Основы теории четырехполюсников.

Четырехполюсником называется электрическая схема произвольной структуры, имеющая четыре внешних зажима. (рис 1.1)

Рис.1.1 Схемное обозначение четырехполюсника.

Четырехполюсник имеет две пары зажимов 1-1' и 2-2', которые называются входами. Часто зажимы 2-2'а называют выходом, когда к ним подсоединяется нагрузка (а не источник сигнала). Будем рассматривать режим гармонических колебаний в четырехполюснике. На рис.1.1 обозначены комплексные действующие значения токов и напряжений входов. С помощью четырехполюсника моделируются различные радиотехнические устройства: транзисторы, электронные лампы, усилители, трансформаторы, линии передачи и др.

Свойства четырехполюсника, внутренняя структура которого может быть не известна, описываются некоторыми параметрами, связывающими токи и напряжения его входов. Суть теории четырехполюсников заключается в том, что на основании этой теории можно связать токи и напряжения его входов не интересуясь распределением токов и напряжений внутри сколь угодно сложной схемы четырехполюсника.

1. Классификация четырехполюсников.

Четырехполюсники могут различаться по элементарной базе, а также иметь структурные различия:

1. Линейные и нелинейные четырехполюсники.

Для линейных четырехполюсников, состоящий из линейных элементов (R,L,C), напряжение и ток на выходных зажимах линейно зависят от напряжения и тока на его входе. Если четырехполюсник содержит хотя бы один нелинейный элемент (диод, транзистор и др.), то он относится к классу нелинейных. Необходимо отметить, что электрические цепи с нелинейным элементом, работающим в режиме малого сигнала (например, транзисторный усилитель), могут быть представлены линейным четырехполюсником.

2. Активные и пассивные четырехполюсники.

Активные четырехполюсники в отличие от пассивных содержат независимые и (или) зависимые (управляемые) источники.

3. Обратимые и необратимые четырехполюсники.

Обратимые четырехполюсники позволяют передавать энергию в обоих направлениях (например RLC четырехполюсник). К необратимым четырехполюсникам относятся, например усилители, для схем, замещения которых характерно наличие управляемого источника с односторонней передачей энергии.

3. Симметричные и несимметричные четырехполюсники.

В симметричном четырехполюснике, в отличие от несимметричного, нельзя различить две пары входов путем электрических измерений. Часто симметричный четырехполюсник обладает структурной симметрией относительно вертикальной оси (рис. 1.2а)

R₁

R₁

R₂

R₂

R₃

R₃

б)

а)

R₁

R₁

R₂

R₂

Рис 1.2. Симметричный (а) и уравновешенный (б) четырехполюсники.

3. Уравновешенные и неуравновешенные четырехполюсники. Если схема четырехполюсника симметрична относительно горизонтальной оси, то он называется уравновешенным. Пример уравновешенного четырехполюсника на рас 1.2.б – неуравновешенного на рис 1.2а.

1.2. Параметра передачи четырехполюсника.

В теории четырехполюсников рассматриваются только токи и напряжения входов: ₁ ,₁ ,₂ и _2. Принятые положительные направления этих величин указаны на рис. 1.1. Соотношения, связывающие эти четыре переменные называют уравнениями передачи четырехполюсника, а коэффициенты переменных его параметрами. При записи уравнений передачи принимают любые две переменные за независимые, а две оставшиеся за зависимые переменные и зависимые переменные выражают через независимые. Например, можно составить такую систему:

= =

Число различных систем уравнений равно 6 (числу сочетаний из 4 по 2 или. С). Каждая из 6 систем уравнений полностью будет определять поведение четырехполюсника по отношению к его внешним зажимам. Так как все системы уравнений описывают один и тот же четырехполюсник, то любую из них можно получить из любой другой. В дальнейшем будем рассматривать линейные четырехполюсники. Для них уравнения передачи будут линейными.

1. Уравнения передачи четырехполюсника через Y-параметры или параметры проводимости

Рассмотрим систему (1.1).В ней принято, что независимые переменные напряжения входов . Их можно рассматривать как заданные воздействия, которые подключаются в виде источников напряжения к двум входам. Тогда токи входов (как реакции) можно представить по принципу наложения в виде двух слагаемых от действия каждого источника в отдельности. Например:

()+()

Где: -частичный ток, вызванный воздействием только - частичный ток вызванный воздействием только .

Аналогично для тока Вводя соответствующие коэффициенты, можно записать систему линейных уравнений:

+

(1.2)

+

Параметры (коэффициенты) уравнений имеют размерность проводимостей, а их физический смысл можно установить из рассмотрения режимов короткого замыкания входов, когда принимается =0 или =0;

-входная проводимость со стороны входа 1 при короткозамкнутом входе 2.

-передаточная проводимость от входа 2 к входу 1 как отношение тока короткозамкнутого входа 1 к напряжению входа 2.

