4.5. Законы распределения случайных величин
Законы распределения отказов, являющихся случайными величинами, имеют большое значение для теории и практики по обеспечению надежности технических систем. Значение этих законов позволяетрассчитывать и прогнозировать надежность технических систем на этапах проектирования и испытаний, производства и эксплуатации, а также при оценке правильности установления и продления ресурсов и сроков эксплуатации технических систем.
Наибольшее значение для решения задач по обеспечению надежности имеют следующие законы распределения случайных величин:
нормальное распределение;
экспоненциальное (показательное) распределение;
распределение Вейбулла;
гамма-распределение;
закон распределения Релея;
распределение χ2.
Применение того или иного закона распределения обусловлено характеристиками появления и изменения показателей надежности по времени.
Применительно к показателям технических систем, эксплуатируемых на автомобильном транспорте и в сельском хозяйстве, в подавляющем большинстве случаев используются законы нормального распределения, экспоненциального распределения, распределения Вейбулла.
В ряде случаев законы распределения случайных величин могут быть описаны аналитически, как функции параметров этих законов. Такие аналитические зависимости имеются для нормального, экспоненциального и ряда других законов распределения случайных величин, описывающих процессы ТЭА.
Общий вид закона распределения:
;
(4.20)
,
(4.21)
причем
,
.
(4.22)
4.5.1. Нормальный закон распределения (двухпараметрический: σ и х). Нормальный закон часто называют законом Гаусса. Этот закон занимает важное место и наиболее часто используется на практике по сравнению с другими законами распределения.
Основная особенность этого закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Его используют для описания постепенных отказов, корда распределение времени безотказной работы в начале имеет низкую плотность, затем максимальную плотность и далее плотность снижается, то есть нормальным распределением описывают наработки на отказ элементов и систем вследствие их износа и старения.
Нормальный закон формируется, когда на исследуемый процесс и его результат влияет сравнительно большое число независимых (или слабозависимых) элементарных факторов (слагаемых), каждое из которых в отдельности оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным влиянием всех остальных:
,
(4.23)
.
(4.24)
Рис. 4.6. Дифференциальная функция распределения - закон нормального распределения
4.5.2. Экспоненциальный закон (однопараметрический – λ) нашел широкое применение, так как он прост для практического использования. Экспоненциальный закон описывает надежность работы машины в период ее нормальной эксплуатации, когда постепенные отказы еще не проявляются и надежность характеризуется внезапными отказами.
При экспоненциальном законе распределения вероятность безотказной работы не зависит от того, сколько проработало изделие с начала эксплуатации, а определяется конкретной продолжительностью рассматриваемого периода или пробега Δх, называемого временем выполнения задания. Таким образом, эта модель не учитывает постепенного изменения параметров технического состояния, например, в результате изнашивания, старения и других причин, а рассматривает так называемые нестареющие элементы и их отказы. Экспоненциальный закон используется чаще всего при описании времени безотказной работы различных изделий: сложных технических систем, эксплуатируемых в период после приработки и до появления постепенных отказов; элементов электронной аппаратуры, систем управления. Кроме того, этот закон используют для описания продолжительности разнообразных ремонтных воздействий и в ряде других случаев:
;
(4.25)
.
(4.26)
Для
этого закона
;
;ν
=1.
Рис. 4.7 – Экспоненциальный закон распределения случайной величины: а – плотность распределения; б – функция распределения
4.5.3. Закон распределения Вейбулла (двухпараметрический – а и b). Среди непрерывных распределений закон распределения Вейбулла один из наиболее часто применяемых в оценке надежности по результатам испытаний и эксплуатации. Это распределение Вейбулл использовал при описании разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости, размеров частиц сажи и др. В настоящее время закон распределения Вейбулла нашел применение при описании надежности сложных технических систем, а также при изучении разбросов в сроках службы изделий различного назначения. Его используют для оценки надежности деталей и соединений автомобилей, а также для оценки надежности в процессе приработки. Закон проявляется в модели так называемого слабого звена. Если система состоит из группы независимых элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу всей системы, то в такой модели рассматривается распределение времени (или пробега) достижения предельного состояния системы как распределение соответствующих минимальных значений х, отдельных элементов
.
(4.27)
Функция распределения этой величины может быть выражена следующей зависимостью
,
(4.28)
где а и b - параметры распределения.
Примером использования распределения Вейбулла является распределение ресурса подшипника качения. Этот ресурс ограничивается ресурсом одного из элементов (шарика, ролика, конкретного участка сепаратора и т.д.).
Рис. 4.8 – Кривые плотности вероятности закона распределения Вейбулла
Значение аналитических зависимостей состоит в том, что если известен вид закона (на основе опыта, литературных источников, наблюдений) и его параметры, то можно расчетными методами, не проводя объемных наблюдений, воспроизвести (прогнозировать) ожидаемые вероятности отказов и других состояний изделий и процессов. Например, для нормального закона необходимо знать два параметра (х, σ), а для экспоненциального - один (х или λ), чтобы рассчитать вероятность отказов и безотказной работы.
Теоретический закон распределения для выравнивания опытной информации ориентировочно выбирают по величине коэффициента вариации ν: если ν≤0,30, используют закон нормального распределения, если ν>0,50 – закон распределения Вейбулла, если ν=1,0 – экспоненциальный. Если значение коэффициента вариации находится в интервале 0,30…0,50, то выбирают тот закон распределения (закон нормального распределения или закон Вейбулла), который лучше совпадает с распределением опытной информации.
Таким образом, умение оценивать случайные величины позволяет в реальной эксплуатации, во-первых, перейти от ожидания стихийного появления событий (отказы изделия, требования на услуги ТО и ремонт, заправку и др.) к инструментальному описанию и объективному предвидению их реализации с определенной вероятностью, что позволяет подготовить и приспособить производство к эффективному освоению соответствующих требований. Во-вторых, принять риск в качестве объективной реальности, свойственной любой деятельности, особенно эксплуатационной. Поэтому для успешной производственной деятельности важно не стремиться полностью исключить риск (что нереально для случайных процессов), а уметь его оценить и выбрать с учетом возможных отрицательных и положительных последствий.