- •Теорема. Каждый вектор X можно представить единственным образом в виде лин.Комбинации векторов базиса
- •Теорема Множество l векторов пространства V является лин. Подпространством этого пространства выполняются
- •2)Пусть один из коэффициентов перед отличен от 0. Пусть для определенности . Умножая последнее из векторов на числа и вычитая из первых t векторов получим
- •Все максимальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов.
- •2)Пусть:
- •2) Если X – собст. Вектор оператора то вектор , где 0, тоже является собст. Вект. Для собств. Зн. (]
- •Теорема. В действительном n-мерном пр-ве V всякий лин.Оператор f имеет по крайней мере одно одномерное или двумерное инвариантное пространство
2) Если X – собст. Вектор оператора то вектор , где 0, тоже является собст. Вект. Для собств. Зн. (]
Т. Если – различные собств. значения, то соответствующие им собств. вект.– образуют лин.независ. систему.
(ctv) Пустьне все=0 пусть для определенности . Подействуем преобр.f на обе части(1): (2); ;
(2)-(3) = =0 (*)
Лин. комб. содержит лишь (k-1) векторов. Действуем на (*) преобр. f, затем умножаем (*) на , затем из первого результата вычитаем второй => уничтожится еще один вектор, продолжая данную процедуру, придем к равенству: но тогда = 0, но собственный вектор=> против.
№41
Теорема(Критерий подобия квадратных матриц) Две квадратные матрицы подобны т.и.т.т.к., когда они являются матрицами одного и того же лин. преобр. в разных базисах
Дост. Пусть A и B — квадр. порядка n над полем P, являются матрицами одного и того же лин. преобр. пр-ва V, тогда B=C -1AC (*), C-матрица перехода, С
Необ. Существ. Подобные матрицы порядка n–A,B выполняется (*)\
При заданном базисе между квадратичными матрицами n мерного линейного пространства существует взаимно-однозначное соответствие (по цветочку)
Пусть f линейное преобразование пр-ва V, которое в некотором базисе имеет матрицу A, т.к C , то она служит матрицей перехода преобразования f в базисе
№42Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора
Пусть базис пр-ва V. А f лин. оператор, собственный вектор f=> f(x)=(2)
в (1)=>перепишем (2) как )
ОСЛУ (**) относительно допускает=0 (*). Т.е. нужно решить многочлен n-степени, относительно (характеристич. многочл. преобр. f) => собств. значения обязательно должны быть корнями характерист. уравнения, =>для отыскания необходимо решить(*)
Пусть -корень этого ур. Подставим его в (**) и решим систему относительно , тем самым найдем координаты собственного вектора
Аналогично отыскиваются собственные векторы отвечающие другим собственным значениям
Легко видеть, что множество всех собственных векторов с собственным значением совпадает с множеством всех решений ОСЛУ
№43
Опр. Пусть f лин.опер. n-мерного лин пр-ва V над полем P. Подпространство V’ называется инвариантным относительно f, если для образ . Иначе инвариантно относительно f если.
Теорема. В действительном n-мерном пр-ве V всякий лин.Оператор f имеет по крайней мере одно одномерное или двумерное инвариантное пространство
Пусть - какой-нибудь базис в пр-ве V и пусть - матр. оператора f в этом базисе, тогда многочлен n степени с вещ. коэф. Существует 2 возможных случая: хар. многочлен имеет корень
1)-вещественный. Тогда система для нахождения собст.вектора (*) имеет ненулевое решение, кот.опред. собстве вектор отвеч.
. Очевидно, одномерное подпр. L()-инварант. подпр. относительно f
2)= +i-компл. Подставим корень в сист. (*) получим, что она имеет решение: (‘) Подставляя (‘) в (*), перенесем члены с в правую часть получим
Отделяя вещ и мним. части перейдем к след.сист. (*) и (**)
Введем в рассмотрение векторы и
Ясно, что x,y (собст.векторы). тогда в (*)и (**) примут вид , f(y)=(***),=> подпространство порожденное векторами x и y (L(x,y)) инвариантное подпр. oператора f(x)
Действительно, пусть , f(z)==y=
Размерность. Подпр., т.к. если бы были лин.завис. y=kx, то f(x)= и x был бы собственным вектором преобр с вещ.собств. значением, что невозможно
Следствие: пусть f-лин.оператор вещ. лин. пр-ва Vразмерности (zn+1), где n-натур.,тогда существует хотя бы одно одномерное инвариантное подпр. f, т.к. у f хотя бы один собств.вектор, отвечающий вещ.собст.значению—корню многочлена нечетной степени
№44
Теперь будем считать, что V- евкл.пр-во (т.е. в Vопред. операция скалярного умножения)
Опр. Лин.операторы f и называются сопряженными если имеет место равенство . Очевидно . (1)
Теорема. Пусть f и сопряженные операторы в V, ортонорм. базис вV. А—мат. f, а В — мат в (2). Тогда
Запишем (1) для пары векторов :
( f (),
()
№45
Теорема. В конечномерном евклид. пр-ве V каждый лин. оператор обладает единств.[(!)] сопряженным.
