Контрольные вопросы

1. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х.

2. Как записать утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R?

3. Перечислите способы задания отношений.

4. Сформулируйте свойства, которыми могут обладать отношения. Как данные свойства отражаются на графе?

5. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением эквивалентности?

6. Как отношение эквивалентности связано с разбиением множества на классы?

7. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением порядка?

Глава 5. Предикаты и теоремы § 1. Предикаты и операции над ними

В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или несколько переменных, например: «х+ 2 = 7», «город стоит на Волге». Эти предложения не являются высказываниями, т.к. о них нельзя сказать, истинны они или ложны. Однако при подстановке конкретных значений переменнойхони обращаются в истинные или ложные высказывания. Так, в первом примере прих= 5 получаем истинное высказывание, а прих= 3 – ложное высказывание.

Определение. Предложение с переменными, которое при конкретных значениях переменных обращается в высказывание, называется высказывательной формой илипредикатом.

По числу входящих в предикат переменных различают одноместные, двухместные и т.д. предикаты и обозначают А(х),В(х;у)…

Пример:А(х): «хделится на 2» – одноместный предикат,В(х;у): «прямаяхперпендикулярна прямойу» – двухместный предикат.

Следует иметь в виду, что в предикате переменные могут содержаться неявно: «число делится на 2», «студент получил отличную оценку на экзамене по математике».

Задание предиката, как правило, предполагает и задание множества, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат.

Определение. Множеством (областью) определения предиката называется множествоХ, состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в предикат последний обращается в высказывание.

Так, предикат «х > 2» можно рассматривать на множестве натуральных чисел или действительных чисел.

Каждый предикат А(х),хХопределяет множествоТ Х, состоящее из элементов, при подстановке которых в предикатА(х) вместохполучается истинное высказывание.

Определение. Множество, состоящее из всех тех значений, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание, называетсямножеством истинностипредиката (обозначаетсяТ).

Пример. Рассмотрим предикатА(х): «х< 5», заданный на множестве натуральных чисел.Т= {1; 2; 3; 4}.

Предикаты, как и высказывания, бывают элементарными и составными. Составные предикаты образуются из элементарных при помощи логических связок.

Пусть Т_А– область истинности предикатаА(х),Т_В– область истинности предикатаВ(х).

Определение.КонъюнкциейпредикатовА(х) и В(х) называется предикатА(х)В(х), который истинен для тех и только тех значенияххХ, для которых оба предиката истинны.

Покажем, что Т_{А  В} =Т_А Т_В.

Доказательство. 1) Пустьа Т_{А  В} А(а)В(а) – истинное высказывание. По определению конъюнкции имеем:А(а) – истинно,В(а) – истинноа Т_А а Т_В а Т_А Т_В Т_{А  В} Т_А Т_В.

2) Пусть b Т_А Т_В b Т_А b Т_В А(b) – истинно,В(b) – истиннопо определению конъюнкцииА(b)В(b) – истинное высказываниеb Т_{А  В}  Т_А Т_В Т_{А  В}.

Т.к. Т_{А  В} Т_А Т_В иТ_А Т_В Т_{А  В}, то по свойству равенства множествТ_{А  В} =Т_А Т_В, что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для предикатов, содержащих более одной переменной.

Пример. Рассмотрим предикатыА(х): «х< 10»,В(х): «хделится на 3», заданные на множестве натуральных чисел. Найдем область истинности предикатаА(х)В(х): «х< 10 и делится на 3».

Т_А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},Т_В = {3; 6; 9; 12; 15; …}, тогдаТ_{А  В} = {3; 6; 9}.

Определение.ДизъюнкциейпредикатовА(х) и В(х) называется предикатА(х)В(х), который истинен для тех и только тех значенияххХ, для которых истинен хотя бы один из предикатов.

Можно доказать (самостоятельно), что Т_{А  В} =Т_А Т_В.

Пример. Рассмотрим предикатыА(х): «хделится на 2 »,В(х): «хделится на 3», заданные на множестве натуральных чисел. Найдем область истинности предикатаА(х)В(х): «хделится на 2 или на 3».

Т_А = {2; 4; 6; 8; 10;…},Т_В = {3; 6; 9; 12; 15; …},Т_{А  В} = {2; 3; 4; 6; 8; 9; …}.

Определение.ОтрицаниемпредикатаА(х) называется предикат . Он истинен для тех и только тех значенияххХ, для которых предикатА(х) ложен и наоборот.

Заметим, что =.

Определение.ИмпликациейпредикатовА(х) иВ(х) называется предикатА(х)В(х) (читают: «ЕслиА(х), тоВ(х)»). Он обращается в ложное высказывание при тех значенияххХ, для которых предикат А(х) истинен, а предикатВ(х) ложен.

Из определения имеем, что предикат А(х)В(х) ложен на множествеТ_А, а следовательно истинен на дополнении к этому множеству. Воспользовавшись законами операций над множествами, имеем:.