Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МУ к контр заоч по Эконом_инф.docx

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

5. Пример выполнения контрольной работы

5.1. Задание по теме «Системы счисления»

При переводе дробных чисел перевод провести с точностью 4 знака, после запятой.

₁₎Сделать перевод числа из десятичной системы счисления, а затем проверить результаты, выполнив обратные переводы:

2) Сделать перевод числа из восьмеричной системы счисления, а затем проверить результаты, выполнив обратный перевод:

3) Сделать перевод числа из шестнадцатиричной системы счисления, а затем проверить результаты, выполнив обратные переводы:

Примеры выполнения задания 1

Пример 1

Переведем число 42,41 из десятичной системы счисления в двоичную. Число 42,41 является смешанным. Целая часть - это число 42 и дробная часть — 0,41.

При переводе смешанных чисел целая и дробная части переводятся отдельно.

Для перевода целого числа (целой части смешанного числа) из одной позиционной системы счисления (СС) в другую, число нужно последовательно делить на основание той системы счисления, в которую переводится число. Деление выполняется до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше делителя (основания системы счисления). Цифрами числа в «новой» системе счисления будут остатки от деления, начиная с последнего.

Для перевода правильной дроби (<1) в другую систему счисления нужно дробь последовательно умножать на основание системы, в которую она переводится. Дробь в новой системе счисления записывается в виде целых частей получаемых произведений, начиная сверху.

Переведем 42,41₁₀ СС₂.

Начинаем перевод с целой части. Переведем 42₁₀ СС₂. Для этого будем последовательно делить число 42 на 2.

42|_2

42 21|_2

0 20 10|_2

1 10 5|_2

0 4 2|_2

1 2 1 < - старший разряд, отсюда получаем:

0 42₁₀ = 101010₂

Теперь переведем дробную часть. В нашем примере переведем дробь 0,41₁₀ СС₂. Для этого будем дробь последовательно умножать на 2. Для каждой очередной операции умножения, считаем, что в целой части дроби расположен 0.

0, | 41

^{x
|}_2 0,41₁₀0,0110₂

0, | 82

^x | _2

1, | 64

^x | _2

1, | 28

^x | _2

0, | 56

При переводе дроби обычно возникает проблема прекращения бесконечного процесса перевода (правая часть всегда не нулевая). Перевод прекращают получив некоторое (требуемое) количество цифр после запятой. В нашем случае из условия задания следует, что после запятой необходимо получить 4 знака.

Итак, соединив целую и дробную части запишем окончательный ответ: 42,41₁₀ 101010,0110₂

Пример 2

Проверим полученные в примере 1 результаты, выполнив обратные переводы. Число в любой позиционной системе счисления можно разложить в степенной ряд, тем самым переведя его в десятичную систему счисления.

Выполним проверку, разлагая число в ряд по степеням основания системы счисления, т.е. по степеням числа 2:

101010,0110₂= 1•2⁵+ 0•2⁴+ 1•2³+ 0•2²+ 1•2¹+ 0•2⁰+ 0•2^-1+ 1•2^-2+ 1•2^-3+ 0•2^-4= 42 + 0,375 = 42,375₁₀

В нашем примере из за погрешностей округления дробная часть отличается от исходного числа 42,41.

Пример 3

Переведем 42,41₁₀ СС₈

Перевод начинаем с целой части. Переведем 42₁₀ СС₈. Для этого будем последовательно делить число 42 на 8. Деление выполняется до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше 8 (основания системы счисления).

42|_8

40 5

42₁₀ = 52₈

Переводим дробную часть 0,41₁₀ СС₈. Для этого будем дробь последовательно умножать на 8.

0, | 41

^{x
|}_8 0,41₁₀0,3217₈

3, | 28

^x | _8

2, | 24

^x | _8

1, | 92

^x | _8

7, | 36

Итак, соединив целую и дробную части запишем окончательный ответ: 42,41₁₀ 52,3217₈

Пример 4

Выполним проверку, разлагая число в ряд по степеням основания системы счисления, т.е. по степеням числа 8: 52,3217₈= 5•8¹+ 2•8⁰+ 3•8^-1+ 2•8^-2+ 1•8^-3+ 7•8^-4= 42 + 0,41 = 42,41₁₀;

Пример 5

Переведем 42,41₁₀ СС₁₆

Для представления шестнадцатеричных чисел используются цифры и первые шесть букв латинского алфавита: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (см. Таблица 11).

Таблица 11

Числа от 0 до 16, записанные в системах счисления с основаниями 10, 2, 8 и 16

Десятичные числа	Двоичные числа	Восьмеричные числа	Шестнадцатеричные числа
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	В
12	1100	14	С
13	1101	15	D
14	1110	16	Е
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Переведем 42₁₀ СС₁₆. Начинаем с целой части. Для этого будем последовательно делить число 42 на 16.

42|_16

32 2

42₁₀ = 2А₁₆

Переводим дробную часть 0,41₁₀ СС₁₆. Для этого будем дробь последовательно умножать на 16.

0, | 41

^{x
|}16 0,41₁₀0,68F5₁₆

6, | 56

^x | 16

8, | 96

^x | 16

15, | 36

^x | 16

5, | 76

Необходимо обратить внимание, что в шестнадцатиричной системе счисления числа с 10 до 15 заменяются буквами A, B, C, D, E и F. Итак, соединив целую и дробную части, запишем окончательный ответ: 42,41₁₀ 2A,68F5₁₆

Пример 6

Выполним проверку, разлагая число в ряд по степеням основания системы счисления, т.е. по степеням числа 16: 2A,68F5₁₆= 2•16¹+ 10•16⁰+ 6•16^-1+ 8•16^-2+ 15•16^-3+ 5•16^-4= 42 + 0,41 = 42,41₁₀;

Пример 7

Переведем число 137,206 из восьмеричной системы счисления в двоичную.

Для записи чисел восьмеричная и шестнадцатерисная система счисления требуют, соответственно, в 3 и 4 раза меньше цифр (разрядов), чем двоичная система счисления. Рассмотрим три двоичных разряда (числа из трех цифр): 000₂ – 0₈ , 001₂ – 1₈ , 010₂ – 2₈ , 011₂ – 3₈, 100₂ – 4₈ , 101₂ – 5₈ , 110₂ – 6₈ , 111_{2 –} 7₈ , т.е. один разряд восьмеричной системы счисления (одну восьмеричную цифру) можно представить с помощью трех разрядов двоичной системы счисления (трех двоичных цифр). Следовательно, перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную состоит просто в замене каждой восьмеричной цифры соответствующей триадой двоичных цифр (см. Таблица 11).

Переведем: 137,206₈ СС₂.

Заменим каждую восьмеричную цифру соответствующей триадой двоичных цифр: 1  001, 3  011, 7  111, 2 010, 0 000, 6 110. В результате получаем число 001 011 111,010 000 110_.Нули в начале числа и в конце можно опустить.

Ответ: 137,206₈ 1 011 111,010 000 11₂.

Пример 8

Выполним обратный перевод 1 011 111,010 000 11₂СС₈

Перевод из двоичной СС в восьмеричную состоит в замене каждой триады эквивалентной цифрой восьмеричной системы счисления. Целую часть числа начинают разбивать на триады от запятой влево, а дробную часть – от запятой вправо. Если необходимо триаду дополняют нулями, у целой части нули добавляют в начале триады, у дробной части – в конце триады.

Разобьём число 1 011 111,010 000 11 на триады, у целой части необходимо первую триаду дополнить двумя нулями слева, а у дробной части последнюю триаду необходимо дополнить одним нулем справа:

001 011 111,010 000 110

Заменим каждую триаду эквивалентной цифрой восьмеричной системы счисления: 001  1, 011  3,111  7, 010  2, 000  0, 110  6.

Ответ: 1 011 111,010 000 11₂137,206₈

Пример 9

Сделаем перевод числа

Перевод чисел из двоичной СС в шестнадцатеричную и обратно аналогичен переводу между восьмеричной и двоичной СС, с той лишь разницей, что замена производится не тремя, а четырьмя цифрами двоичной системы счисления: 0000₂  0₁₆ , 0001₂  1₁₆ , 0010₂– 2₁₆ , 0011₂ – 3₁₆, 0100₂  4₁₆ , 0101₂  5₁₆ , 0110₂  6₁₆ , 0111₂ 7₁₆ , 1000₂ 8₁₆ , 1001₂  9₁₆ , 1010₂ A₁₆, 1011₂  B₁₆ , 1100₂ C₁₆, 1101₂  D₁₆ , 1110₂  Е₁₆, 1111₂ F₁₆ .

Переведем 14В,50С₁₆ СС₂

Заменим каждую шестадцатиричную цифру соответствующей тэтрадой двоичных цифр:1  0001, 4  0100, В  1011, 5  0101, 0  0000, С  1100. В результате получаем число 0001 0100 1011,0101 0000 1100

Нули в начале числа и в конце можно опустить.

Ответ: 14В,50С₁₆ 1 0100 1011,0101 0000 11₂.

Пример 10

Выполним обратный перевод 1 0100 1011,0101 0000 11₂ СС₁₆

Разобьём число 1 0100 1011,0101 0000 11₂ на тетрады, у целой части необходимо первую тетраду дополнить тремя нулями слева, а у дробной части последнюю тетраду необходимо дополнить двумя нулями справа:

0001 0100 1011,0101 0000 1100