korobov

4

УДК 519.85:519.86

Коробов П.Н. Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Учебник.

В книге рассматриваются основы теории математического (линейного, нелинейного и динамического) программирования, сущность методов в решении оптимизационных задач; экономическая (содержательная) постановка и математическое моделирование общих задач и специальных прикладных проблем перспективного и текущего планирования и управления лесопромышленного комплекса.

Книга рассчитана на научных работников, преподавателей и студентов вузов. Она может быть полезна менеджерам и инженерам предприятий, объединений, исследовательских и проектных организаций.

Официальные рецензенты:

кафедра экономической кибернетики СПб Государственного Университета; доктор экономических наук, профессор, зав. кафедрой экономической кибернетики

и экономико-математических методов СПбГУЭиФ, Д.В. Соколов.

6

3.5. Обнаружение неразрешимости задачи линейного программирования……………………………………………………….136

Глава 4. ТРАНСПОРТНЫЕ АЛГОРИТМЫ. ИХ СУЩНОСТЬ

ВРЕШЕНИИ ЗАДАЧ…………………………………………………….141

4.1.Распределительный метод……………………………………………….142

4.2.Метод потенциалов……………………………………………………….154

4.3.Метод дифференциальных рент…………………………………………160 Глава 5. УСЛОЖНЕННЫЕ И ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ ПОСТАНОВКИ

ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ……………………………………………….172

5.1.Транспортная задача с вырожденным опорным планом………………172

5.2.Открытые модели транспортной задачи………………………………..174

5.3.Транспортная задача с ограниченными возможностями транспортных средств и коммуникаций……………………………….178

5.4.Нелинейная модель транспортной задачи………………………………181

5.5.Ламбда-задача и метод Малкова в ее решении…………………………184

Глава 6. ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ………………199

6.1.Геометрический способ решения задач нелинейного программирования………………………………………………………..200

6.2.Понятие о классических методах оптимизации………………………...208

6.3.Задача сепарабельного программирования……………………………..213

6.4.Задача оптимизации размещения производств при нелинейных затратах……………………………………………………………………217

Глава 7. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ПЛАНИРОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВА И УПРАВЛЕНИИ ИМ………………………………...227

7.1.Сущность и основные свойства динамического программирования…227

7.2.Задача по оптимизации распределения ресурсов………………………228

7.3.Задача о составлении оптимального маршрута………………………...239

7.4.Задача о замене оборудования…………………………………………...245

7.5.Задача управления запасами……………………………………………..258

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ………………………………………………………………………….263 Введение ко второй части…………………………………………………………….263 Глава 8. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ……………………………………………………………………….264

8.1. Особенности моделирования задач оптимизации программы выпуска продукции………………………………………...265

8.2.Экономико-математическое моделирование оптимизационных распределительных задач…………………………..271

8.3.Экономико-математическое моделирование задач

оптимизации раскроя материалов……………………………………….275 Глава 9. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ЛЕСОПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ…………………………….284

9.1.Экономико-математическое моделирование программы выпуска продукции предприятиями лесопромышленного

объединения………………………………………………………………284

9.2.Формирование оптимальной производственной программы

7

предприятиям объединения на основе согласования их интересов…………………………………………………………………293

9.3.Оптимизация программы выпуска продукции в лесопильном производстве……………………………………………………………..300

9.4.Экономико-математическая модель оптимального планирования последовательности освоения лесосырьевой

базы ЛПП………………………………………………………………….304

Глава 10. ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗВИТИЯ И РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВ ЛЕСОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА…………………………….311

10.1.Простейшая Э.-м.м. оптимизации развития производств ЛПК……...312

10.2.Оптимизация структуры и размеров производств

лесопромышленного комплекса лесоизбыточного региона………….320 10.3. Оптимизация реструктуризации производств ЛПК

лесодефицитного региона……………………………………………...329 СПИСОК НАУЧНЫХ ТРУДОВ……………………………………………………..334 ПРИЛОЖЕНИЕ 1……………………………………………………………………..337 ПРИЛОЖЕНИЕ 2……………………………………………………………………..339 ПРИЛОЖЕНИЕ 3……………………………………………………………………..341