-передаточная проводимость от входа 1 к входу 2 как отношение тока короткозамкнутого входа 2 к напряжению входа 1.

-входная проводимость со стороны входа 2 при короткозамкнутом входе 1.

Для симметричного четырехполюсника должно выполняться равенство входных проводимостей Y₁₁=Y₂₂, а для обратимого – равенство передаточных проводимостей Y₁₂=Y₂₁. Эти утверждения следуют из определений симметричного и взаимного четырехполюсников и из физического смысла соответствующих Y-параметров. Y-параметры по понятным причинам называют также параметрами проводимостей короткого замыкания. Часто используется матричная запись рассматриваемых уравнений:

(1.3)

В которой используется матрица Y-параметров и матрицы столбцы токов и напряжений

Пример 1. Определить Y-параметры П-образного четырехполюсника (рис 1.3)

Y₂

+

1 + 2

Y₁ Y₃ Рис. 1.3 П-образный четырехполюсник

1’ 2’

Для решения достаточно записать уравнения по методу узловых напряжений, приняв нижний узел за базисный:

Таким образом Y₁₁=Y₁+Y₂; Y₁₁=-Y₂=Y₂₁; Y₂₂=Y₂+Y₃

Отметим, что для пассивного четырехполюсника Y₂₁=Y₁₂. При Y₁=Y₃ П-образный четырехполюсник будет симметричным и Y₁ будет равен Y₂.

Параметры можно найти также из их определения. Например, Y₁₂= , а схема для его определения изображена на рис. 1.4. с короткозамкнутыми зажимами 1-1’

Y₂

+

Y₁ Y₃

Из этой схемы нетрудно найти и Y₁₂=-Y₂.

2. Уравнения передачи четырехполюсника через Z-параметры или параметры сопротивлений.

Если систему (1.2) решить относительно , то получим систему, связывающую напряжения входов с токами входов, то есть уравнения передачи через Z-параметры:

(1.4)

Физический смысл параметров:

-входное сопротивление со стороны входа 1 при разомкнутом входе 2

-передаточное сопротивление при разомкнутом входе 1

-передаточное сопротивление при разомкнутом входе 2

-входное сопротивление со стороны входа 2 при разомкнутом входе 1

Для симметричного четырехполюсника Z₁₁=Z₂₁, для взаимного (обратного) - Z₁₂=Z₂₁

Может быть использована матричная запись уравнений передачи с матрицей Z-параметров, которые называют так же параметрами сопротивления холостого хода:

Пример 2. Определить параметры Z₁₂ и Z₂₂ для Т-образного четырехполюсника изображенного на рис. 1.4.

1 + + 2 R₁ R₂

Рис. 1.4 Т-образный четырехполюсник

1’ 2’

Согласно определению этих параметров они должны вычисляться при , т.е. при холостом ходе (размыкании) входа 1. Соответствующая схема на рис. 1.5.

1 + 2 R₁ + R₂

Рис. 1.5 Холостой ход на зажимах 1

1’ 2’

В этой ситуации напряжение будет приложено к емкости (падение напряжения на R₁ отсутствует), а ток будет замыкаться через R₂ и емкость. Поэтому

;

3. Уравнения передачи четырехполюсника через А-параметры

Эти уравнения связывают напряжение и ток на входе с напряжением и током на выходе. Поскольку подразумевается передача энергии слева на право, то в уравнениях фигурирует ток

(рис. 1.6.)

1 + +2

1’ 2’

Рис. 1.6 обозначения токов и напряжений при передаче энергии с входа (зажимы 1-1’) на выход (зажимы 2-2’)

Уравнения передачи через А-параметры могут быть получены, например, из системы (1.2) и записываются в следующем виде:

(1.6)

Смысл параметров можно установить, рассматривая режимы холостого хода (размыкание) и короткого замыкания выходных зажимов:

-отношение комплексных напряжений на входе и разомкнутом выходе

-передаточное сопротивление при замкнутом выходе

-передаточная проводимость при разомкнутом выходе

-отношение комплексных токов при короткозамкнутом выходе

Можно показать, что для симметричного четырехполюсника А₁₁=А₂₂, а для пассивного (взаимного)

(А ₁₁А₂₂-А₁₂А₂₁)=1

Матричная запись уравнений:

(1.7)

Пример 3. Определить параметр А₂₂ Г-образного четырехполюсника (рис. 1.7)

+ +

R Рис 1.7 Г-образный четырехполюсник

Как следует из определяющих выражений, которые приведены выше, параметр A₂₂= при короткозамкнутом выходе (рис. 1.8)

Рис. 1.8 Схема для определения параметра А₂₂

Из рисунка следует: ,а , откуда следует

. Аналогично могут быть найдены остальные параметры. Матрица А-параметров рассматриваемого четырехполюсника:

.