Контрольные задания

Задача 1. Даны векторы ив некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторыобразуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

1. (1;2;3), (-1;3;2),(7;-3;5),(6;10;17).

2. (4;7;8), (9;1;3),(2;-4;1),(1;-13;-13).

3. (8;2;3), (4;6;10), (3;-2;1), (7;4;11).

4. (10;3;1), (1;4;2),(3;9;2), (19;30;7).

5. (2;4;1), (1;3;6),(5;3;1),(24;20;6).

6. (1;7;3), (3;4;2),(4;8;5),(7;32;14).

7. (1;-2;3), (4;7;2),(6;4;2),(14;18;6).

8. (1;4;3), (6;8;5),(3;1;4),(21;18;33).

9. (2;7;3), (3;1;8),(2;-7;4),(16;14;27).

10. (7;2;1), (4;3;5),(3;4;-2),(2;-5;-13).

Задача 2. Даны векторы . Показать, что векторыобразуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты векторав этом базисе.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Задача 3. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны; 2) внутренний уголв радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины; 7) систему неравенств, определяющих треугольник. Сделать чертеж.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

4.4. .

3.5. .

3.6. .

3.7. .

3.8. .

3.9. .

3.10. .

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:1)длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.

4.1. А1(4;2;5), А2(0;7;2), А3(0;2;7), А4 (1;5;0).

4.2. А1(4;4;10), А2(4;10;2), А3(2;8;4), А4 (9;6;4).

4.3. А1(4;6;5), А2(6;9;4), А3(2;10;10), А4 (7;5;9).

4.4. А1(3;5;4), А2(8;7;4), А3(5;10;4), А4 (4;7;8).

4.5. А1(10;6;6), А2(-2;8;2), А3(6;8;9), А4 (7;10;3).

4.6. А1(1;8;2), А2(5;2;6), А3(5;7;4), А4 (4;10;9).

4.7. А1(6;6;5), А2(4;9;5), А3(4;6;11), А4 (6;9;3).

4.8. А1(7;2;2), А2(5;7;7), А3(5;3;1), А4 (2;3;7).

4.9. А1(8;6;4), А2(10;5;5), А3(5;6;8), А4 (8;10;7).

4.10. А1(7;7;3), А2(6;5;8), А3(3;5;8), А4 (8;4;1).

Задача 5 . Найти матрицу, обратную матрице

.

Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.

5.1. 5.2.5.3.5.4.5.5.5.6.5.7.5.8.5.9.5.10.

Задача 6. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5. 6.6.

6.7. 6.8.

6.9. 6.10.

Решения типовых задач

Задача 1. Даны векторы , , и в некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторы образуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство . Записывая в виде векторов – столбцов, получим

.

Задача свелась, таким образом, к решению системы

.

Решим систему методом Гаусса.

.

Итак, система приведена к виду

.

Полученная система имеет единственное нулевое решение: , т.е. векторы линейно независимы и, следовательно, составляют базис. Вектор можно представить в виде , т.е. координаты вектора в этом базисе . Для отыскания координат вектора решим систему линейных уравнений методом Гаусса:

.

.

Итак, система приведена к виду

.

Находим . т.е. вектор .

Задача 2. Даны векторы , , , и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство . Записывая в виде векторов – столбцов, получим .

Задача свелась, таким образом, к решению системы

Решим систему методом Гаусса.

. Итак, система приведена к виду .

Полученная система имеет единственное нулевое решение: , т.е. векторы линейно независимы и, следовательно, составляют базис. Вектор можно представить в виде , т.е. координаты вектора в этом базисе . Для отыскания координат вектора решим систему линейных уравнений методом Гаусса:

.

.

Итак, система приведена к виду

.

Находим , т.е. вектор .

Задача 3. Даны вершины треугольника :. Найти: 1) длину стороны; 2) внутренний уголв радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины; 7) систему неравенств, определяющих треугольник

Решение.

1) Длину стороны (длина вектора) находим как расстояние между двумя точками плоскостии:.