Возьмем в V ортонорм. базис f-лин. преобр. пр-ва, матр f в этом базисе.
Возьмем матрицу (1). Известно, что матрице при заданном базисе отвечает (!) оператор
Покажем, что f и сопряженные операторы.
Из (1)=>(по теореме о матрицах сопряженных операторов) ( f (), (2), т.е. для базисных векторов выполняется соотношение (@)
Возьмем И рассмотрим скаляр. произвед. и
==
=
На основание (2) получаем, что
,
Что означает что соотношение выполняется для , т.е. у лин.оператора f сопряженный—f*. Тогда (@) –
Единственность доказывается (ctv), с помощью утвержд.: «Если u»
№46
Опр. Лин.оператор самосопряженный(сс), если он совпадает со своим сопряжением, т.е. f=f*
Теор. Для того, чтобы оператор был СС необ. и дост., чтобы его матрица в ортонорм. базисе была симметрична
Дост. Пусть А-симм. мат, т.е.. Матрица А соотв.некоторому преобр. f, но тогда соответствует f*. Т.к.f=f*, т.е. f-cc преоб.
Необх. f-cc (f=f*) и его матр.в некотором ортн. базисе, но тогда матрицей f* является (по теореме о матрицах сопряж. операторов). , а это возможно, когда А-симм.
Теорема. Характеристический многочлен с.с.о.f в n-мерн.евкл.пр-ве имеет n действ.корней, среди кот. могут быть одинаковые
(ctv)хар.многчлн имеет компл.корень , при док-ве т.о инвар.прост-вах было установлено, что
, f(y)=(*) и L(x, y)-инв.пр-во с размерностью =z. Из (*)=> левые части равны, вычитая (1)-(2) получим:
0=(т.к.) => =0 –противоречие
№47
Теорема. Если f-сс, то собст.век-ры, отвечающие различным собств.значениям этого преобразования
Пусть различ. собст.зн. СС преобр. f. соотв. собст.век-ры, тогда ;
лев.части равны т.к.f-cc.преоб
№48
Опр. Ортог.дополнением подпр.Vk называется множество всех в-ров из Vn, ортогональных каждому вектору из Vk
Лемма. Ортогональное дополнение k-мерного подпр. Vk есть (n-k)-мерное подпр.
Пусть базис Vk. Вектор т.и.т.т.к. ()=0, …,()=0(*).
Действительно, если (*) выполняется
Обратно, при выполнении (*) xт.к=0
Выберем в Vn ортон.базис и обозначим через -координаты , а через коорд.х. Тогда (*) запишется в виде ОСЛУ в которой k уравнений и n неизвестных
Т.к. её строки являются строками из коэффициентов –лин.незав.(базис)
Совокупность всех решений определяет и, как известно, является(n-k)-мерное подпр.
№49
Теорема. Для всякого сс преобр. найдется хотя бы один ортонорм. базис, состоящий из собст. векторов этого преобр., в кот. матрица преобр. имеет диагональный вид.
Согласно теореме (*)/*Характеристический многочлен с.с.о.f в n-мерн.евкл.пр-ве имеет n действ.корней, среди кот. Могут быть одинаковые*/у с.с.о.f есть дейст.собст.значение x0, ему отвечает собст.вектор e1, длину кот.,не нарушая общности можно считать=1.
Пусть Р-совокупность всех векторов P иR имеем , т.е. P P подпр. V являющееся доп. к L(). По лемме[Ортогон. доп. k-мерного подпр. Vk есть (n-k)-мерное подпр.] dimP=n-1. Покажем что P-инвариантное подпр.оператора f
По теореме(*) имеется хотя бы одно вещ.собст.знач. опер-ра f, кот. отвечает соб.вектор P
Продолжая это построение получим n собст.векторов образ.ортон.базис, т.к. f)=обст. зн. f, то матр f в базисе имеет вид
A=
№50
Если - корень кратности m характерист. многочлена самосопряженного преобразования f, то ему соответствуют n-(n-m)=m линейного независимых систем векторов.
Согласно теореме /*для всякого сс преобр. найдется хотя бы один ортонорм. базис, состоящий из собст. векторов этого преобр., в кот. матрица преобр. имеет диагональный вид.*/
базис в кот. матрица преобразования имеет диагональный вид. В этом же базисе
E-A=(*)
Пусть, например корень кратности m характерист.многочлена, т.е. , , тогда в матрице обращаются в 0 m строк, при , а остальные диагональные элементы не равны 0
система = имеет лин.независимых решений собственных векторов, соответствующих собственному значению
-
Опр. лин. пр-ва. След.из аксиом лин. пр-ва. Док.одно
-
Размерность и базис лин. пр-ва. Док., что любой вектор лин. пр-ва можно (!) образом разложить по базису.
