§ 3. Взаимно однозначное соответствие

Определение.Отображениемf множестваХвмножествоYназывается такое соответствие между множествамиХиY, при котором каждому элементух Хсоответствует единственный элементуY.

Определение. Если множество значений отображенияf совпадает с множеством прибытия этого отображения, тоf называют отображением множестваХнамножествоY. В математике такое отображение называетсясюръективным.

Определение. Если полный прообраз каждого элементауYсодержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такое отображение называетсяинъективным.

Определение. Отображение, обладающее свойствами инъективности и сюръективности, называетсявзаимно однозначным.

Другими словами: отображение fмножестваХна множествоYназывается взаимно однозначным, если двум различным элементамх₁их₂множестваХсоответствует два различных элементау₁иу₂ множестваY.

Пример.Х– множество вершин треугольникаАВС,Y – множество сторон треугольникаАВС.

с а

b

Поставим в соответствие каждой вершине треугольника его сторону, лежащую напротив этой вершины. Данное отображение взаимно однозначно, при этом каждый элемент множества Химеет единственный образ, а каждый элемент множестваY – единственный прообраз.

§ 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества

Определение. Два множестваХиY равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множестваХна множествоY.(Обозначают:ХY).

Пример. Множество сторон четырехугольника и множество его углов.

Понятие равномощности применимо как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов (равномощные конечные множества называют равночисленными).

Рассмотрим примеры равномощных бесконечных множеств: N – множество натуральных чисел,А– множество четных натуральных чисел (А N). Каждому натуральному числу поставим в соответствие число, которое больше его в 2 раза:

1 2 3 4 5…

2 4 6 8 10 …

Установленное соответствие взаимно однозначно, т.к. каждому натуральному числу соответствует единственное число из множества Y и наоборот: каждое число из множестваY соответствует единственному натуральному числу. Следовательно, множество натуральных чисел равномощно множеству четных натуральных чисел.

Определение. Бесконечное множество, равномощное множеству натуральных чисел, называетсясчетным.

Примерысчетных множеств: целых чисел, целых неотрицательных чисел, любое подмножество каждого из этих множеств.

Теорема (без доказательства). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Примерынесчетных множеств: множество всех действительных чисел, множество всех точек на прямой, множество всех точек плоскости.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение декартова произведения множеств.

2. Перечислите способы задания декартова произведения множеств.

3. В каком отношении находятся множества X×Y иY ×X?

4. Что называют соответствием между множествами ХиY?

5. Какое множество называют областью отправления, областью прибытия, областью определения и множеством значений соответствия?

6. Перечислите способы задания соответствий.

7. Какое соответствие называют отображением множества Хв множествоY; отображением множестваХна множествоY?

8. Какое соответствие называют взаимно однозначным соответствием?

9. Какие множества называют равномощными? В каком случае равномощны конечные множества?

10. Какие множества называют счетными? Приведите примеры счетных и несчетных множеств.