Часть2. Упражнения и задачи

Глава 3. Содержание упражнений по теме «Циклические коды» и перечень задач к ним

3.1. Упражнение № 1

Тема: Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования.

Время: 2 часа.

Цель: изучить основные алгебраические системы, используемые в теории помехоустойчивого кодирования. Получить навыки в решении задач, связанных с понятиями группа, кольцо, поле.

Изучаемые вопросы:

1. Линейные коды и математический аппарат, используемый для их описания и построения.

1. Группа, кольцо, поле. Примеры использования в теории кодирования.

2. Подгруппы и смежные классы.

3. Действия над смежными классами.

Литература:

1. Часть 1, п.п. 1.1, 1.2.

Перечень задач для проверки степени усвоения вопросов упражнения:

3.1.1.Показать, что множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) является группой:

а) по операции обычного сложения G₊ ,

б) по операции обычного умножения G_x .

В группе G₊ по операции сложения выделить подгруппу, состоящую из чисел:

1) кратных 3,

2) кратных 4,

3) кратных 5.

Построить смежные классы для каждой из этих подгрупп.

3.1.2.Проверить, обладают ли полученные в п.3.1.1 смежные классы групповыми свойствами:

а) по операции сложения,

б) по операции умножения.

3.1.3.Являются ли образованные в п.3.1.2 смежные классы кольцом? Почему?

3.1.4.Являются ли образованные в п.3.1.2 смежные классы полем? Почему?

3.1.5.Построить все возможные двоичные последовательности длины 5. Являются ли они группой по операции поразрядного сложения по модулю два? Доказать.

3.1.6.Образовать все возможные подгруппы в группе двоичных последовательностей длины 5 по операции, введённой в п.3.1.5.

Указание: рассмотреть элементы группы как вектора и воспользоваться понятием базиса векторного пространства. Для каждой подгруппы указать её порядок.

3.1.7.Для каждой найденной подгруппы в п.3.1.6 найти подгруппу из этого же множества с ортогональными векторами. Ортогональности векторов соответствует равенство нулю их скалярного произведения.

3.1.8.Что нужно сделать, чтобы все последовательности длины 5 из п.3.1.5 стали кольцом?

3.1.9.Является ли кольцо из п.3.1.8 полем?

3.1.10.Какие подполя существуют в поле из всех двоичных последовательностей длины 5?

3.1.11.Проверить, что элементы поля GF(2²) α и 1+α являются корнями многочлена π(х)=1+х+х² в двоичном поле.

3.2.Упражнение № 2

Тема: Кольца многочленов и поля Галуа

Время: 2 часа.

Цель: изучить структуру числовых колец и колец многочленов, способы формирования идеалов колец, связь между кольцами классов вычетов многочленов и конечными полями. Получить навыки формирования идеалов заданного порядка.

Изучаемые вопросы:

1. Идеал кольца и классы вычетов кольца целых чисел – по модулю m и многочленов – по модулю многочлена f(х).

2. Размерность идеала кольца классов вычетов многочленов по модулю многочлена f(х)=g(х)h(х), где f(х) имеет степень n, g(х) – степень n-k, h(х) – степень k.

3. Простые и расширенные поля Галуа, подполя.

4. Циклическая группа расширенного поля Галуа, порядок элементов поля (группы), число элементов некоторого порядка.

5. Примитивные элементы поля и примитивные многочлены.

Литература: