из интервалов функцияимеет однозначную обратную функцию:на первом интервалеи- на втором. Поскольку модуль производной,, то в соответствии с (4.6):,

а с учетом того, что , получаем:

,

при.

Пример 3. Пусть- строго монотонная функция распределения, а случайная величина. Тогда случайная величинаимеет заданную функцию распределения.

Решение. Действительно,.

Последнее равенство следует из того, что функция распределения случайной величины имеет вид:

.

Смысл примера 3. Предположим, что требуется получитьзначенийслучайной величиныс заданным законом распределения (смоделировать случайную величину). Для этого в соответствии с примером 3 необходимо найти функцию распределенияслучайной величиныи, если она имеет однозначную обратную функцию, то положить

,,

где - значения случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке(значенияможно получить путем обращения к датчику случайных чисел, входящему в стандартное математическое обеспечение любого персонального компьютера).