2)Пусть один из коэффициентов перед отличен от 0. Пусть для определенности . Умножая последнее из векторов на числа и вычитая из первых t векторов получим

Получившееся рав-ва показывают. что k векторов, стоящие в левых частях являются лин.комб. (k-1), векторов

В силу предположения индукции система k векторов образ. левые части равенств лин.зависима, т.к. в противном случае k<k-1, что невозможно

значит, существуют числа из которых по крайней мере одно не равно 0, такие что

+…+

раскрыв скобки, получаем,

=> векторы лин.зависим, но эти векторы часть системы (*), тогда (*) лин зависима, что противоречит условию теоремы

№10

Все максимальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов.

Пусть (**) две произвольные максимально независимые линейные системы

Докажем что s=k. линейно зависима => найдутся такие числа в поле Р, не все равные 0 и такие что

Выразим . Т.о. система (*) линейно выражается через (**), аналогично система (**) линейно выражается через (*)

В силу основной теоремы о линейной зависимости k=s

№11

Опр. Система векторов линейно выражается через систему векторов , если каждый вектор первой системы линейно выражается через векторы второй системы.

Опр. Две конечные системы векторов называются эквивалентными, если первая система векторов линейно выражается через вторую, а вторая ¾ через первую.

Теорема Ранги эквивалентных систем равны

Пусть

линейно выражается через,через , через , из основной теоремы о линейной зависимости

№12

Ранг произведения не больше ранга сомножителей

№13

Опр. Два линейных пространстваV1 и V2 называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, такое что:

(прос-тва над вещ. полем, пр-ва над комплексным)

Теорема. Чтобы пр-ва V и V”были изоморфны необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые размерности

Возьмем базисы поставим в соответствие :V и изоморфны

Заметим, что при изоморфном соотв. нулевому вектору 0 из из лин.зависимости и обратно

Макс. число линейно независимых векторов в обоих пространствах должно быть одинаковым

Значение Лин. прос-ва могут состоять из чего угодно (столбцов, многочл., чисел, векторов, функций) — природа элементов не влияет на свойства, связанные с лин. операциями. Все св-ва у двух изомор. пр-тв одинаковы. Если условимся не различать между собой изомор. пр-ва, то для каждой размерности найдется (!) лин. прос-во.

№14

Множество всех решений ОСЛУ (*) с n неизвестными над полем P, являются лин. подпр. пр-ва Pn

тогда

b=0

Из теоремы о линейном подпространстве К является линейным подпространством

К называют пространством решений

Размерность К решений равна n-r, где r – ранг матрицы системы

(1)

(2)

(где минор порядка ) отмечен от нуля

Докажем что b (тогда - базис). Рассмотрим вспомогательный вектор , d(), где =…=

вектор d является лин.комб. решений системы (*), а значит является её решением.

Т.о. -решение, которое получается при нулевых значениях неизвестных, но тогда , т.е. выполняется (4)

значит система векторов является базисом пр-ва К и значит пространство К является n-r мерным

№15

Опр. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам x и у из E сопоставлено вещественное число (обозначаемое (x,y)), и это соответствие удовлетворяет следующим требованиям, для любых векторов x, у и z и числа а:

Cлед.

Неравенство Коши-Буняковского:

Если то верно следующее(*)

Значит дискриминант многочлена (*) неположительный, т.е.

=>

Неравенство (*)

Если —аналог т.Пифагора

№16

Опр. Базис называется ортогональным, если векторы (1) попарно ортогональны, если | |=1—ортонормированным

т.е.

Теорема. Любая система попарно ортогональных векторов <>0 линейного пространства V лин.независима

)

система линейно независима

№17

Во всяком евклидовом пространстве Е" существует ортонормированный базис.

Пусть в Е" дан некоторый, неортогональный базис (g₁,g₂,..,g_n). Построим вначале базис из попарно ортогональных элементов.

Последовательное построение этих элементов будем называть процессом ортогонализации базиса.

Поделив каждый из векторов на свою длину, получим ортонормированный базис

Ортогонализация Грама-Шмида

№18

Пусть чтобы (“) необходимо и достаточно чтобы –ортогональны

(*)

При ортонормированном равенство (*) переходит в (“)

Необ. Равенство (“) подразумевает в (*), а это и есть условие ортонормированности

Замечание Для произвольного x= в ортонормированном базисе

будем называть () проекцией на

Равенство () означает что координаты являются проекциями на базисные вектора

№19

Любые два евклидовых пространства одной размерности изоморфны. Евклидовы пространства разных размерностей не изоморфны.

Достаточно доказать что любое пространство изоморфно Rn

В Евклидовом пространстве V существует ортонормированный базис каждому поставлено в соответствие пространства Rn, установленное соответствие является взаимно однозначным

Rn

Остается доказать что для соответствующих пар сохраняется величина скалярного произведения

Чтд

№20

Опр.Комплексное линейное пространство V называется унитарным (или эрмитовым) пространством, если задан закон, сопоставляющий каждым двум векторам x и у из V комплексное число (x,у), называемое их скалярным произведением, и этот закон удовлетворяет следующим аксиомам, каковы бы ни были векторы x, у и z и число а:

1)(

3

Следст.1.

2.

К-Б=|(x, y)|²

Неравенство треугольника

скал произвед.

№30

Опр. Преобразование (оператор) f пространства V называется линейным если:

Свойства линейных преобразований

лин.преобр. пр-ва V то f(V) является линейным подпространством пространства V

то (3) верно (по 2 елочкам) , а т.к. V-лин.пр. тоz=ax+by∈V f(z)=f(ax)+f(by)=

4) f лин.пр. еслилинейно зависимая, то лин.зависимой является каждая система (f( при этом сохраняются все линейные соотношения между векторами

5)Множество kern является лин.подпр. пространства V [Пусть x, y ∈ kern; a, b∈P f(ax+by)=f(ax)+f(by)=]

6)Для взаимно-однозначного соответствия необ. И дост. Чтобы отличный от 0 вектор обращался в отличный от 0 (kern f=0 состоял из одного элемента)

7)rang+defect=dim

№31 пр-ваV

Опр. Суммой называется преобразование пространства, которое для любых x из V задается как

Т.

=

Сложение обладает св. ассоциативности и коммутативности

Опр. Произведением называется пр.пр-ва которое для любых x из V задается формулой

Т.

Св. ассоциативно, но в общем случае не коммут.

Т.3умножение линейного пр. на число является лин.пр

Опр. Полиномом называется пр.пр-ва которое для любых x из V задается формулой

По т (1)-(3) полином есть линейное пр. пр-ва

№32

Опр. Матрицей лин. преобр. в базисе называется мат. A: (*)(A.

Линейное преобразование полностью определяется вектором (*), которое определяют базис {e}ⁿ и матрицу A.

Теорема для матриц лин.преобразований A и B в базисе {e}ⁿ матрицей преобразований является