8

CONTENTS

Page

FOREWORD……………………………………………………………………….…5 INTRODUCTION. OBJECTIVE NECESSITY OF IMPROVING THE SCIENTIFIC LEVEL OF ECONOMIC SOLUTIONS……………………………………………...7 ALPHABET……………………………………………………………………….…13

MATHEMATICAL PROGRAMMING

Chapter 1. ECONOMIC AND MATHEMATICAL MODELLING OF MATHEMATICAL PROGRAMMING TYPICAL PROBLEMS………………….14

1.1.Principles of economical and mathematical modeling………………….14

1.2.Setting of standard problem of linear programming at maximum target function………………………………………………………………….16

1.3.Setting of standard problem of linear programming at minimum target function………………………………………………………………….21

1.4.Economic content and mathematical setting of transportation problem..25

1.5.Setting of dynamic programming problem……………………………..29 Chapter 2. ELEMENTS OF LINEAR ALGEBRA AND LINEAR PROGRAMMING THEORY……………………………………………………………………………..31

2.1.Elements of linear algebra……………………………………………….31

2.1.1.Matrix and operations on them………………………………………...31

2.1.2.Vectors and operations on them……………………………………….33

2.1.3.Linear dependence of vectors………………………………………….35

2.1.4.System of vectors class and basis……………………………………...36

2.1.5.Single basis. Vector chart in relation to the single basis………………38

2.1.6.One-time substitution operation……………………………………….39

2.1.7.Vector expansion in terms of undegenerated matrix columns………...46

2.1.8.Linear equations’ system………………………………………………48

2.1.9.Basic solutions…………………………………………………………50

2.1.10.Reference solutions…………………………………………………...56

Part 2. Linear Programming Theory Elements……………………………………….60

2.2.1.Different forms of linear programming problems and putting them in canonical and standard form………………………………………………………….60

2.2.2.Dual or intermating pairs of linear programming problems…………...67

2.2.3.Reference solutions’ theorem…………………………………………..75

2.2.4.Linear programming geometrical interpretation……………………….78

Chapter 3. SIMPLEX METHOD……………………………………………………..93

3.1.Simplex method basic algorithm…………………………………………93

3.2.Simplex method in solving problems with conditions in the form of equations and inequalities

with the sign (the method of artificial basis)……………..107

3.3. Dual problems of linear programming and application of the duality theory………………………………………………………………………...123

3.4.Concept of degeneration………………………………………………...133

3.5.Detection of intractability of linear programming problems……………136 Chapter 4. TRANSPORTATION ALGHORITHMS. THEIR ESSENCE IN SOLVING PROBLEMS………………………………………………………………………….141

4.1.Distributive method……………………………………………………….142

4.2.Method of potentials………………………………………………………154

4.3.Method of differential rents……………………………………………….160 Chapter 5. COMPLICATED AND MODIFIED SETTINGS OF TRANSPORTATION PROBLEM…………………………………………………………………………….172

5.1.Transportation problem with degenerated reference plan………………...172

5.2.Open models of transportation problem…………………………………..174

5.3.Transportation problem with limited capabilities of transportation means and communications………………………………………………………………..178

5.4.Non-linear model of transportation problem……………………………...181

5.5.Lambda-problem and Malkov method in its solving……………………...184 Chapter 6. ELEMENTS OF NON-LINEAR PROGRAMMING……………………...199

9

6.1.Geometrical way of solving non-linear programming problems………….200

6.2.Concept of classical optimization methods………………………………..208

6.3.Separable programming problem………………………………………….213

6.4.Problem of optimization of production location at non-linear costs………217 Chapter 7. DYNAMIC PROGRAMMING IN PRODUCTION PLANNING AND MANAGEMENT………………………………………………………………………227

7.1.Essence and basic properties of dynamic programming…………………..227

7.2.Problems of resources distribution optimization…………………………..228

7.3.Problem of optimal route working out…………………………………….239

7.4.Problem of equipment replacement……………………………………….245

7.5.Problem of reserve management…………………………………………..258

MATHEMATICAL MODELLING OF ECONOMIC PROCESSES…………………263

Part 2. Introduction……………………………………………………………………..263

Chapter 8. ECONOMIC SETTING AND MATHEMATICAL MODELLING OF CERTAIN OPTIMIZATION PROBLEMS……………………………………………264

8.1. Peculiarities of modeling of output optimization program problems……...265

8.2. Economic and mathematical modeling of optimization distributive problems………………………………………………………………………..271

8.3. Economic and mathematical modeling of the problems of materials cutting out optimization………………………………………………………………...275

