фин менеджмент

скому ожиданию квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.

D(x) = M(x-M(x))2,

D(x) = ∑(x − M (x))2 p(x) ,

x

D(x) = ∑(x −∑xp(x))2 p(x) .

x x

Для непрерывного случая:

+∞

,D(x) = ∫(x − M (x))2 f (x)dx

−∞ +∞ +∞

.D(x) = ∫(x − ∫xf (x)dx)2 f (x)dx

−∞ −∞

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины, а дисперсия – ее рассеяние. Размерность дисперсии – квадрат размерности случайной величины. Для оценки рассеяния через показатель, выраженный в денежных единицах, используется среднеквадратичное отклонение, равное квадратному корню из дисперсии:

σ = D(x)

Относительное рассеяние случайной величины характеризует относительное среднеквадратичное отклонение, то есть отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию.

Рассматривая риск, его разделяют на ту часть, которую можно избежать путем диверсификации (множество) ценных бумаг и неизбежный риск, который таким способом избежать не удастся.

Экономическая теория предполагает, что существует соотношение между доходом, который инвесторы желают получить и неизбежным риском.

Моделью такого соотношения может служить линия рынка ценной бумаги, отраженная на рисунке 8.1.

Линия рынка ценной бумаги - равновесное линейное соотношение между относительным ожидаемым доходом и систематическим риском.

Ожидаемый доход за год показан на рисунке на вертикальной оси, а неизбежный риск на горизонтальной. Линия риска пересекает вертикальную ось при некотором положительном значении уровня дохода, поскольку риск в этой точке отсутствует такой уровень дохода называют безрисковой ставкой. По мере роста риска необходимый уровень дохода растет. Уровень наклона харак-

251

теризует не склонность инвесторов к риску. Чем меньше угол наклона, нем больше склонность инвесторов к риску. Если бы инвесторы были вовсе безразличны к риску, линия рынка ценной бумаги была бы горизонтальной.

относительный ожидаемый доход за год

премия за риск

безрисковая ставка

неизбежный риск

Рисунок 8.1 - Линия рынка ценной бумаги

Линия рынка ценной бумаги отражает выбор между ожидаемым доходом и неизбежным риском в определенный момент времени.

относительный ожидаемый доход за год

положение при более высоких процентных ставках

первоначальное положение

неизбежный риск

Рисунок 8.2 - Изменение положения линии рынка ценной бумаги при повышении процентных ставок

252

Положение этой линии может меняться с течением времени в результате изменения процентной ставки и психологии инвесторов.

Изменение положения линии рынка ценной бумаги вследствие изменения процентных ставок отражено на рисунке 8.2.

Психология инвесторов также может измениться, например, вследствие ожидания экономического роста или спада. На рисунке 8.3 отражено изменение положения линии рынка ценной бумаги вследствие изменения настроения инвесторов от более пессимистического к более оптимистическому.

относительный ожидаемый доход за год

пессимизм

оптимизм

неизбежный риск

Рисунок 8.3 - Изменение положения линии рынка ценной бумаги при изменении психологии инвесторов

Итак, избыточный доход на рыночный портфель (превышающий безрисковую ставку) известен как рисковая премия.

Таким образом, ожидаемый относительный доход: r = i + h,

где: r - относительный ожидаемый доход; i - безрисковая ставка;

h - премия за риск.

Пример. Текущая ставка по государственным ценным бумагам (используемая нами как безрисковая) составляет 10%, мы оцениваем требуемую инвесторами премию за риск как 6 %. Определите прогноз рыночного дохода.

Решение: 0,10 + 0,06 = 16%.

Далее в этой части относительный ожидаемый доход мы будем считать синонимом требуемой нормы доходности, действительно в этом пункте ожида-

253

ния инвесторов в основном понимались в смысле их требований к финансовым инструментам.

Прежде чем рассматривать стоимость основных ценных бумаг посмотрим основы теории анализа дисконтированных потоков наличности.

Под будущей стоимостью понимается ценность платежа, полученного в настоящий момент времени в будущем.

S = P(1+i)n

где i - норма дисконта, отражающая стоимость капитала.

По своей форме формула идентична формуле наращения для сложного процента, однако, смысл ее несколько иной, поскольку норма дисконта не является реальной - это модель.

Пример. Определите, какой сумме будут эквивалентны через 3 года 70 000 руб, имеющиеся сейчас, если стоимость капитала - 18%.

Решение: 70000 х (1+0,18)3 = 1 15012,24 руб.

Под текущей стоимостью понимается ценность платежа, ожидаемого через несколько лет в настоящий момент времени.

P = (1+Si)n

где i - норма дисконта, отражающая стоимость капитала. По своей форме форма идентична формуле дисконтирования для сложного процента, однако, смысл ее несколько иной, поскольку норма дисконта не является реальной - это модель.

Пример. Определите, какой сумме эквивалентны сейчас 60 000 руб., ожидаемые через 4 года, если стоимость капитала - 19%.

Решение: 60000 х (1+0,19)-4 = 29920,12 руб.

Перейдем к определению стоимости облигаций. Номинальная стоимость - установленная стоимость актива.

Номинальный процентный доход - установленная ставка процента по инструменту финансового рынка. Годовой объем процентных выплат, деленный на номинальную стоимость инструмента.

Облигация - обязательство выплачивать установленный процентный доход на протяжении определенного периода, по истечении которого владельцу облигации выплачивается ее номинальная стоимость.

254

Стоимость облигации может быть рассчитана как текущая стоимость потоков денежных выплат.

Или

где P - текущая стоимость потока платежей,

C - годовые процентные выплаты, определяемые номинальным процентным доходом,

S - номинальная стоимость,

p - требуемая норма прибыли, определяемая рискованностью облигаций, n - число лет до погашения.

Пример. Определите рыночную цену облигации номиналом 1000 руб., которая обеспечит получение 14%-го дохода по облигациям с номинальным доходом 12% годовых и оставшимся до погашения сроком 10 лет.

Решение:

Рассмотрим, что произойдет при изменении стоимости облигаций.

1.Когда необходимый уровень дохода превышает установленный по облигации процентный доход, рыночная цена облигации уступает ее номинальной стоимости. О такой облигации говорят, что она продается с дисконтом.

2.Когда необходимый уровень дохода уступает установленному уровню номинального процентного дохода, рыночная цена облигации превышает ее номинальную стоимость. О такой облигации говорят, что она продается с премией.

3.Когда необходимый уровень дохода равен номинальному процентному доходу, рыночная цена облигации равна ее номинальной стоимости.

4.Если процентные ставки растут, рыночная цена облигации падает.

5.Если процентные ставки падают, рыночная цена облигации растет.

6.При изменении требуемой нормы доходности рыночная цена облигации изменится тем сильнее, чем длительней период ее погашения.

255

7. При изменении требуемой нормы доходности рыночная цена облигации изменится тем больше, чем меньше ее номинальный процентный доход.

Если проценты по облигациям выплачиваются дважды в год, расчеты проводятся по следующей модифицированной формуле:

где P - текущая стоимость потока платежей,

C - годовые процентные выплаты, определяемые номинальным процентным доходом,

S - номинальная стоимость,

p - требуемая норма прибыли, определяемая рискованностью облигаций, n - число лет до погашения.

Пример. Определите норму доходности по облигации, если номинальный процентный доход 10% с выплатами каждое полугодие, срок оставшийся до погашения 12 лет, номинальная стоимость 1000 руб, рыночная цена облигации 946 руб.

Определим стоимость бессрочных облигаций.

Бессрочная ценная бумага - инвестиционный инструмент, обеспечивающий получение фиксированных денежных выплат на протяжении неограниченного срока.

Примером бессрочных ценных бумаг могут служить британские консоли, выпущенные в начале XIX века, являющиеся обязательствами британского правительства выплачивать фиксированный процентный доход вечно.

256

Пусть вложение в бессрочную облигацию обеспечивает вечное получение ежегодных выплат в размере C, тогда:

где P - текущая стоимость потока платежей, C - ежегодные выплаты,

p - требуемая норма прибыли.

Поскольку сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

∞1

1

P = C ( ______ - 1 ), 1

1 - ___

1+p

1+p

P = C ( _____ - 1 ), 1+p-1

P = Cp

257

Пример. Определите рыночную цену бессрочной облигации, обеспечивающую ежегодную выплату 50 руб., если приемлемый уровень дохода составляет 12%.

Решение: 50 руб. : 0,12 = 416,67 руб.

Перейдем к определению стоимости обыкновенных акций.

Если период владения акциями составляет год, относительный доход составит:

p = D + PК −1

PН

где p - относительный доход, D - дивиденды,

Pк - цена в конце периода владения, Pн - цена в начале периода владения.

Пример. Определите относительный доход, если цена акции в начале года составляет 50 руб., в конце года организация выплатила дивиденды 2 руб., а цена акции составила 55руб.

Решение.

2руб. + 55руб.

p = ___________ = 14%. 50 руб.

Рыночная цена акции при многолетнем владении составит:

где P0 - текущая стоимость потока платежей, цена акции в начальный момент, Di - годовые дивидендные выплаты в год i,

Pn - цена акций в конце периода владения, p - норма прибыли,

n - число лет владения.

Пример. Определите относительный процентный доход при двухлетнем владении акцией, если начальная цена акции составляла 50 руб., дивиденды

258

через год 2 руб., а через два года 3 руб., цена акции в конце периода владения

58 руб.

Решение.

Норма доходности является решением уравнения: 2 руб. 3 руб. 58 руб.

50 руб. = _____ + _____ + ______ . (1+p) (1+p)2 (1+p)2

Ответ. 12,5%.

Если предполагается вечное владение акцией, процентный доход является решением уравнения:

где P0 - текущая стоимость потока платежей, цена акции в начальный момент, Di - годовые дивидендные выплаты в год i,

p - норма прибыли.

∞ - знак бесконечности.

Определим цену акции на основе дивидендной модели постоянного рос-

та.

Предположим, что ожидается рост дивидендов организации с постоянным темпом, тогда:

∞ D0 (1+g)i

P0 = ∑ _______ , i=1 (1+p)i

где P0 - текущая стоимость потока платежей, цена акции в начальный момент, D0 - годовые дивидендные выплаты в на настоящий момент,

p - норма прибыли,

g - ожидаемый уровень роста дивидендов.

Предположим g < p, умножим уравнение, отраженное выше на (1+p) / (1+g) и вычтем, то, что получилось из первоначального уравнения, получим:

259

(1+p)

P0 [_____ - 1] = D0 , (1+g)

P0(p-g) = D0(1+g),

поскольку D0 (1+g) = D1 ,

D1

P0 = ___ , p-g

p = D1 + g P0

Пример. Определите рыночную цену акции, если предполагаемые дивиденды через год составят 4 руб., темп их роста 6%, требуемая норма доходно-

сти 14%.

Решение: 4 руб. : (0,14 - 0,06) = 50 руб.

Рассчитаем теперь соотношение между ценой на акцию и прибылью на акцию. Предположим, доля прибыли не выплачиваемой на дивиденды во всей прибыли постоянна и составляет b, тогда дивидендный выход (отношение дивидендов к прибыли) составит:

D1

1 - b = __ ,

E1

где E1 - прибыль на одну акцию через год.

260