4.3. Закономерности вариации случайных величин

(закономерности ТЭА второго вида)

При работе группы автомобилей приходится иметь дело не с одной зависи­мостью Y(t), которая была бы пригодна для всей группы, а с индивидуальными зависимостями Y_i(t), свойственными каждому i-му изделию (рис. 4.3). Применитель­но к техническому состоянию однотипных изделий причинами вариации являются: даже незначительные изменения от изделия к изделию качества материалов, обра­ботки деталей, сборки; текущие изменения условий эксплуатации (скорость, нагрузка, температура и т.д.); качество ТО и ремонта, вождения автомобилей и др. В результате при фиксации для группы изделий определенного параметра техни­ческого состояния, например Y_П каждое изделие будет иметь свою наработку до отказа (рис. 4.3а), т.е. будет наблюдаться вариация наработки. Возникает вопрос: какую периодичность ТО планировать для группы однотипных авто­мобилей.

Если все изделия обслуживать с единой периодичностью l_ТО, то будет иметь место вариация фактического технического состояния (рис. 3б), которая скажется на продолжительности выполнения работ, количестве расходуемого материала и запасных частей.

В этом случае возникают вопросы: какую трудоемкость и стоимость операции планировать, какие потребуются производственные площади, технологическое оборудование, персонал.

При технической эксплуатации приходится сталкиваться и с другими СВ: расход топлива однотипными автомобилями даже на одинаковых маршрутах; расход запасных частей и материалов; число требований на ремонт в течение часа, смены работы поста ремонтной мастерской, станции ТО; число заездов на АЗС и др. Все это сказывается на нормировании и организации ТО и ремонта, опре­делении необходимых для этого ресурсов.

Для решения этих задач необходимо уметь оценивать вариацию СВ.

а

б

Рис. 4.3. Вариации случайных величин: а – наработки (l_P1-l_P4) при фиксации Y_П, б – параметра технического состояния (Y₁(l_ТО)-Y₄(l_ТО)) при фиксации наработки l.

4.4. Оценки случайных величин

Исходными данными для оценки случайных величин являются результаты наблюдений за изделиями или отчетные данные, которые выявили индивидуальные реализации случайных величин (например, наработки на отказ, фактический расход топлива, материалов и т.д.).

4.4.1. Случайные величины (от 1 до п) располагают в порядке возрастания или убывания их абсолютных значений

. (4.4)

4.4.2. Точечные оценки случайных величин:

среднее значение случайной величины

; (4.5)

размах случайной величины

; (4.6)

среднеквадратическое отклонение, характеризующее вариацию,

; (4.7)

коэффициент вариации

. (4.8)

В ТЭА различают случайные величины

• с малой вариацией: ν < 0,1;

• со средней вариацией: 0,1≤ ν ≤ 0,33;

• с большой вариацией: ν > 0,33.

Точечные оценки позволяют предварительно судить о качестве изделий и технологических процессов. Чем ниже средний ресурс и выше вариация (σ, ν, z), тем ниже качество конструкции и изготовления (или ремонта) изделия. Чем выше коэффициент вариации показателей технологических процессов ТЭА (трудоемкость, простои в ТО или ремонте, загрузка постов и исполнителей и др.), тем менее совершенны применяемые организация и технология ТО и ремонта.

4.4.3. Вероятностные оценки случайных величин.

При вероятностных оценках рекомендуется размах СВ разбить на несколько (как правило, не менее 5…7 и не более 9…11) равных по длине Δх интервалов (табл. 4.2). Далее следует произвести группировку, т.е. определить число случайных величин, попавших в первый (n₁), второй (n₂) и остальные интервалы. Это число называется частотой. Разделив каждую частоту на общее число случайных величин (n₁+п₂+...+n_n=п), определяют частость ω_i=п_i/п. Частость является эмпирической (опытной) оценкой вероятности Р, т.е. при увеличении числа наблюдений частость приближается к вероятности ω_i→р_i.

Таблица 4.2. Пример вероятностной оценки СВ

Номер интервала, j	Интервал , тыс.км	Середина интервала xj, тыс.км	Число отказов nj в интервале	Частость (вероятность) ωi=рi	Оценка накопленных вероятностей
					отказа F	безотказности R
1	6…8	7	60	0,06	0,06	0,94
2	8…10	9	120	0,12	0,18	0,82
3	10…12	11	190	0,19	0,37	0,63
4	12…14	13	250	0,25	0,62	0,38
5	14…16	15	200	0,20	0,82	0,18
6	16…18	17	130	0,13	0,95	0,05
7	18…20	19	50	0,05	1,00	0
Всего	-	-	1000	1,00	-	-

Полученные при группировке СВ результаты сводятся в таблицу (табл. 4.1), данные которой имеют не только теоретическое, но и практическое значение. Например, по результатам наблюдений можно предположить, что у аналогичных изделий в тех же условиях эксплуатации и в интервале наработ­ки 6…8 тыс. км может отказать около 6 % изделий (ω_i=p_i= 0,06), в интервале 8…10 тыс. км – 12 %, интервале 10…12 тыс. км – 19 % и т.д.

Следовательно, имея систематизированные данные по отказам, можно прогнозировать и планировать число воздействий (программу работ), потреб­ности в рабочей силе, площадях, материалах и запасных частях.

4.4.3.1 Вероятность случайного события. В общем виде это отношение числа слу­чаев, благоприятствующих данному событию, к общему числу случаев.

Вероятность отказа рассматривается не вообще, а за определенную нара­ботку X:

, (4.9)

где т(х) – число отказов за X, п – число наблюдений (изделий), или вероятность отказа изделия при наработке Х равна вероятности событий, при которых наработ­ка до отказа конкретных изделий х_i окажется менее X. В примере (табл. 4.1) при Х = 10 тыс. км имеем

.

Отказ и безотказность являются противоположными событиями, поэтому

, (4.10)

где п - т(х) – число изделий, не отказавших за X.

В примере для Х = 10 тыс. км имеем

.

Обычно применяется следующая буквенная индексация рассмотренных собы­тий и понятий:

• F (failure) – отказ, авария, повреждение, вероятность этих событий;

• R (reliability) – безотказность, надежность, прочность, вероятность этих событий;

• Р (probability) – вероятность.

Вероятность отказа может быть получена также последовательным суммиро­ванием интервальных вероятностей за наработку X, т.е.

F(x)=p₁+p₂+…p_j , (4.11)

где j - номер интервала, соответствующий наработке X.

4.4.3.2. Следующей характеристикой случайной величины является плотность вероятности (например, вероятности отказа) f(х) - функция, характеризующая вероятность отказа за малую единицу времени при работе узла, агрегата, детали без замены. Если вероятность отказа за наработку F(х) = т(х)/п, то, дифферен­цируя ее при п=const, получим плотность вероятности отказа

, (4.12)

где dm/dx – элементарная "скорость", с которой в любой момент времени проис­ходит приращение числа отказов при работе детали, агрегата без замены.

Так как f(х) = F'(х), то

. (4.13)

Поэтому F(х) называют интегральной функцией распределения, а f(х) – диф­ференциальной функцией распределения.

Так как

, а , то

. (4.14)

Имея значения F(х) или f(х), можно произвести оценку надежности и определить среднюю наработку до отказа

. (4.15)

4.4.3.3. При оценке качества изделий, нормировании ресурсов, в системе гарантийного обслуживания применяют гамма-процентный ресурс х_γ. Это интегральное значение ресурса Хγ, которое вырабатывает без отказа не менее γ процентов всех оцениваемых изделий, т.е.

. (4.16)

В ТЭА обычно принимаются γ = 80, 85, 90 и 95 %. Для тракторов и автомобилей нормативное значение γ = 80 %.

Рис. 4.4. – Определение 80%-го гамма-ресурса графическим методом по кривым интегральной функции вероятности безотказной работы (1), отказа (2)

В рассматриваемом примере при γ = 95 % х_γ = 7 тыс. км (табл. 4.1). Риск отказа изделия F в данной ситуации, т.е. более раннее достижение изделиями гамма-процентного ресурса, составляет около 5 %.

Гамма-процентный ресурс, используется при определении периодичности ТО по заданному уровню безотказности γ. Выражение l_ТО = Хγ означает, что обслуживание с периодичностью l_ТО гарантирует вероятность безотказной работы R≥γ и отказа F≤(1-γ).

4.4.3.4. Важным показателем надежности является интенсивность отказов λ(х) – условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого изделия, определяемая для данного момента времени при условии, что отказа до этого момента не было. Аналитически для получения λ(х) необходимо элементар­ную вероятность dm/dx отнести к числу элементов, не отказавших к моменту х, т.е.

. (4.17)

Так как вероятность безотказной работы R(х) = [п - т(х)]/ п, то λ(х)= dm/dx*1/nR(x). Учитывая, что f(х)=1/ndm/dx получаем

. (4.18)

Таким образом, интенсивность отка­зов равна плотности вероятности отказа, деленной на вероятность безотказной работы для данного момента времени или пробега

. (4.19)

Это универсальная формула определения вероятности безотказной работы не­восстанавливаемого элемента для любого закона распределения. Зная интенсив­ность отказов, можно для любого момента времени или пробега определить вероятность безотказной работы. Существуют внезапные и постепенные отказы. Постепенные отказы описывают работу так называемых стареющих элементов.

4.4.3.5. Наглядное представление о величине и вариации случайных величин дает их графическое изображение: гистограммы (1, рис. 4.5) и полигоны (2, рис. 4.5) распределения, а также интегральные функции распределения вероятностей отказа (3, рис. 4.5) и безотказной работы (4, рис. 4.5) и дифференциальные функции или законы рас­пределения случайной величины (рис. 4.6, 4.7, 4.8).

Рис. 4.5. Графическое изображение случайной величины: 1 – гистограмма, 2 – полигон распределения, 3 – интегральная функция вероятности отказов и 4 – безотказной работы