Поэтому

2) Угол - это угол между векторамии. Координаты этих векторов:,. Таким образом.

Таким образом, получаем

3) Составим уравнение стороны :, или. Угловой коэффициент стороныравен; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины, равен. Уравнение этой высоты имеет вид, получаем, или.

4) Пусть точка М середина стороны . Найдем ее координаты:

т..

Уравнение медианы находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки:, получим.

5) Составим уравнение еще одной высоты треугольника . Например, выберем высоту, проведенную из вершины. Аналогично пункту 3) составим уравнение стороны:

.

Угловой коэффициент стороны равен; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины, равен. Уравнение этой высоты имеет вид, получаем, или. Поскольку мы ищем точку пересечения высот треугольника, то координаты этой точки должны удовлетворять системе уравнений;Таким образом, точка пересечения высот треугольникаимеет координаты

6) Найдем длину высоты, опущенной из вершины по формуле расстояния от точкидо прямой::. Таким образом

7) Стороны треугольника заданы уравнениями прямых:

: ; (см. пункт 3).

: ; (см. пункт 5).

: ;;.

Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости. Область треугольника лежит выше прямой, т.е. в полуплоскости, которая задается неравенством:. Прямаяделит координатную плоскость на две полуплоскости, нам необходима та, которая удовлетворяет неравенству:. Из двух полуплоскостей, которые разделяет прямая, выбираем ту, которая задается неравенством:.

Таким образом, область треугольника , определяется системой неравенств:

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды :

. Найти:

1. длину ребра ;

2. угол между ребрами и ;

3. угол между ребром и гранью ;

4. площадь грани ;

5. объем пирамиды; 6) уравнение прямой ;

7) уравнение плоскости ;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

Р

ешение.

𝛽

,𝐴-₂.

1. Длина ребра есть длина вектора , координаты которого Т.к. длина вектора находится по формуле , то .

2. Угол между ребрами и есть угол между векторами

=(-1,5,1) и =(4-6;4-1;10-1)=(-2;3;9), поэтому

Отсюда

3. Обозначим угол между ребром и гранью через , тогда , где - угол между вектором =(-2;3;9) и нормальным вектором плоскости , которым является, например, векторное произведение векторов и

Т.к. векторное произведение векторов =() и находится по формуле , то . Итак, . Найдем теперь угол

значит

или

4) Т.к. длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах, то площадь S грани (площадь треугольника) найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. как половину длины векторного произведения этих векторов.

Т.к. (см. пункт 3), то

5) Т.к. объем V треугольной пирамиды, построенной на векторах , находится по формуле , где - смешанное произведение векторов , то

. Найдем смешанное произведение векторов

и по формуле

:

(определитель вычислен по схеме треугольников). Итак, .

6) Т.к. уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид , то уравнение прямой найдем как уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора : .

7) Т.к. уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид ( нормальный вектор плоскости), то уравнение плоскости найдем как уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором (см. пункт 3):

или

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань , найдем как уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора -нормального вектора плоскости (см. пункт 3): .

Задача 5. Найти матрицу, обратную матрице . Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.

Решение. Определитель матрицы

, значит обратная матрица существует. Найдем матрицу , транспонированную к : . Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы и составим из них присоединенную матрицу .

.

Найдем обратную матрицу :

.

Проверка:

.

.

Задача 6. Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение. 1) Докажем совместность системы. Для этого вычислим ранг матрицы А исходной системы и ранг расширенной матрицы системы

Д

2

3

ля удобства вычислений элементарные преобразования будем производить с матрицей:

~ ~~

т.е. по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

2) Решим систему методом Гаусса. Для этого матрицу приведем к диагональному виду:

тиии

3) Решим систему матричным способом. Для этого введем следующие матрицы и исходную систему запишем в матричном виде.

.

Вычислим обратную матрицу . Определитель матрицыА , значит обратная матрица существует. Затем, вычислив к каждому элементу матрицыА алгебраические дополнения, составим из них матрицу , транспонируем ееи находим обратную матрицу.

=

.

Ответ: