№1

Опр.Множество w называется линейным пространством, а его элем. -векторами, если:

*задан закон (+) по кот. любым двум элементам х,у из w сопоставляется элемент называем. их суммой [х + у]

*задан закон (* на число a), по кот.элементу х из w и а сопоставляется элемент из w, называемый произведением х на а [ ах];

* выполнены

следующие требования (или аксиомы):

След c1. нулевой вектор {ctv 0₁ и 0₂. по a3: 0₂ + 0₁ = 0₂ и 0₁ + 0₂ = 0₁. по a1 0₁ + 0₂ = 0₂ + 0₁ => 0₁ = 0₂.}

c2. .{ctv, a4}

c3. 0 вект.{a7}

c4. a(число)*0=0.{a6,c3}

c5. х (*) -1 =0 вект, противоположному х, т.е. (-1)х = -х. {a5,a6}

c6. В w определено действие вычитание: вектор х называется разностью векторов b и а, если х + а = b, и обозначается x = b - a.

№2

Число n называется  размерностью лин. пр-а L, если в L существует система из n лин. незав. векторов, а любая система из n+1 вектора — лин. зависима. dimL = n. Пространство L называется n- мерным.

Упорядоченная совокупность n лин. незав. векторов n мерного независ. пространства – базис

Теорема. Каждый вектор X можно представить единственным образом в виде лин.Комбинации векторов базиса

Пусть (1) — базис n-мерного лин. пр-ва V, т.е. совокупность линейно независимых векторов. Совокупность векторов будет лин. зависимой, т.к. их n + 1.

Т.е. существуют числа , не все равные нулю одновременно, что причѐм (иначе (1) линейно зависимы).

Тогда где разложение вектора x по базису(1) .

Это выражение единственно, т.к. если существует другое выражение (**)

вычитая из (*) равенство (**),

получим

Т.к. линейно независимы, то. Чтд

№3

Теорема. Если- лин. независимые векторы пространства V и каждый вектор x из V может быть представлен через, то эти векторы образуют базис V

Док-во: (1)-лин.независима =>остается док-ть, что для лин.зависимы. По усл. Каждый вектор а выражается через (1): , рассмотрим, rang≤n => среди столбцов не больше nлинейно независимы, но m > n=> m столбцов линейно зависимы=>s=1, n

Т.е.векторы лин.зависимы

Т.о пространство V n-мерно и (1) его базис

№4Опр. Подмножество L лин. пр-ва V называется лин. подпр. этого пространства если относительно заданных в V операциях (+) и (*а) подпространство L является линейным пространством

Теорема Множество l векторов пространства V является лин. Подпространством этого пространства выполняются

(дост) пусть (1) и (2) выполнены, для того что L подпрост.V остается доказать что выполнены все аксиомы лин. пр-ва.

(-x): -x+x=0 д. а(х + у)= ах + ау;

(а-б) и (д-з) вытекает из справедливости для V докажем (в)

(необходимость) Пусть L является лин. подпространством этого пространства, тогда (1) и (2) выполняются в силу определения лин. пр-ва

Опр.Совокупность всевозможных лин. комбинаций некоторых элементов (x_j) лин. пр-ва называется линейной оболочкой

Теорема произвольное множество всех лин. комбинаций векторов V с действ. коэф является лин. подпр V (линейная оболочка данной системы векторов лин. пр. является лин.подпр этого пр.)

№5

Опр.Непустое подмножество L векторов лин. пр-ва V называется лин. подпространством, если:

а)сумма любых векторов из L принадлежит L

б)произведение каждого вектора из L на любое число принадлежит L

Сумма двух подпространств L является снова подпространством L

1) Пусть y₁+y₂ (L₁+L₂) <=> y₁=x₁+x₂, y₂=x’₁+x’₂, где (x₁,x’₁)L₁, (x₂,x’₂) L₂. y₁+y₂=(x₁+x₂)+(x’₁+x’₂)=(x₁+x’₁)+(x₂+x’₂), где (x₁+x’₁) L₁, (x₂+x’₂)L₂ => первое условие линейного подпространства выполняется.

ay₁=ax₁+ax₂, где (aх₁)L₁, (aх₂)L₂=> т.к. (y₁+y₂) (L₁+L₂)_, (ly₁) (L₁+L₂) => условия выполняются => L₁+L₂ – линейное подпространство.

Пересечение двух подпр. L₁ и L₂ лин. пр-ва L также является подпр. этого пространства.

Рассмотрим два произвольных вектора x,y, принадлежащих пересечению подпространств, и два произвольных числа a,b:.

По опр. пересечения множеств:

=> по определению подпространства линейного пространства:,.

Т. К. вектор ax + by принадлежит и множеству L₁, и множеству L₂, то он принадлежит, по определению, и пересечению этих множеств. Таким образом:

.

№6

Опр.Говорят, что V является прямой суммой своих подпр. если и б) это разложение единственно

б') Покажем, что б) равносильно б’)

При б) верно б’)

Всякие (M, N) из пересекаются лишь по нулевому вектору

Пусть ∃ z ∈

Справед. обрат. L=

(Ctv)

противоречие

Теорема Чтобы (*) необходимо и достаточно чтобы объединения базисов ( составляло базис пространства

(Необ) пусть (*) и векторы - базисы подмножеств. и имеет место разложение по ; x раскладывается по базису L, чтобы утверждать, что( составляют базис, нужно доказать их линейную независимость все содержат 0 0=0+…+0. В силу единственности разложения 0 по : => из-за лин. независимости базиса => ( – базис

(Дост.) Пусть ( образует базис L единств. разложение (**) по крайней мере, одно разложение существует. В силу единственности (*) => единственность (**)

Замечание. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей подпространства

№7

Любая невырожденная квадратичная матрица может служить матрицей перехода от одного базиса к другому

Пусть в n мерном линейной пространстве V имеется два базиса и

(1) =A, где здесь элементы * и ** не числа но мы распространим на такие строки определенные операции над числовой матрицей.

т.к. иначе векторы ** были бы лин.зависимы

Обратно. Если то столбцы А линейно независимы =>образуют базис

№8

Координаты и связанны соотношением , где элементы матрицы перехода

Пусть известно разложение элементов "нового" базиса по «старому»

Тогда справедливы равенства

=

= или

=0

Но если линейная комбинация линейно независимых элементов равна 0 то =>

№9

Основная теорема о линейной зависимости

Если (*) линейно выражается через (**) то n<=m

Докажем индукцией по m

m=1: система (*) содержит 0 и лин. зав- невозможно

пусть верно для m=k-1

докажем для m=k

может оказаться, что 1) , т.е. в-ры (1) являются лин.комб. лин. в-ров (2)Система (1) лин.незав., т.к. является частью лин.незав. системы (*). Т.к. в системе (2) только k-1, векторов, то по предположению индукции получаем k+1<k-1- противоречие