-
Док, что если система векторов лин незав. и каждый вектор лин. пр-ва может быть разложен по векторам этой системы, то указанная система векторов является базисом.
-
Необ. и дост. усл. для того, чтобы некоторое подмножество векторов лин пр-ва было лин. подпр. Док, лин обол данной системы векторов лин пр-ва является лин.подпр. этого пр-ва.
-
Док сумма и пересечение двух подпр лин прос являются лин подпр этого пр-ва.
-
Док, что слагаемые подп прямой суммы пересекаются лишь по 0. Док обратное. Необ и дост усл чтобы лин. пр-во являлось прям сум своих подпр. Размерность прямсуммы.
-
Док, что любая квадр невырож мат - матр перех от одного базиса к другому.
-
Т о связи между координ вект в разных базисах.
-
Основная теорема о линейной зависимости.
-
Док, что все макс линейно независимые системы векторов содержат одинаковое количество векторов.
-
Экв системы векторов. Т о == рангов экв систем.
-
Теорема о ранге произведения матриц.
-
Теорема об изоморфизме лин пр-в. Значение теоремы.
-
Док, что мн-во решений ОСЛУ с n, являются лин. подпр пр-ва P^n. Т о размер этого подпр. Т о связи между реш неоднородных и соответствующих однородных систем.
-
Евк пространство. След аксиом скал произв, н-во К-Буняк, н-во , об. т. Пифагора.
-
Док, что любая сист. попарно вект, 0, лин. незав..
-
Т о ортон базиса. Процесс ортогонализации.
-
Т о представлении скал. произв в координ форме.
-
Теорема об изоморфизме евклидовых пространств.
-
Унит пр-во След аксиом скал произв, н-во К-Буняк, н-во , Ортон базисы, скалярное произведение в координатах.
-
Необ. и дост. усл. симм. (кососим.) билин. формы. Представление билин. формы в виде суммы симм. и косос
-
Преобразование мат билин формы при переходе в лин пр-ве к новому базису. Ранг билинейной формы.
-
Квадре формы. Ранг квадр формы. Т о базиса, в кот квадр форма имеет канонвид. Метод Лагранжа
-
Метод Якоби приведения квадр формы к канон
-
Кв. формы в вещ лин пр-ве. Закон инерц кв форНеоб признк «+» определ квадр формы. Кр Сильвестра. Следс.
-
Необ и дост условия + полуопределен кв.формы.
-
Необ и дост усл - определ кв формы (след из кр Силь).
-
Теорема о «--» полуопределенности кв формы.
-
Опред Грама. Т об определит Г. Обоб н-ва К-Буняк.
-
Лин преобр (операторы) лин пр-ва. Св-тва
-
Док, что если f и g — лин преоб пр P, то f+g, fg, lg — лин преоб. Полином от линейного преобразования.
-
Матр лин преобр. Т о матрице f+g, fg лин преоб
-
Ранг и ядро лин преобр. Докчто ранг лин преобр == рангу матрицы этого преобразования в любом базисе.
-
Т о связи коорд вект и образа при лин преоб лин пр-ва.
-
Док, невыр преобр -- необ и дост усл его взаим однозн
-
Необ и дост усл обратимос лин опер. (!) обратн опер.
-
Т о завис между матр преобр в разных базисах.
-
Док одно из свойств подобных квадр матриц.
-
Т о == характерист многочленов мат. Т Гамил-Кэли.
-
Соб зн и собсте век лин преобр. Т о лин незав собст вект., отвечающих различным собственным значениям.
-
Критерий подобия квадратных матриц.
-
Алгоритм нахождения собс век и собст зн лин операт
-
Инвариантные подпр. Теорема об инвар подпр
-
Сопр. операт. Док, что матрицы сопряж опер, в ортонм базисе, то A = Bт.
-
Док, в кон.мер. евк пр-ве кажд лин оп имеет (!) сопр.
-
Необх и досте усл самосопр преоб. Т о корнях характ многочл сс преобр в n-мерном евк пр-ве.
-
Док, в сс преоб собс вект, отвеч разным собст зн пр .
-
Ортог доп подпр. Док, что орт доп k-мерн подпр Vk есть (n-k)-мерное подпр
-
Док, для cc преобр найдется хоть1 ортон базис, сост из собс вект этого преобр, в кот мат пр имеет диагон вид
-
Док, что если l - корень кратн m хар многочл сс преобр f, то ему соответс n-(n-m)=m лин незав систем вект
-
Построение ортон базиса, сост из собст вект сс преоб
-
Орт преоб. Док, что орт преобр переводит ортон базис в ортон базис. Док, лин преоб, переводящее хоть 1 ортон базис в ортон ортогонально.