- •1. Введение
- •2. Основные виды теплообмена.
- •2.1. Теплопроводность.
- •2.1.1. Распределение температур в телах на стационарном режиме.
- •2.2. Конвекция.
- •3.1.1. Процесс теплопередачи в пограничном слое.
- •3.2. Граничные условия теплоотдачи.
- •3.3. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена.
- •3.3.1 Уравнение теплопроводности. В основу описания заложен закон сохранения энергии.
- •3.3.2. Уравнение движения.
- •3.3.3 Уравнение неразрывности (сплошности).
- •3.4.Основы теории подобия конвективного теплообмена
- •3.5. Получение критериев подобия методом преобразований подобия.
- •3.5.1. Физический смысл критериев подобия.
- •3.6.2. Теплоотдача при течении жидкости в трубе.
- •4. Теплообмен теплопроводностью.
- •4.1. Нестационарный тепловой режим.
- •4 .1.1 Аналитическое решение уравнения теплопроводности.
- •4.1.1.1. Решение методом разделения переменных.
- •4.1.2 Численные решения задач теплопроводности.
- •5. Сложные процессы теплопередачи.
- •5.1 Однослойная плоская стенка.
- •5.2. Многослойная плоская стенка.
- •5.5.1 Увеличение коэффициента теплоотдачи.
- •5.5.2 Оребрение теплопередающих поверхностей.
- •5.6. Теплоизоляция..
- •5.6.1. Изоляция созданием газовой пленки на поверхности твердой стенки.
- •6. Теплообмен излучением.
- •6.1 Законы излучения абсолютно черных тел.
- •6.2. Излучение реальных тел.
- •6.4. Лучистый теплообмен между двумя параллельными пластинами.
- •6.5. Влияние экрана на лучистый теплообмен.
4. Теплообмен теплопроводностью.
Математическая теория теплопроводности строится на основе дифференциального уравнения, называемого уравнением Фурье. С физической точки зрения это уравнение представляет собой принцип сохранения энергии, сочетаемый с законом Фурье.
Выделим внутри тела элементарный объем. В этом объеме могут действовать источники тепловыделения, как это имеет место, например, в электрических проводниках при течении тока, или в тепловыделяющих элементах атомных реакторов. Количество теплоты dQист , выделенное внутренними источниками, за вычетом количества теплоты dQвыт , вытекшего сквозь поверхность наружу, идет на приращение внутренней энергии вещества в выделенном объеме:
dU = dQист - dQвыт (4.1)
Рис.4.1. К выводу уравнения теплопроводности
Малые размеры выделенного объема позволяют считать теплопроводность в его пределах постоянной. Размеры ребер выделенного параллелепипеда (рис. 4.1) составляют соответственно по осям dx, dy, dz. Если объемная мощность тепловыделения, т.е. количество теплоты, выделяющееся в единице объема вещества за единицу времени, обозначить через qv , где размерность qv = ккал/м3·ч или Вт/м3, то за время dτ величина тепловыделения :
dQист = qv·dxdydzdτ (*)
Для вычисления dQвыт рассмотрим сперва направление, определяемое осью Х. Согласно формуле (4.1) в этом направлении через левую грань поступает внутрь выделенного объема количество теплоты:
Через противоположную грань за тот же промежуток времени выходит количество тепла:
Суммарное количество вытекающего тепла
Очевидно, полное количество вытекающего из параллелепипеда тепла во всех трех направлениях равно:
dQвыт = (**)
Приращение внутренней энергии вычисляется через теплоемкость и приращение температуры:
, (***)
где [с] = ккал/кг·град или Дж/кг·град, [ρ] = кг/м3,
[сρ] = ккал/м3·град или Дж/м3·град.
Подставляя выражения (*), (**) в (***) и, производя сокращения, получим:
(4.2)
Дифференциальное уравнение (4.2) является основой аналитической теории теплопроводности, которую создал Фурье в первом десятилетии XIX века, одновременно положив начало разработке многих родственных задач математической физики. В уравнение Фурье не вводил понятия внутреннего тепловыделения, а, кроме того, для описания теплопроводности использовал понятие теплорода.
Для обозначения суммы вторых производных температуры по координатам позже стали использовать символ 2 , так называемый лапласиан. Тогда уравнение (4.2) запишется:
(4.2а)
Если ввести в формулу коэффициент температуропроводности а :
, м2/сек, (4.3)
то уравнение (4.2) можно выразить в следующем виде:
(4.4)
Физический смысл уравнения Фурье в том, что им связывается пространственное распределение температуры с изменением его во времени. Если упростить выражение (4.4), исключив источник внутреннего тепловыделения, то можно провести анализ связи распределения температур с потоком теплоты, протекающим через твердое тело. Чем выше коэффициент а, тем быстрее меняется температура в теле. Обратная коэффициенту а величина характеризует температурную инерцию. Именно отношение коэффициента теплопроводности к теплоемкости этого объема может характеризовать скорость реакции вещества на изменение теплопотока.
Интересно рассмотреть графическую интерпретацию уравнения Фурье в применении к одномерным задачам.
Рис.4.2. Геометрический смысл градиента температуры
Пусть в некоторый момент времени вблизи точки М температура t = f (x) распределена так, как показано на рис. 18 . Обратим внимание прежде всего на то, что в геометрическом смысле первая производная , т.е. величина grad t есть тангенс угла наклона касательной к кривой:
(4.5)
Соответственно вторая производная характеризует интенсивность приращения тангенса вдоль координаты х. В условиях одномерности и равенства нулю внутреннего тепловыделения qv (как мы приняли выше) уравнение (65) превращается в уравнение:
(4.6)
и производная в левой части равенства будет положительной, т.е. температура к следующему моменту времени будет возрастать – тело прогревается. Кроме того, из рис.4.2 можно видеть, что тангенс угла наклона касательной вдоль оси х нарастает, что свидетельствует об увеличении темпа нагревания вдоль оси х.
Очевидно, что если в районе какой-то точки тела температура меняется линейно, то вторая производная изменения температуры во времени равна 0, а, следовательно , и процесс теплопроводности стационарен.
Применительно к пространственной задаче стационарной теплопроводности и при отсутствии внутреннего тепловыделения уравнение Фурье получает вид:
; 2t = 0 (4.7)
Это уравнение принадлежит к категории уравнений Лапласа.
В цилиндрических координатах уравнение (4.7) записывается следующим образом:
(4.8)