Chapter 9. ECONOMIC SETTING AND MATHEMATICAL MODELLING OF FOREST INDUSTRIES PRODUCTION PROGRAM………………………………..284

9.1.Economic and mathematical modeling of output program by forest industry association enterprises………………………………………………………….284

9.2.Optimal production program working out by the association enterprises on the basis of their mutually agreed interests………………………………………...293

9.3.Output program optimization in sawmilling industry…………………….300

9.4. Economic and mathematical model of optimal planning sequence of timber raw materials basis development by FIP……………………………………….304

Chapter 10. OPTIMIZATION OF FOREST COMPLEX INDUTRIES DEVELOPMENT AND LOCATION……………………………………………………………………...311

10.1.Simplified E.-m. m. of FIC industries development optimization………..312

10.2.Structure and size optimization of FIC industries in the region…………..320

10.3.Optimization of FIC industries restructuring in the region with scarce timber resources………………………………………………………………………...329

BIBLIOGRAPHY………………………………………………………………………334. APPENDIX 1…………………………………………………………………………...337 APPENDIX 2…………………………………………………………………………...339 APPENDIX 3…………………………………………………………………………...341

10

ПРЕДИСЛОВИЕ

Использование экономико-математических методов и электронно-вычислительной техники в целях оптимизации планирования и управления производством на разных уровнях вызывает все больший интерес у менеджеров и инженеров, научных работников и студентов к методологии постановки и математического моделирования различных проблем и задач, методике подготовки и решения их посредством методов математического программирования.

Вэтой связи, содержание книги раскрывает сущность математического программирования и методологии математического моделирования основных типов оптимизационных экономических задач.

Основная часть книги, по крайнем мере по объему, посвящена изложению теоретических и прикладных вопросов математического программирования.

Вдостаточно понятной форме излагаются основы теории линейного программирования, сущность основных его методов (симплексного, потенциалов, дифференциальных рент). Для усвоения сущности методов линейного программирования необходимы знания основ линейной алгебры. Учитывая, что некоторые читатели, особенно инженеры и менеджеры производства, ранее линейную алгебру не изучали вовсе или изучали в недостаточном объеме, в книге эти вопросы изложены так кратко, как это было возможно, и в такой форме, которая доступна читателям, ранее не изучавшим линейную алгебру.

Внастоящее издание книги включены "Элементы теории линейного программирования" в авторской редакции к.ф-м. наук, доцента Шерстобитова В.В. в знак памяти и признания его, как талантливого ученого и прекрасного педагога, научного редактора первого учебника ().

Две главы в книге посвящены нелинейному и динамическому программированию. Методы решения задач нелинейного и динамического программирования довольно сложны и в этой связи в практике планирования и управления производством применяются еще ограничено.

Особый интерес представляет вычислительный аппарат динамического программирования, разработанный для решения ряда оптимизационных производственных задач (разработка стратегии управления запасами, ресурсами, замена оборудования и др.)

Как линейное, так и динамическое программирование изложены в доступной форме для понимания сущности вычислительных процедур и дальнейшего их использования в решении производственных задач.

На современном этапе, для успешного управления экономикой развития и функционирования отраслей, объединений и предприятий, необходимы хорошие знания не только существа методов математического программирования, а также методологии математического моделирования реальных экономических проблем и производственных задач.

Экономико-математическое моделирование различных задач проходит через все разделы книги.

Мы убеждены в том, что изучение применения экономико-математических методов (ЭММ) и ПЭВМ должно осуществляться не только на общих - типовых моделях, но и в равной степени на реальных моделях оптимального планирования и управления соответствующих отраслей, объединений и предприятий.

Поэтому вторая часть книги посвящена содержательной постановке и математическому моделированию оптимизационных проблем и задач из области